高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第43講 空間向量及其運算（原卷版+解析版 ）

第43講空間向量及其運算學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·福建·莆田錦江中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是直線l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（

）A． B．C． D．42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，且與互相垂直，則的值是（

）A．－1 B． C． D．3．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）在平行六面體中，為的中點，為的中點，，則（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)），若三向量共面，則實數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，空間四邊形中，，，，點，分別在，上，且，，則（

）A． B． C． D．6．（2022·湖南·高三開學(xué)考試）兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且.已知則線段的長為（

）A．8 B． C． D．7．（2022·湖南益陽·模擬預(yù)測）在正三棱錐中，是的中心，，則(

)A． B． C． D．8．（2022·北京·高三開學(xué)考試）在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點.點P為線段EF上的動點.則下面結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．平面C． D．是銳角9．（多選）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）已知空間向量，，則下列選項正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長為 D．11．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，則B．直線l的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則12．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點P是平行四邊形所在的平面外一點，如果，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．是平面的一個法向量 D．13．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）若直線的方向向量，平面的法向量，且直線平面，則實數(shù)的值是______.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若四點，，，共面，則可以為______．（寫出一個符合題意的即可）15．（2022·江蘇·句容碧桂園學(xué)校高三開學(xué)考試）已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，則=___________．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）棱長為1的正方體，在正方體的12條棱上運動，則的取值范圍是___________.17．（2022·福建省福安市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正四面體的棱長均為2，則___________.18．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱、、上分別有一點、、，且滿足，，，若、、、四點共面，則實數(shù)__________．19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F(xiàn)為與的交點．(1)求證：，．(2)求證：是異面直線與的公垂線段．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平行六面體中，，，，，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）四棱柱的底面是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2，且，則線段的長度是（

）A． B． C．3 D．3．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知矩形的對角線交于點，將沿翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）如圖，在平行六面體中，AB＝AD＝2，，，點E是AB中點，則異面直線與DE所成角余弦值是______．5．（2022·浙江·模擬預(yù)測）若、、是棱長為的正四面體棱上互不相同的三點，則的取值范圍是_______.6．（2022·浙江省富陽中學(xué)高三階段練習(xí)）空間兩兩垂直的單位向量，，，其中為坐標(biāo)原點，空間一點滿足，則的最大值_____________.7．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點．(1)求證：平面；(2)若線段上總存在一點，使得，求的最大值．第43講空間向量及其運算學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·福建·莆田錦江中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是直線l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（

）A． B．C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)得，計算得解.【詳解】因為，所以，所以，計算得.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，且與互相垂直，則的值是（

）A．－1 B． C． D．【答案】D【分析】先求出與的坐標(biāo)，再由與互相垂直，可得，從而可求出的值.【詳解】因為，，所以，，因為與互相垂直，所以，解得，故選：D3．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）在平行六面體中，為的中點，為的中點，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)空間向量的線性運算表達，再聯(lián)立求解即可.【詳解】設(shè)則.所以，，所以.故選：C4．（2022·全國·高三專題練習(xí)），若三向量共面，則實數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【分析】利用向量共面的坐標(biāo)運算進行求解即可.【詳解】∵，∴與不共線，又∵三向量共面，則存在實數(shù)m，n使即，解得．故選：D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，空間四邊形中，，，，點，分別在，上，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)空間向量線性運算法則用，，表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】解：，，．又，，，所以，，，所以，所以.故選：A．6．（2022·湖南·高三開學(xué)考試）兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且.已知則線段的長為（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量，結(jié)合模長運算處理，重點注意、的夾角與異面直線的夾角之間的關(guān)系．【詳解】由題意知：，所以，又異面直線所成的角為，則所以，則或（舍去）故選：B.7．（2022·湖南益陽·模擬預(yù)測）在正三棱錐中，是的中心，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】將轉(zhuǎn)化為，由三棱錐是正三棱錐可知PO⊥OA，即可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】為正三棱椎，為的中心，∴平面，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，∴，故．故選：D.8．（2022·北京·高三開學(xué)考試）在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點.點P為線段EF上的動點.則下面結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．平面C． D．是銳角【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題.【詳解】以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，，，所以，A正確；因為，平面，平面，所以平面，B正確；，所以，所以，C正確；，當(dāng)時，，此時為鈍角，故D錯誤.故選：D9．（多選）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）已知空間向量，，則下列選項正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】對于A、B分別根據(jù)向量平行和垂直的等價條件轉(zhuǎn)換計算；對于C、D分別代向量的模的公式及夾角公式計算可得.【詳解】向量，對于A.若，則，所以，故此選項錯誤；對于B.若，，則，故此選項正確；對于C.若，則，則，故此選項正確；對于D.若，則，所以，故此選項正確；故答案為：BCD10．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長為 D．【答案】BD【分析】AB選項，利用空間向量基本定理進行推導(dǎo)即可；C選項，在B選項的基礎(chǔ)上，平方后計算出，從而求出；D選項，利用向量夾角的余弦公式進行計算.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A選項，，A錯誤，對于B選項，，B正確：對于C選項，，則，則，C錯誤：對于，則，D正確.故選：BD.11．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，則B．直線l的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【分析】根據(jù)條件結(jié)合空間向量的平行和垂直，對各選項逐項判斷即可．【詳解】對于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，且，所以，選項A正確∶對于B，直線l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，選項B錯誤；對于C，兩個不同的平面的法向量分別是，且，所以，選項C正確；對于D，直線l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，選項D錯誤．故選∶AC12．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點P是平行四邊形所在的平面外一點，如果，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．是平面的一個法向量 D．【答案】ABC【分析】由，可判定A正確；由，可判定B正確；由且，可判定C正確；由是平面的一個法向量，得到，可判定D不正確.【詳解】由題意，向量，對于A中，由，可得，所以A正確；對于B中，由，所以，所以B正確；對于C中，由且，可得向量是平面的一個法向量，所以C正確；對于D中，由是平面的一個法向量，可得，所以D不正確.故選：ABC13．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）若直線的方向向量，平面的法向量，且直線平面，則實數(shù)的值是______.【答案】-1【分析】利用法向量的定義和向量共線的定理即可.【詳解】直線的方向向量，平面的法向量，直線平面，必有，即向量與向量共線，，∴，解得；故答案為：-1.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若四點，，，共面，則可以為______．（寫出一個符合題意的即可）【答案】（答案不唯一，滿足即可）【分析】根據(jù)共面定理列方程組求解可得m和n的關(guān)系，然后可得.【詳解】因為四點，，，共面，所以向量，，共面，所以存在實數(shù)，，使得，即，所以，解得，令，得，則可以為．故答案為：（答案不唯一，滿足即可）15．（2022·江蘇·句容碧桂園學(xué)校高三開學(xué)考試）已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，則=___________．【答案】2【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算與數(shù)量積公式求解即可【詳解】因為，故答案為：216．（2022·全國·高三專題練習(xí)）棱長為1的正方體，在正方體的12條棱上運動，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的表達式，進而求得的取值范圍.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)（且只在正方體的條棱上運動），則，，由于，所以.當(dāng)時，取最小值；當(dāng)時，取最大值.故答案為：17．（2022·福建省福安市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正四面體的棱長均為2，則___________.【答案】【分析】中點為，由向量的加法法則可知，在正三角形中即可求出答案.【詳解】如圖所示：取中點為，連接、，在中：，所以，在正三角形中，為中點，所以.故答案為：.18．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱、、上分別有一點、、，且滿足，，，若、、、四點共面，則實數(shù)__________．【答案】【分析】根據(jù)四點共面的等價條件以及，可得出關(guān)于的兩個表達式，可得出關(guān)于的方程組，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為、、、四點共面，則存在、使得，所以，，所以，，因為，即，所以，，因為，即，所以，，可得，解得.故答案為：.19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F(xiàn)為與的交點．(1)求證：，．(2)求證：是異面直線與的公垂線段．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫出圖形中各點的坐標(biāo)，用向量法證明直線垂直；（2）用空間向量法證明直線垂直．（1）以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．正方體中，，則，，，，，，，，，，．所以，，．因為，所以，即；因為，所以，即；（2）由（1），，．所以，所以，即；，所以，即．又，所以是異面直線與的公垂線段．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；【答案】證明見解析【分析】取的中點，連接，取的中點，連接，證明平面，平面，得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，設(shè)，由求得點坐標(biāo)，證明向量共面，得證四點共面．【詳解】取的中點，連接，取的中點，連接，因為平面平面，且平面平面，而為等邊三角形，所以，因此平面，因為平面平面，且平面平面，又因為為等邊三角形，所以，因此平面，又因為平面，因此，又因為為等邊三角形，所以，因此兩兩垂直，從而以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又因為均為邊長為2的等邊三角形，所以，，，設(shè)，則，，，由于，所以，解得，因此，所以，，，所以，由空間向量基本定理可知：共面，所以四點共面；【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平行六面體中，，，，，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：，則，，，，，，所以，故選：D2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）四棱柱的底面是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2，且，則線段的長度是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量運算法則表示，平方化簡計算得解.【詳解】因為，且所以所以，即線段的長度是.故選：D.3．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知矩形的對角線交于點，將沿翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出翻折后的位置，利用向量垂直，數(shù)量積為零，找出關(guān)系式，進而求得，再利用極限位置求得a的最小值，即可求得答案?！驹斀狻咳鐖D示,設(shè)處為沿翻折后的位置，以D為坐標(biāo)原點，DA,DC分別為x,y軸，過點D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由于,故，而，由于,故，則，即；又由在翻折過程中存在某個位置，便得，不妨假設(shè),則，即，即，當(dāng)將翻折到如圖位置時，位于平面ABCD內(nèi)，不妨假設(shè)此時，設(shè)垂足為G,作AD的延長線，垂足為F,此時在x軸負半軸上方向上，DF的長最大，a取最小值，由于，故,所以,而,故，又,故為正三角形，則,而,故,則，故，，則，故的取值范圍是，故選：A【點睛】本題考查了空間的垂直關(guān)系，綜合性較強，解答時要充分發(fā)揮空間想象力，明確空間的點線面的位置關(guān)系，解答時涉及到空間坐標(biāo)系的建立以及空間向量的應(yīng)用，還要注意極限位置的利用，有較大難度.4．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）如圖，在平行六面體中，AB＝AD＝2，，，點E是AB中點，則異面直線與DE所成角余弦值是______．【答案】【分析】以為空間向量的一組基底，用基底表示向量，根據(jù)向量間的夾角公式計算即可求解.【詳解】由題意，AB＝AD＝2，，且,,，又,,,設(shè)異面直線與DE所成角為，則.故答案為：5．（2022·浙江·模擬預(yù)測）若、、是棱長為的正四面體棱上互不相同的三點，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】設(shè)點、、分別棱長為的正三棱錐的棱、、上的動點，設(shè)，其中，利用三角不等式推導(dǎo)出，利用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)