江蘇省吳江汾湖高級中學2020-2021學年高二假期自主學習競賽數學試卷

2020?2021學年第二學期汾湖高級中學假期自主學習競賽

高二數學試卷

試卷分值：150分考試用時：120分鐘

一、單項選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

I、若K。，則田（）

A.有最小值,且最小值為2

B.有最大值,且最大值為2

C.有最小值,且最小值為一2

D.有最大值,且最大值為一2

1—V

2、不等式下20的解集為（）

A.[—2,1]B.(-2,1]

C.(-8,-2)U(1,+8)D.(-8,-2]U(1,+8)

3、下列命題中，不正確的是（)

A.GR)蒼—2x0+2N0

B.設。>1,則“a”是“l(fā)og”。<1"的充要條件

C.若a<Z?<0,則

ah

D.命題“Vxe[l,3],%2一4%+3<0”的否定為“玉o%-4%+3>0”

4、《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、

清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數列，冬至、立春、春分日

影長之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為（）

A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺

5、在流行病學中，基本傳染數而是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，

一個感染者平均傳染的人數.初始感染者傳染屈個人，為第一輪傳染，這團個人中每人再傳染

而個人，為第二輪傳染，…….凡一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接

觸過程中傳染的概率決定.假設新冠肺炎的基本傳染數4=3.8,平均感染周期為7天，設某

一輪新增加的感染人數為M則當被1000時需要的天數至少為（）參考數據：lg38、L58

A.34B.35C.36D.37

6、已知2孫一y+l=0（x,y>0）,則葉殳的最小值為（）

X

A.4&B.8C.9D.80

7、已知等比數列｛4｝的〃項和S,,=2"-"，則a：+a；+…+a：=（）

A.（2〃一I）：B.|（2n-l）C.4"-1D.；（4"-1）

8.已知耳、鳥是橢圓的兩個焦點，滿足麗?麗=0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心

率的取值范圍是（）.

A.I。，—）B.（0>-^）C.D.（-^-,1）

乙LL乙L

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.

9.已知復數2=%+加（羽丁6/?）,貝IJ（

A.z230B.z的虛部是yi

C.若z=l+2i,則x=l,y=2D.\z\=yjx2+y2

10.已知等差數列｛4｝的前n項和為Sn,4=18,%=12,則下列選項正確的是（）

A.d=—2B.4=22

C.a3-^a4=30D.當且僅當〃=11時;取得最大值

11.下列判斷正確的是（）

A.拋物線與直線x+y-J5=0僅有一個公共點

B.雙曲線=1與直線x+y-J5=0僅有一個公共點

r225

C.若方程—+上v一=］表示焦點在x軸上的橢圓，則己<f<4

4-tt-\2

x22

D.若方程」—+二v—=1表示焦點在y軸上的雙曲線，則04

4-/t-\

12.橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經橢圓反射后，反射光線經過

橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點瓦，尸2是它的焦點，長軸長為2a,

焦距為2c,靜放在點片的小球（小球的半徑不計），從點兄沿直線出發(fā)，經橢圓壁反彈后第

一次回到點片時，小球經過的路程可以是（）

A.4aB.4cC.2（a+c）D.2（a-c）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13、，是虛數單位，則.J的值為______________.

產I

11-11

14、若正數x,y滿足y+6燈一1=0,則x+2y的最小值是

15、如圖，畫一個邊長為2頌的正方形，再將這個正方形的各相鄰邊的中點相連得到第二個

正方形，依此類推，這樣共畫了8個正方形，則這8個正方形的面積和為

16、已知橢圓「：二2與雙曲線「：22

12

1+[=1（%>0也>0）=l（a2>0,b2>0）

相同的焦點心，分別為左右焦點y若點P是的和c在第一象限內的交點，

用設q和c的離心率分別是gj則以_%的取值范圍是______

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17、已知復數2=個笠@是虛數單位），meR.

(I)若Z是純虛數，求加的值；

(0)若復數z在復平面內對應的點位于第四象限，求⑷的取值范圍.

18、已知命題p：對任意xC(0,+s),不等式aw%+三都成立，命題(?：方程工+」^=1

xa-ma-m-2

表示焦點在X軸上的雙曲線.

(1)若命題。是真命題，求實數a的取值范圍；

(2)若P是g的必要不充分條件，求實數處的取值范圍.

19、解關于x的不等式a*—222^?—ax(aCR).

20、網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.

某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.

根據幾個月運營發(fā)現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用f萬元之間滿足函數關系

2

式x=3一干.已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，

若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之

和，則該公司最大月利潤是多少萬元？

21、已知正項數列｛a｝的前〃項和為S,&=1,且(t+l)S=濕+3a+2(t￡R).

⑴求數列｛a｝的通項公式；

(2)若數列｛4｝滿足打=1,AH—求數列19/的前〃項和北?

I乙?！ㄊ甀n\

22、已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，斜率為2代的直線交拋物線于兩點4(4,%)、

其中/(石，且

B(%2，y;),|4B|=9.

(1)求該拋物線的方程；

(2)設0為坐標原點，過點力作拋物線的準線的垂線，垂足為G證明：B、0、。三點共線.

數學答案

試卷分值：150分考試用時：120分鐘

二、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.D

2.B

3.B

4.B

5、D

6、C

7、D

8.B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.【答案】CD

10.【答案】AC

11.【答案】BD

12.【答案】ACD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

32

16、今

仔+叼

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17、【答案】解：⑴復數z=^=號需=匕"32=3-2叱(2m+3)i,

vZ是純虛數,

M智：:，解得T

??.m的值為

(H)???復數z在復平面內對應的點(3—2,幾一2m—3)位于第四象限,

K-3<0-解得-WY

???771的取值范圍是(一

18、【答案】解：命題行對任意％6(0,+8),不等式awx+：都成立，rx+jNZ,二a32.

命題q：方程上+上一=1表示焦點在x軸上的雙曲線.二『一'”>?,0，解得

a-ma-m-2iQ-771-Z<U

m<a<m+2.

(1)命題P是真命題，則實數a的取值范圍是a三2.

(2)若°是g的必要不充分條件，則m+2s2,解得m30.

二實數0的取值范圍是mSO.

19、【答案】解：原不等式可化為蘇+(a—2)X—2》0.

①當a=0時，原不等式化為x+IWO,解得后一1.

②當a>0時:原不等式化為(x—$(x+l)>0,

2

解得xN-或xW—1.

a

③當aVO時，原不等式化為(*一亍)(矛+1)W0.

22

當一〉一1,即aV—2時，解得一1Wx〈一；

Q3

2

當一=—1,即a=—2時，解得才=-1滿足題意；

a

99

當一V—1,即一2〈水0時，解得一WxW—1.

aa

綜上所述，當3=0時，不等式的解集為｛xlxw—1｝；

當a>0時，不等式的解集為卜lx-：或后一1

當一2<a<0時，不等式的解集為卜|%-1

當a=-2時:不等式的解集為｛—1｝：

當aV-2時，不等式的解集為—盡習

?

20、【答案】解析由題意知——1(1＜底3),設該公司的月利潤為y萬元，則y=

O—X

(48+.)*一32x—3一聯=16x-3一3=16x—+J-3=45.5—16(3-x)+W45.5—

[乙X)乙JXL_Jx_

2標=37.5,

當且僅當才=》■時取等號，即最大月利潤為37.5萬元.

21、【答案】解：(1)因為a=l,且(￡+l)6=a(+3a1,+2,

所以(t+l)S=奇+3且+2,所以t=5.

所以6s=番+3&+2.①

當〃N2時，有6Sf=￡i+3&r+2,②

①一②得64=或+34一總一1一3&1,

所以(a〃+a〃-i)(a-a-i-3)=0,

因為金〉0,所以4-Qn-1=3,

又因為31=1,

所以｛4｝是首項為1，公差為3