2024屆福建省福州市鼓樓區(qū)福州一中數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆福建省福州市鼓樓區(qū)福州一中數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若是等差數(shù)列，首項，，，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n=（）A．2017 B．2018 C．4035 D．40342．圓心在(-1,0),半徑為的圓的方程為()A． B．C． D．3．若正數(shù)滿足，則的最小值為A． B．C． D．34．設(shè)，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，且，（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．34 B．42 C．54 D．726．如圖，正方形中，是的中點，若，則（）A． B． C． D．7．已知扇形的半徑為，面積為，則這個扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C．2 D．48．已知函數(shù)，其函數(shù)圖像的一個對稱中心是，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可以是（）A． B． C． D．9．用數(shù)學歸納法證明的過程中，設(shè)，從遞推到時，不等式左邊為（）A． B．C． D．10．設(shè)，則()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．終邊經(jīng)過點，則_____________12．在△中，三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則________13．對于數(shù)列滿足：，其前項和為記滿足條件的所有數(shù)列中，的最大值為，最小值為，則___________14．己知中，角所対的辻分別是.若，=，，則=______.15．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______.16．在中，若，則等于__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項和．（1）求數(shù)列通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.18．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，；（1）求公差的取值范圍；（2）判斷與0的大小關(guān)系，并說明理由；（3）指出、、、中哪個最大，并說明理由；19．在海上進行工程建設(shè)時，一般需要在工地某處設(shè)置警戒水域；現(xiàn)有一海上作業(yè)工地記為點，在一個特定時段內(nèi)，以點為中心的1海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點正北海里處有一個雷達觀測站，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東且與點相距10海里的位置，經(jīng)過12分鐘又測得該船已行駛到點北偏東且與點相距海里的位置.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.試判斷它是否會進入警戒水域（點與船的距離小于1海里即為進入警戒水域），并說明理由.20．設(shè)，若存在，使得，且對任意，均有（即是一個公差為的等差數(shù)列），則稱數(shù)列是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.（1）判斷下列數(shù)列是否為“弱等差數(shù)列”，并說明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）證明：若，則數(shù)列為“弱等差數(shù)列”.（3）對任意給定的正整數(shù)，若，是否總存在正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個長度為的“弱等差數(shù)列”？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由21．在平面直角坐標系中，已知A(-1,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足MAMB=12，設(shè)動點（1）求動點M的軌跡方程，并說明曲線C是什么圖形；（2）過點1,2的直線l與曲線C交于E,F兩點，若|EF|=455（3）設(shè)P是直線x+y+8=0上的點，過P點作曲線C的切線PG,PH，切點為G,H，設(shè)C'(-2,0)，求證：過

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，由等差數(shù)列前項和公式可得則，，得解.【題目詳解】解：由是等差數(shù)列，又，所以，又首項，，則，，則，，即使前n項和成立的最大正整數(shù)，故選：D.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，重點考查了等差數(shù)列前項和公式，屬中檔題.2、A【解題分析】

根據(jù)圓心和半徑可直接寫出圓的標準方程.【題目詳解】圓心為(-1,0),半徑為，則圓的方程為故選：A【題目點撥】本題考查圓的標準方程的求解，屬于簡單題.3、A【解題分析】

由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，因為，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構(gòu)造，利用基本不是準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】試題分析：由面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則兩面垂直，可得，可得考點：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)5、C【解題分析】

還原幾何體得四棱錐E﹣ABCD，由圖中數(shù)據(jù)利用椎體的體積公式求解即可.【題目詳解】依三視圖知該幾何體為四棱錐E﹣ABCD，如圖，ABCD是直角梯形，是棱長為6的正方體的一部分，梯形的面積為：12幾何體的體積為：13故選：C．【題目點撥】本題考查三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確還原幾何體和補形是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．6、B【解題分析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)正方形邊長為，利用平面向量的坐標運算建立有關(guān)、的方程組，求出這兩個量的值，可得出的值.【題目詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)正方形邊長為，由此，，故，解得.故選B.【題目點撥】本題考查平面向量的線性運算，考查平面向量的基底表示，解題時也可以利用坐標法來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.7、D【解題分析】

利用扇形面積，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于圓心角的弧度數(shù)的方程，即可解得.【題目詳解】解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，因為扇形所在圓的半徑為，且該扇形的面積為，則扇形的面積為，解得：.故選：D.【題目點撥】本題在已知扇形面積和半徑的情況下，求扇形圓心角的弧度數(shù)，著重考查了弧度制的定義和扇形面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

根據(jù)對稱中心，結(jié)合的范圍可求得，從而得到函數(shù)解析式；將所給區(qū)間代入求得的范圍，與的單調(diào)區(qū)間進行對應(yīng)可得到結(jié)果.【題目詳解】為函數(shù)的對稱中心，解得：，當時，，此時不單調(diào)，錯誤；當時，，此時不單調(diào)，錯誤；當時，，此時不單調(diào)，錯誤；當時，，此時單調(diào)遞增，正確本題正確選項：【題目點撥】本題考查正切型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，涉及到利用正切函數(shù)的對稱中心求解函數(shù)解析式；關(guān)鍵是能夠采用整體對應(yīng)的方式，將正切型函數(shù)與正切函數(shù)進行對應(yīng)，從而求得結(jié)果.9、C【解題分析】

比較與時不等式左邊的項，即可得到結(jié)果【題目詳解】因此不等式左邊為，選C.【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題10、A【解題分析】

先由誘導(dǎo)公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根據(jù)39°∈（30°，45°）得到大致范圍.【題目詳解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故選A．【題目點撥】這個題目考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，題目比較基礎(chǔ).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)正弦值的定義，求得正弦值.【題目詳解】依題意.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)角的終邊上一點的坐標求正弦值，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

利用正弦定理求解角,再利用面積公式求解即可.【題目詳解】由,因為,故,.故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了解三角形的運用,根據(jù)題中所給的邊角關(guān)系選擇正弦定理與面積公式等.屬于基礎(chǔ)題型.13、1【解題分析】

由，，，，，分別令，3，4，5，求得的前5項，觀察得到最小值，，計算即可得到的值．【題目詳解】由，，，，，可得，解得，又，，可得或，又，，，可得或5；或6；或或8；又，，，，可得或6或7；或7或8；或8或9或10或12；或10或12或1．綜上可得的最大值，最小值為，則．故答案為：1．【題目點撥】本題考查數(shù)列的和的最值，注意運用元素與集合的關(guān)系，運用列舉法，考查判斷能力和運算能力，屬于中檔題．14、1【解題分析】

應(yīng)用余弦定理得出，再結(jié)合已知等式配出即可．【題目詳解】∵，即，∴，①又由余弦定理得，②，②－①得，∴，∴．故答案為1．【題目點撥】本題考查余弦定理，掌握余弦定理是解題關(guān)鍵，解題時不需要求出的值，而是用整體配湊的方法得出配湊出，這樣可減少計算．15、【解題分析】

令，可得，從而將問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個不同交點，作出圖形，可求出答案.【題目詳解】由題意，令，則，則和的圖象有兩個不同交點，作出的圖象，如下圖，是過點的直線，當直線斜率時，和的圖象有兩個交點.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數(shù)零點問題，考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.16、；【解題分析】

由條件利用三角形內(nèi)角和公式求得，再利用正弦定理即可求解.【題目詳解】在中，，，，即，，故答案為：【題目點撥】本題考查了正弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)和關(guān)系得到答案.（2）首先計算數(shù)列通項，再根據(jù)裂項求和得到答案.【題目詳解】解：（1）當時，當時，（2）【題目點撥】本題考查了和關(guān)系，裂項求和，是數(shù)列的?？碱}型.18、（1）；（2），理由見解析；（3），理由見解析；【解題分析】

（1）由，，，得到不等式且，即可求解公差的取值范圍；（2）由，，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式，得到且，即可求解；（3）有（2）知，可得，數(shù)列為遞減數(shù)列，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，等差數(shù)列的前項和為，且，，，可得，，即且，解得，即公差的取值范圍是.（2）由，，可得且，即且，所以，所以.（3）有（2）知，可得，數(shù)列為遞減數(shù)列，當時，，當時，，所以、、、中最大.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的前項和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答熟記等差數(shù)列的前項和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，合理利用數(shù)列的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）海里/小時；（2）該船不改變航行方向則會進入警戒水域，理由見解析.【解題分析】

（1）建立直角坐標系，首先求出位置與位置的距離，然后除以經(jīng)過的時間即可求出船的航行速度；（2）求出位置與位置所在直線方程，求出位置與直線的距離與1海里對比即可.【題目詳解】（1）如圖建立平面直角坐標系：設(shè)一個單位長度為1海里，則坐標中，，，，再由方位角可求得：，，所以，又因為12分鐘=0.2小時，則（海里/小時），所以該船行駛的速度為海里/小時；（2）直線的斜率為，所以直線的方程為：，即，所以點到直線的距離為，即該船不改變航行方向行駛時離點的距離小于1海里，所以若該船不改變航行方向則會進入警戒水域.【題目點撥】本題主要考查了直角坐標系中兩點間距離的計算，直線與圓的位置關(guān)系，屬于一般題.20、（1）①是，②不是,理由見解析（2）證明見解析（3）存在，證明見解析【解題分析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；

（2）根據(jù)題意找出符合條件的為等差數(shù)列即可；

（3）首先，根據(jù)，將公差表示出來，計算任意相鄰兩項的差值可以發(fā)現(xiàn)不大于．那么用裂項相消的方法表示出，結(jié)合相鄰兩項差值不大于可以得到，接下來，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開可以發(fā)現(xiàn)多項式的最高次項為，而已知，因此在足夠大時顯然成立．結(jié)論得證.【題目詳解】解：（1）數(shù)列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數(shù)列”

取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；

數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”

否則，若數(shù)列②為“弱等差數(shù)列”，則存在實數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，

，

，又與矛盾，所以數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”；

（2）證明：設(shè)，

令，取，則，

則，

，

，

就有，命題成立．

故數(shù)列為“弱等差數(shù)列”；（3）若存在這樣的正整數(shù)，使得

成立．

因為，，

則，其中待定．

從而，

又，∴當時，總成立．

如果取適當?shù)?，使得，又?/p>

所以，有

，

為使得，需要，

上式左側(cè)展開為關(guān)于的多項式，最高次項為，其次數(shù)為，

故，對于任意給定正整數(shù)，當充分大時，上述不等式總成立，即總存在滿足條件的正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個長度為的“弱等差數(shù)列”.【題目點撥】本題要求學生能夠從已知分析出“弱等差數(shù)列”要想成立所應(yīng)該具備的要求，進而進行推理，轉(zhuǎn)化，最后進行驗證，本題難度相當大.21、（1）動點M的軌跡方程為(x+2)2+y2=4，曲線C是以(-2,0)為圓心，2為半徑的圓（2）l的方程