2024屆山西省呂梁市離石區(qū)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆山西省呂梁市離石區(qū)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．不等式的解集為()A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位4．已知，且，把底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的公共點稱為（或）的“亮點”．當時，在下列四點，，，中，能成為的“亮點”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．等比數(shù)列的前項和為，，且成等差數(shù)列，則等于()A． B． C． D．6．角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．圓心為的圓與圓相外切，則圓的方程為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，其圖像相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，且有一條對稱軸為直線，則下列判斷正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱9．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A． B． C． D．10．在同一直角坐標系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則它的前項和為______.12．設(shè)a＞0，b＞0，若是與3b的等比中項，則的最小值是__．13．已知向量為單位向量，向量，且，則向量的夾角為__________．14．適合條件的角的取值范圍是______.15．已知向量、滿足||＝2，且與的夾角等于，則||的最大值為_____．16．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為坐標原點，，，若.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）當時，若方程有根，求的取值范圍.18．關(guān)于的不等式的解集為.（1）求實數(shù)的值；（2）若，求的值.19．已知函數(shù).（1）當時，，求的值；（2）令，若對任意都有恒成立，求的最大值.20．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，且平面平面.為的中點，為的中點，過點，，的平面交于.（1）求證：平面；（2）若時，求二面角的余弦值.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，對于，，其中是常數(shù).（1）試討論：數(shù)列在什么條件下為等比數(shù)列，請說明理由；（2）設(shè)，且對任意的，有意義，數(shù)列的前項和為.若，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

分別求出四個選項中函數(shù)的周期，排除選項后，再通過函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間找出正確選項即可.【題目詳解】由題意觀察選項，C的周期不是，所以C不正確；對于A，，函數(shù)的周期為，但在區(qū)間上為增函數(shù)，故A不正確；對于B，，函數(shù)的周期為，且在區(qū)間上為減函數(shù)，故B正確；對于D，，函數(shù)的周期為，但在區(qū)間上為增函數(shù)，故D不正確；故選：B【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，需熟記正弦、余弦、正切、余切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

可將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，注意分母不為零.【題目詳解】原不等式可化為，其解集為，故選B.【題目點撥】一般地，等價于，而則等價于，注意分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式時分母不為零.3、A【解題分析】

函數(shù)過代入解得，再通過平移得到的圖像.【題目詳解】，函數(shù)過向右平移個單位得到的圖象故答案選A【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)圖形，求函數(shù)表達式，函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)圖形的理解.4、C【解題分析】

利用“亮點”的定義對每一個點逐一分析得解.【題目詳解】由題得，，由于，所以點不在函數(shù)f(x)的圖像上，所以點不是“亮點”；由于，所以點不在函數(shù)f(x)的圖像上，所以點不是“亮點”；由于，所以點在函數(shù)f(x)和g(x)的圖像上，所以點是“亮點”；由于，所以點在函數(shù)f(x)和g(x)的圖像上，所以點是“亮點”.故選C【題目點撥】本題主要考查指數(shù)和對數(shù)的運算，考查指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

根據(jù)等差中項的性質(zhì)列方程，并轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值，進而求得的值.【題目詳解】由于成等差數(shù)列，故，即，所以，，所以，故選A.【題目點撥】本小題主要考查等差中項的性質(zhì)，考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

由，即可判斷.【題目詳解】，則與的終邊相同，則角的終邊落在第三象限故選：C【題目點撥】本題主要考查了判斷角的終邊所在象限，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

求出圓的圓心坐標和半徑，利用兩圓相外切關(guān)系，可以求出圓的半徑，求出圓的標準方程，最后化為一般式方程.【題目詳解】設(shè)的圓心為A，半徑為r，圓C的半徑為R,，所以圓心A坐標為，半徑r為3，圓心距為，因為兩圓相外切，所以有,故圓的標準方程為:,故本題選A.【題目點撥】本題考查了圓與圓的相外切的性質(zhì)，考查了已知圓的方程求圓心坐標和半徑，考查了數(shù)學(xué)運算能力.8、C【解題分析】

本題首先可根據(jù)相鄰的兩個對稱中心之間的距離為來確定的值，然后根據(jù)直線是對稱軸以及即可確定的值，解出函數(shù)的解析式之后，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求出最小正周期、對稱軸、單調(diào)遞增區(qū)間以及對稱中心，即可得出結(jié)果．【題目詳解】圖像相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，即函數(shù)的周期為，由得，所以，又是一條對稱軸，所以，，得，又，得，所以.最小正周期，項錯誤；令，，得對稱軸方程為，，選項錯誤；由，，得單調(diào)遞增區(qū)間為，，項中的區(qū)間對應(yīng)，故正確；由，，得對稱中心的坐標為，，選項錯誤，綜上所述，故選C．【題目點撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)圖像性質(zhì)來求三角函數(shù)解析式以及根據(jù)三角函數(shù)解析式得出三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，考查對函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的理解，考查推理能力，是中檔題．9、D【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)和增函數(shù)的定義逐項判斷.【題目詳解】選項A：不是奇函數(shù)，不正確；選項B:：在是減函數(shù)，不正確；選項C：定義域上沒有單調(diào)性，不正確；選項D：設(shè)，是奇函數(shù)，，在都是單調(diào)遞增，且在處是連續(xù)的，在上單調(diào)遞增，所以正確.故選:D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，對于常用函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【題目詳解】當時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，D選項符合；當時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【題目點撥】易出現(xiàn)的錯誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認識函數(shù)的單調(diào)性.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項公式求出公比，由此能求出它的前項和.【題目詳解】設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由，得，且，解得，它的前項和為.故答案：.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的前項和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】由已知,是與的等比中項，則則，當且僅當時等號成立故答案為2【題目點撥】本題考查基本不等式的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)，其中熟練應(yīng)用“乘1法”是解題的關(guān)鍵．13、【解題分析】因為，所以，所以，所以，則.14、【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的符號法則，得，從而求出的取值范圍.【題目詳解】，的取值范圍的解集為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)符號法則的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

在中，令，可得，可得點在半徑為的圓上，，可得，進而可得的最大值．【題目詳解】∵向量、滿足||＝1，且與的夾角等于，如圖在中，令，，可得可得點B在半徑為R的圓上，1R4，R＝1．則||的最大值為1R＝4【題目點撥】本題考查了向量的夾角、模的運算，屬于中檔題．16、【解題分析】

化簡函數(shù)解析式，，時，是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集，即可求解.【題目詳解】,時，,且在上是減函數(shù)，，，因為解得.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的單調(diào)減區(qū)間為;(2).【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)向量點積的坐標運算得到，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得到單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將式子變形為.有解，轉(zhuǎn)化為值域問題．解析：（Ⅰ）∵，，∴其單調(diào)遞減區(qū)間滿足，，所以的單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）∵當時，方程有根，∴.∵，∴，∴，∴，∴.點睛：這個題目考查了，向量點積運算，三角函數(shù)的化一公式，，正弦函數(shù)的單調(diào)性問題，三角函數(shù)的值域和圖像問題．第二問還要用到了方程的零點的問題．一般函數(shù)的零點和方程的根，圖象的交點是同一個問題，可以互相轉(zhuǎn)化．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由行列式的運算法則，得原不等式即，而不等式的解集為，采用比較系數(shù)法，即可得到實數(shù)的值；（2）把代入，求得，進一步得到，再由兩角差的正切公式即可求解.【題目詳解】（1）原不等式等價于，由題意得不等式的解集為，故是方程的兩個根，代入解得，所以實數(shù)的值為.（2）由，得，即.，【題目點撥】本題考查了行列式的運算法則、由一元二次不等式的解集求參數(shù)值、二倍角的正切公式以及兩角差的正切公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)得，得或，結(jié)合取值范圍求解；（2）結(jié)合換元法處理二次不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1），即，即有，所以或，即或由于，，所以；（2），令，對任意都有恒成立，即對恒成立，只需，解得：，所以的最大值為.【題目點撥】此題考查根據(jù)三角函數(shù)值相等求自變量取值的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)處理不等式問題，根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，涉及根的分布的問題.20、(1)證明見解析；(2)【解題分析】

（1）首先證明平面，由平面平面，可說明，由此可得四邊形為平行四邊形，即可證明平面；（2）延長交于點，過點作交直線于點，則即為二面角的平面角，求出的余弦值即可得到答案．【題目詳解】（1）∵為矩形∴，平面，平面∴平面.又因為平面平面，∴.為中點，為中點，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形所以，平面，平面所以平面（2）不妨設(shè)，.因為為中點，為等邊三角形，所以，，且∵，所以有平面，故因為平面平面∴平面，又，∴平面，則延長交于點，過點作交直線于點，由于平行且等于，所以為中點，，由于，，，所以平面，則，所以即為二面角的平面角在中，，，所以，所以.【題目點撥】本題考查線面平行的證明，以及二面角的余弦值的求法，