安徽省亳州市黌學(xué)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023年黌學(xué)高級(jí)中學(xué)高一第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.【詳解】解：命題“，”為存在量詞命題，其否定為：，.故選：D2.若，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；反之：由，可得，又因?yàn)?，所以，所以必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用并集、交集、補(bǔ)集的運(yùn)算結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷各選項(xiàng)作答.【詳解】，而，顯然，因此，，AB都錯(cuò)誤；因?yàn)榍?，或，所以，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理分析判斷即可解出.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，，，

函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C5.若，，向量與向量的夾角為150°，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定義直接求解.【詳解】因?yàn)?，，向量與向量的夾角為150°，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用“”分段法比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】，，所以.故選：C7.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象進(jìn)行如下變換得到（）A.向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位【答案】B【解析】【分析】先利用輔助角公式將化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以將向左平移個(gè)單位得到.故選：B8.函數(shù)的部分圖象形狀大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)解析式可判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用特殊值的符號(hào)通過排除法即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，定義域?yàn)?，而，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，可排除CD；根據(jù)圖象可利用可排除B.故選：A二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列說法正確的是（）A.若，則B.零向量與任意向量平行C.方向?yàn)楸逼鞯南蛄颗c方向?yàn)闁|偏南的向量是共線向量D.在平行四邊形ABCD中，【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)向量相等的定義即可判斷，對(duì)B，根據(jù)規(guī)定即可判斷，對(duì)C，利用共線向量的定義即可判斷，對(duì)D，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)A，向量的模相等，方向不一定相同，故向量不一定相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)規(guī)定：零向量與任意向量平行，故B正確；對(duì)C，東偏南即南偏東，故兩向量為共線向量，故C正確，對(duì)D，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，故，故，故D正確.故選：BCD10.化簡(jiǎn)的結(jié)果可以是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】.故選：BD11.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及1為“橋梁”判斷A，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷B，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性及同角三角函數(shù)的關(guān)系、周期判斷CD.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，即，故，故C錯(cuò)誤；由，故D錯(cuò)誤.故選：AB12.已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若是銳角三角形，則B.若，則是等腰三角形C.若，則是等腰三角形D.若是等邊三角形，則【答案】ACD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，由正弦定理化邊為角結(jié)合正弦的二倍角公式可判斷B，由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式可判斷C，利用正弦定理化邊為角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，即，故A正確；對(duì)于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由及正弦定理化邊為角，可知，即，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，由是等邊三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.__________．【答案】6【解析】【分析】利用指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】.故答案為：6.14.已知向量，為單位向量，若與的夾角為，則__________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)條件可以得到，這樣便可求出的值，從而得出的值．【詳解】解：根據(jù)條件，，；∴1-1+1＝1；∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，求向量的長(zhǎng)度的方法：求．15.已知，則___________.【答案】【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式求出，再所求值的齊次式用正切表示即可得解.【詳解】因，即，，所以.故答案為：16.若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是__________．【答案】5【解析】【分析】先由條件得，再利用1的代換以及基本不等式求最值.【詳解】由條件，兩邊同時(shí)除以，得到，那么等號(hào)成立的條件是，即，即.所以的最小值是5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，這時(shí)改用勾型函數(shù)的單調(diào)性求最值.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解不等式，得到，從而求出，；（2）解不等式，得到，根據(jù)，列出不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，故，因?yàn)?，所以或，故或或【小?詳解】，解得：，故，顯然，所以，要想，則，解得：，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為18.（1）在中，已知，求邊b和角C．（2）在中，已知，求邊．【答案】（1），；（2）；．【解析】【分析】（1）由正弦定理求得，得到,進(jìn)而得到的值；（2）由正弦定理求得，再由，結(jié)合正弦定理列出方程，即可求解.【詳解】（1）在中，因，由正弦定理，即，解得，因?yàn)?，可得，則，所以,所以；（2）在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，解得.19.已知向量，，.（1）若，求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，求與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算及坐標(biāo)加法運(yùn)算,可得方程組,解方程組即可求得,的值.（2）根據(jù)向量坐標(biāo)的加減法運(yùn)算,可得結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系,即可求得的值.進(jìn)而表示出,即可由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得夾角的余弦值.【詳解】（1）由,得,即,解得.（2）,.因?yàn)?所以,即.令,則.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算和加減運(yùn)算,向量垂直時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系,根據(jù)向量數(shù)量積求夾角的余弦值,屬于基礎(chǔ)題.20.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》方田篇記載“宛田面積術(shù)曰：以徑乘周，四而一”（注：宛田，扇形形狀的田地；徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長(zhǎng)），即古人計(jì)算扇形面積的公式：扇形面積．（1）已知甲宛田的面積為2，周為2，求徑的大小以及甲宛田的弧所對(duì)的圓心角（正角）的弧度數(shù)；（2）若乙宛田的面積為2，求乙宛田徑與周之和的最小值．【答案】（1）2，1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中公式求弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求圓心角弧度數(shù)；（2）根據(jù)基本不等式公式計(jì)算.【小問1詳解】由題意得，得徑，則扇形的半徑為2，所以甲宛田的弧所對(duì)的圓心角（正角）的弧度數(shù)為．【小問2詳解】設(shè)乙宛田的弧長(zhǎng)為l，徑為d，則，得，所以乙宛田徑與周之和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故乙宛田徑與周之和的最小值為．21.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用換元法或整體代換法求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（3）利用換元法求判斷函數(shù)單調(diào)性，并求值域.【詳解】解：（Ⅰ），；（Ⅱ）法一：令；則.，的單調(diào)增區(qū)間為.，解得.函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.法二：，，畫數(shù)軸與所有區(qū)間取交集可知：.函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).解得：..，，當(dāng)單調(diào)遞減區(qū)間為.，解得在區(qū)間上為減函數(shù).函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間，，.函數(shù)在上值域?yàn)?【點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)，求最小正周期和最值時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，則最小正周期為，最大值為，最小值為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y＝Asinωx或y＝Acosωx的形式．22.設(shè)函數(shù)．（1）解不等式；（2）已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，是否存在實(shí)數(shù)，使得