微考點(diǎn)6-6 圓錐曲線中斜率和積與韋達(dá)定理的應(yīng)用（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)追蹤與預(yù)測（新高考專用）

第第頁微考點(diǎn)6-6圓錐曲線中斜率和積與韋達(dá)定理的應(yīng)用【考點(diǎn)分析】斜率和（積）構(gòu)造與韋達(dá)定理目前我們市面上的斜率型題目中一大類就是斜率和（積）構(gòu)造，這其中主要特征就是一定點(diǎn)兩動點(diǎn)，而定點(diǎn)的特征又可進(jìn)一步分成在坐標(biāo)軸上和一般點(diǎn).倘若定點(diǎn)，在橢圓上的動點(diǎn)，那么：①，此時已經(jīng)湊出韋達(dá)定理的形式，就無需再解點(diǎn)，可直接代入韋達(dá)定理求解.②,這里對交叉項(xiàng)的處理可進(jìn)一步代入直線方程：，化簡可得：（*），再代入韋達(dá)定理.注意，這一步代入很重要，（*）式是一個非常簡潔的結(jié)構(gòu)，易于操作.③.可進(jìn)一步代入直線方程：，化簡可得：【精選例題】【例1】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上．過C的右焦點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若動點(diǎn)P滿足，求動點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】(1)；(2)x＝2【詳解】（1）由題意，b＝1，，又，解得b＝1，，c＝1．故橢圓C的方程為．（2）直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為．設(shè)，，．將代入，得．于是，．①由題意，有，即．顯然點(diǎn)不在直線上，∴，從而．將式①代入，得，化簡得．當(dāng)直線MN的斜率不存在時，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．故滿足題意的點(diǎn)P的軌跡方程為直線x＝2．【例2】已知點(diǎn)在雙曲線上，直線（不過點(diǎn)）的斜率為，且交雙曲線于、兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線、的斜率之和為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析【詳解】（1）解：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）證明：由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)、，

聯(lián)立可得，，解得或，由韋達(dá)定理可得，，所以，.可得直線、的斜率之和為.【例3】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且、位于第一象限，在線段上，直線與直線相交于點(diǎn)，連接、，直線、的斜率分別記為、，求的值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：由題意知，，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，即，解得，，，因此，橢圓的方程為．（2）解：如下圖所示：不妨設(shè)、，由圖可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，則，則，聯(lián)立可得，，可得，即，解得，由韋達(dá)定理可得，解得，所以，，易知、，由于在直線上，設(shè)，又由于在直線上，則，所以，，.【例4】已知橢圓的離心率是，且過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，且P，Q為橢圓C上異于，的點(diǎn)，若直線過點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立．若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在實(shí)數(shù)，滿足題設(shè)條件【詳解】（1）由題意，，，解得：①．∵點(diǎn)在橢圓C上，∴②聯(lián)立①、②，解得，，故所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）解法一：由（1）知，．當(dāng)直線斜率不存在時，．與橢圓聯(lián)立可得，，則，，故而，可得；得當(dāng)直線斜率存在且不為0時，設(shè)，令，，則，．聯(lián)立消去y并整理，得，則由韋達(dá)定理得，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，即，整理得，變形為，則，即，即，即或，得或．當(dāng)時，．此時，，整理得，解得與題設(shè)矛盾，所以，所以．解法二：由（1）知，，．可設(shè)，，．聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得：，，所以，所以故存在實(shí)數(shù)，滿足題設(shè)條件．【例5】已知橢圓：的右焦點(diǎn)在直線上，分別為的左、右頂點(diǎn)，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是否存在過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，使得直線，的斜率之和等于-1?若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，其方程為：【詳解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為故在橢圓中，由題意，結(jié)合，則，所以橢圓的方程為：（2）當(dāng)直線的斜率為0時，顯然不滿足條件，當(dāng)直線的傾斜角不為時，設(shè)直線的方程為：，，由，可得，由題意，則由，化簡可得，由，即，故存在滿足條件的直線，直線的方程為：【例6】雙曲線C：的左頂點(diǎn)為A，焦距為4，過右焦點(diǎn)F作垂直于實(shí)軸的直線交雙曲線C于B，D兩點(diǎn)，且是直角三角形．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M，N是C右支上的兩動點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率為k1，k2，若，試問：直線MN是否經(jīng)過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．【答案】(1)，(2)過定點(diǎn)，理由見解析【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，半焦距，則，當(dāng)時，，，所以，所以，由，得，所以，，解得或（舍去），所以，所以雙曲線方程為，（2）由題意可知直線的斜率不為零，所以設(shè)直線為，設(shè)，由，得，由，得，所以，由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，化簡得，所以，所以，化簡得，解得或，因?yàn)镸，N是C右支上的兩動點(diǎn)，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn)

【跟蹤訓(xùn)練】1.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為為橢圓上異于四個頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).(1)求面積的最大值；(2)記直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析【詳解】（1）方法1：如圖所示，由題意知，，，，設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離為：，所以，所以.故△MBD面積的最大值為：.方法2：設(shè)與平行的直線，聯(lián)立得，令，顯然當(dāng)時與橢圓的切點(diǎn)與直線的距離最大，，所以.故△MBD面積的最大值為：.（2）如圖所示，設(shè)直線，聯(lián)立得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)為，則，所以，即，所以，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，所以.故為定值.2.已知點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)證明見解析，定點(diǎn)為.【詳解】（1）設(shè)到漸近線，即的距離為，則，結(jié)合得，又在雙曲線上，所以，得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）聯(lián)立，消去并整理得，則，，即，設(shè)，，則，，則，所以，所以，所以，整理得，所以，所以，因?yàn)橹本€不過，即，，所以，即，所以直線，即過定點(diǎn).

3.已知橢圓：，，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，證明，斜率之積為定值．解析：（1）由題意得，故橢圓為，又點(diǎn)在上，所以，得，，故橢圓的方程即為；（2）由已知直線過，設(shè)的方程為，聯(lián)立兩個方程得，消去得：，得，設(shè)，，則，（*），因?yàn)?，故，將?）代入上式，可得：，∴直線與斜率之積為定值．4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，M是平面內(nèi)一動點(diǎn)，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．(1)求動點(diǎn)M的軌跡；(2)設(shè)過的直線交曲線于C，D兩點(diǎn)，Q為平面上一動點(diǎn)，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點(diǎn)Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．【答案】(1)；(2)在定直線y＝8（x≠0）上．【詳解】（1）設(shè)，則，由題意知－4＜x＜4．∵，∴，即，故動點(diǎn)M的軌跡為．（2）存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．理由如下：當(dāng)直線CD的斜率存在時，設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋1．設(shè)，，，則，，，由此知．將y＝kx＋1代入，得，于是，．①條件即，也即．將，代入得．顯然不在直線y＝kx＋1上，∴，從而得，即．將，代入得．將式①代入得，解得．當(dāng)直線CD的斜率不存在時，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．因此存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．5.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB．【答案】(1)或．(2)證明見解析【詳解】（1）由已知得，直線l的方程為x＝1．l的方程與C的方程聯(lián)立可得或．∴直線AM的方程為或．（2）證明：證法一（【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立）當(dāng)與軸重合時，．當(dāng)與軸垂直時，為的垂直平分線，∴．當(dāng)與軸不重合也不垂直時，設(shè)的方程為，，則，直線、的斜率之和為．由得．將代入得．∴．則．從而，故、的傾斜角互補(bǔ)，∴．綜上，．6.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析【詳解】（1）由題意，，直線l的方程為，代入，得．于是，∴焦點(diǎn)弦，解得p＝2．故拋物線E的方程為．（2）因在E上，∴m＝2．設(shè)E在P處的切線方程為，代入，得．由，解得t＝1，∴P處的切線方程為y＝x＋1，從而得．易知直線MN的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，．將代入，得．于是，，且，．∴．故為定值2．7.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為和，求的值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意，，，且，解得，．故橢圓E的方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y＝kx＋2，設(shè)，．將y＝kx＋2代入，消去y得；消去x得．于是，，，．∴．當(dāng)直線l的斜率不存在時，，，此時．綜上，1．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即得.（2）利用（1）中信息，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式列式求解即得.【詳解】（1）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，，由消去x并整理得，顯然，于是，所以.（2）由（1）知，假定存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立，由拋物線對稱性知，點(diǎn)在x軸上，設(shè)，則直線的斜率互為相反數(shù)，即，即，整理得，即，亦即，而不恒為0，則，所以存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立，點(diǎn)的坐標(biāo)為.2．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線與交于不重合的兩點(diǎn)，且，直線和的斜率分別為和.求證：為定值.【答案】(1);(2)證明過程見解析【分析】（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由焦點(diǎn)弦公式得到方程，求出，得到拋物線方程；（2）當(dāng)直線的斜率為0時不合要求，設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，故直線方程為，聯(lián)立與得，設(shè)，則，則，所以，解得，故拋物線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時，直線與拋物線只有1個交點(diǎn)，不合要求，設(shè)直線為，聯(lián)立得，，設(shè)，則，則，所以.所以，為定值.【點(diǎn)睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.3．已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且.(1)求的方程；(2)直線與交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）將代入，并結(jié)合得到方程組，求出，，，得到雙曲線方程；（2）聯(lián)立與，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)根的判別式得到的取值范圍，結(jié)合，變形得到，求出答案.【詳解】（1）由題意得，，因?yàn)?，所以，即，解得?，當(dāng)時，，解得，滿足要求，當(dāng)時，，無解，舍去；所以；（2）聯(lián)立與得，要想線與交于兩點(diǎn)，則要，解得且，設(shè)，，則，其中，，故，因?yàn)椋?，即，變形為，即①?/p>

要想①恒成立，則，解得，滿足且，故.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線結(jié)合問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題目條件列出方程，或得到弦長或面積，本題中已經(jīng)給出等量關(guān)系，只需代入化簡整理即可.4．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（、在軸的兩側(cè)），記直線，，，的斜率分別為，，，．（i）求的值；（ii）若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）【分析】（1）結(jié)合離心率與焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離計算即可得；（2）（i）設(shè)出直線，聯(lián)立后消去得與有關(guān)的韋達(dá)定理后求解即可得；（ii）借助（i）中的結(jié)論，將面積用未知數(shù)表達(dá)后結(jié)合換元法借助函數(shù)性質(zhì)求最最值即可得.【詳解】（1）由于橢圓的離心率為，故，又，所以，，，所以橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)與軸交點(diǎn)為，由于直線交橢圓Ｃ于、兩點(diǎn)（、在軸的兩側(cè)），故直線的的斜率不為，直線的方程為，聯(lián)立，則，則，設(shè)，，則，，又，，故，同理．（ii）因?yàn)?，則，．又直線交與軸不垂直可得，所以，即．所以，，于是，，整理得，解得或，因?yàn)椤⒃谳S的兩側(cè)，所以，，又時，直線與橢圓有兩個不同交點(diǎn)，因此，直線恒過點(diǎn)，此時，，，設(shè)，由直線交與軸不垂直可得，故，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在面積的表示及運(yùn)算，結(jié)合換元法解決最后分式不等式的范圍問題.5．已知曲線C上的任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的倍.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)，，過點(diǎn)的直線l在y軸的右側(cè)與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，記直線AM，BN的斜率分別為，，求直線l的斜率k的取值范圍以及的值.【答案】(1)；(2)，【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意計算即可得；（2）設(shè)出直線方程與兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線方程與曲線方程聯(lián)立后得到與縱坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理，由交點(diǎn)都在雙曲線右側(cè)計算可得斜率范圍，計算可得，即可得.【詳解】（1）設(shè)是曲線C上的任意一點(diǎn)，則，化簡得，所以曲線C的方程為；（2）設(shè)，，直線AB的方程為，由，消去x并整理得，則，，則，，因?yàn)橹本€l在y軸的右側(cè)與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，所以，即，所以，即，即，解得，即，解得或，所以直線l的斜率k的取值范圍是，又，即，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解圓錐曲線中與直線斜率有關(guān)問題時，常常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及斜率公式求解.6．已知橢圓的離心率，短軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為的動直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一定點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)、、，設(shè)直線的方程為，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出，進(jìn)而可得出，化簡的表達(dá)式，根據(jù)為定值可得出關(guān)于、的等式，結(jié)合可求得、的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率，短軸長為，則，解得，故橢圓的方程為.（2）解：設(shè)、、，設(shè)直線的方程為，由得，因?yàn)?、為方程的兩根，所以，則，由，得，由得，同理可得，則，若為定值，則必有，結(jié)合點(diǎn)在直線上，即，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，則，綜上所述，當(dāng)時，為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲