南京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

南京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年第二學(xué)期5月月考卷高一數(shù)學(xué)一．選擇題（共8小題）1．A． B． C． D．【解答】解：．故選：．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．【解答】解：由，得，．故選：．3．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若，，，則A．5 B． C．4 D．3【解答】解：在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若，，，則，解得．故選：．4．若，，，則的值為A． B．2 C． D．【解答】解：，，，，，，解得．故選：．5．已知正三角形邊長(zhǎng)為2，用斜二測(cè)畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為A． B． C． D．【解答】解：三角形在其直觀圖中對(duì)應(yīng)一個(gè)邊長(zhǎng)為2正三角形，直觀圖的面積是，由斜二測(cè)畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系，直觀圖的面積為，故選：．6．在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為A． B． C． D．【解答】解：如下圖所示，連接，，，，，，則異面直線與所成角為，，即△為等邊三角形，．故選：．7．在空間中，、、是三條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，則【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：若，，則和可能是異面直線，故錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)：若，，則和不能判定有垂直和平行的關(guān)系，故錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)：若，，，則和可能異面，故錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)：若，，則，正確．故選：．8．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．則正八面體（八個(gè)面均為正三角形）的總曲率為A． B． C． D．【解答】解：由正八面體的性質(zhì)，每個(gè)面均為等邊三角形，在一個(gè)頂點(diǎn)外的四個(gè)角均為，故一個(gè)頂點(diǎn)的曲率等于，故正八面體的總曲率等于．故選：．二．多選題（共4小題）9．下列說法正確的是A．圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等 B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形 C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐 D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)【解答】解：對(duì)于，由圓柱的結(jié)構(gòu)特征可知，圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等，故正確；對(duì)于，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故正確；對(duì)于，底面是正多邊形，且側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由棱臺(tái)的定義可知，棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故正確．故選：．10．下列各式中，值為的是A． B． C． D．【解答】解：．，滿足條件．，滿足條件，，滿足條件，，不滿足條件．故選：．11．下列命題正確的是A． B．已知向量與的夾角是鈍角，則的取值范圍是 C．向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底 D．若，則在上的投影向量為【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，，正確；對(duì)于，向量與的夾角是鈍角，則且，解可得且，即的取值范圍為且，錯(cuò)誤；對(duì)于，向量，滿足，兩個(gè)向量共線，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，即與方向相同或相反，則在上的投影向量為，正確．故選：．12．如圖，已知正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是A． B．平面 C．平面 D．【解答】解：在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2，則，2，，，1，，，2，，，2，，，，，，0，，，，故正確；，0，，，2，，，，，平面，故正確；平面的法向量，0，，，又平面，平面，故正確；，0，，，2，，，2，，與不平行，故錯(cuò)誤．故選：．三．填空題（共4小題）13．平面向量與的夾角為，，，則．【解答】解：由，則，又，向量與的夾角為，則，則，故答案為：．14．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值為．【解答】解：過作，交于，連接．，，而平面平面，是直線與平面所成的角（4分）由題意，得．（8分），．（10分）故答案為．15．設(shè)平面平面，，，，，直線與交于點(diǎn)，且點(diǎn)位于平面，之間，，，，則9．【解答】解：根據(jù)題意做出如下圖形：，交于點(diǎn)三點(diǎn)確定一平面，所以設(shè)平面為，于是有交于，交于，，平行，，．故答案為：9．16．已知，則的值是．【解答】解：，則，故答案為：．四．解答題（共6小題）17．為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是：（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)．【解答】解：復(fù)數(shù)，（1）實(shí)數(shù)；可得，解得或2．（2）虛數(shù)；可得，解得且．（3）純虛數(shù)可得：并且，解得．18．在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的值．【解答】解：（1）在中，由，以及正弦定理可得：，，，，，可得．（2），，，，，在中，由正弦定理，可得，解得．19．已知向量，的夾角為，且，，（1）求上的投影；（2）求．【解答】解：（1）向量，的夾角為，且，上的投影為（2）向量，的夾角為，且，，，則20．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：面面．【解答】（Ⅰ）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)．（2分）連結(jié)，是的中點(diǎn)，．（4分）面，面，面．（6分）（Ⅱ）解：，是的中點(diǎn)，．面，，面，（8分）就是二面角的平面角，即．（9分）面，面面．21．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)到面的距離．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)?，，由余弦定理得．?分）從而，，（3分）又由底面，面，可得．（4分）所以平面．故．（6分）（Ⅱ）解：作，垂足為．已知底面，則，由（Ⅰ）知，又，所以．故平面，．則平面．（8分）由題設(shè)知，，則，，（10分）根據(jù)，得，即點(diǎn)到面的距離為．（12分）22．如圖，在四棱