貴州天柱2022年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

已知向量忖方

1.=1,2，m,^{a+b\L（a-b\,則實數(shù)m的值為（）

R百D.+直

A.-D.------c

22-42

2.設(shè)/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當尤之0時，/（x）=log2（x+D+ax2—a+l（a為常數(shù)），則不等式/（3%+4）＞—5

的解集為（）

A.(f,T)B.(-1,+??)C.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

3.若z=l+(l—a)i(aeR),|z|=>/5,則。=(

A.()或2B.0C.1或2D.1

4.某公園新購進3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，現(xiàn)將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊,

任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種

A.96B.120C.48D.72

5.在AABC中，分別為NA,ZB,NC所對的邊，/(x)=-x3+bx2+(a2+c2-ac)x

+1有極值點，則的范圍是（）

A.

7171

3,71

6.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,

用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則＞=卜]稱為高斯函數(shù)，例如：[-0.5]=-1,[1.5]=1,已知函數(shù)

/3=4得一32+4（0〈尤＜2），則函數(shù)y=[/（切的值域為（）

3

A.B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2)D.{0,1,2}

5

227

7.已知a>b>0,則下列不等式正確的是（）

A.而一q<的一4B.|—/?|>|\/^-6/|

a

C.D.p-/?|>|?-o|

8.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中.“〃階幻方（〃23,〃€^）”是由前〃2個正整數(shù)組

成的一個”階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的〃個數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如

圖所示）.則“5階幻方”的幻和為（）

C.55D.45

9.已知，：|x+l|>2,q-.x>a,且力是F的充分不必要條件，則。的取值范圍是（）

A.a<\B.a<-3C.aN—1D.a>\

10.設(shè)函數(shù)〃x）=sin?x+夕）（0>0,0<0〈乃）是R上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線x=5對稱，且/（x）

jlJII7T\

在區(qū)間-另，77上是單調(diào)函數(shù)，則/不=（）

乙乙JLJI\14J

_1_

A在夜D.

222

11.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家

畢達哥拉斯公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,

33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

12.已知雙曲線2-q=13>。,6>0）的兩條漸近線與拋物線y2=2/n,（p>0）的準線分別交于點幺、B,O為

ab

坐標原點.若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為百，則p=（）.

3

A.1B.-C.2D.3

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.AA6C的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S.c2=a2+b2-ab>sinA+sinB=25/6sinAsin8,若c=3,則a+力

的值為.

14.在正方體ABCD-A4aq中，E為棱A4的中點，?是棱上的點，且4尸=g/耳，則異面直線所與BG

所成角的余弦值為.

22

15.如圖，在平面四邊形ABC。中，點A，C是橢圓土+乙=1短軸的兩個端點，點B在橢圓上，

43

S.

ZBAD=ZBCD^90°,記AABC和AAOC的面積分別為耳，S2,則肅=.

26

16.若(2x+l)6=tz0+a1(x+l)+?2(x+l)H-i-a6(x+l),則a[>+a}+2a2+3a3+4a4+5%+6%=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABCD中，底面ABCD為菱形，P4_L底面ABC。，N&LD=60°A3=4.

(2)若直線PC與平面ABCO所成的角為30°,求平面246與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

18.(12分)在直角坐標系xOy中，把曲線(a為參數(shù))上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標

y=2sme

不變,得到曲線C,.以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系，曲線g的極坐標方程psin(6--)=472.

4

(1)寫出C2的普通方程和C3的直角坐標方程；

(2)設(shè)點M在上，點N在G上，求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標.

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=x+a?+lnx（。為常數(shù)）

(I)當。=一5時，求的單調(diào)區(qū)間；

(D)若“X)為增函數(shù)，求實數(shù)"的取值范圍.

22/T

20.(12分)已知橢圓C:=+與=1(。＞匕＞0)的離心率為業(yè)，且經(jīng)過點

a2b22

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(6,0卜乍直線/與橢圓。交于不同的兩點A,B,試問在X軸上是否存在定點。使得直線出與直線Q3恰

關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

21.(12分)記函數(shù)/(x)=x+；+|2x-l|的最小值為加.

(1)求)的值;

(2)若正數(shù)。，b,c滿足〃歷=加，證明：ab^bc+ca＞--------

a+Z?+c

1

x=—+cosa

2

22.(10分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)).以原點。為極點，x軸

出.

y=——+sina

2

的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系.

7T

(1)設(shè)直線/的極坐標方程為。=—,若直線/與曲線C交于兩點A.B,求A5的長;

12

TT

(2)設(shè)N是曲線C上的兩點，若NMON=—,求AOMN面積的最大值.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由兩向量垂直可得(￡+可,(￡一萬)=0,整理后可知同2-@『=0,將已知條件代入后即可求出實數(shù)m的值.

【詳解】

解：++=即問--好=0,

將問=1和埠=出+,/代入，得出加2=：,所以加=±#.

故選:D.

【點睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標運算.對于向量問題，若已知垂直，通常可得到兩個向量的數(shù)量積為0,

繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.

2.D

【解析】

2

由/(0)=0可得〃=1,所以/(%)=log2(x+l)+x(x>0),由/(%)為定義在R上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增

函數(shù)，可知y=/(x)在R上單調(diào)遞增，注意到/(—2)=-/(2)=-5,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.

【詳解】

因為.f(x)在R上是奇函數(shù).所以/(0)=0,解得〃=1,所以當x?()時，

2

/(x)=log2(x+l)+x,且xw[0,+o。)時，/(x)單調(diào)遞增，所以

y=/(x)在R上單調(diào)遞增，因為/(2)=5,/(-2)=-5,

故有3x+4>—2,解得x>-2.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力，是一道中檔題.

3.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的模的運算列方程，解方程求得。的值.

【詳解】

由于z=l+(l-a)i(aeH),|z|=0,所以jB+0—=及,解得。=0或。=2.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有A；A：,扣除郁金香在兩邊有2&A；,即可求出結(jié)論.

【詳解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A；種，

然后將3盆錦紫蘇放入到4個位置中有用種，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有用閻，扣除郁金香在兩邊，

排2盆虞美人、1盆郁金香有2種，

再將3盆錦紫蘇放入到3個位置中有A；,

根據(jù)分步計數(shù)原理有2A；A：,

所以共有國閥-2可用=120種.

故選:B.

【點睛】

本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

5.D

【解析】

試題分析：由已知可得/'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有兩個不等實根

n△=-4(/+c2-ac)>0=/+<?一。2<ac=>cosB=一"兀)

考點：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.

【方法點晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯

思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為

r(x)=V+2bx+(a2+c2-ac)=。有兩個不等實根，從而可得

△=4/-4(a)+c2-ac)>On/+c?-b1<ac=>cosB-~~~——~~<g=臺］三，兀)

6.B

【解析】

利用換元法化簡/(x)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得了(%)的取值范圍，由此求得>=［/(%)］的

值域.

【詳解】

4"12

因為〃幻=4舊_3-2*+4(0＜X＜2),所以丁==-32+4=5(2?-32+4,令7=「(1＜。＜4),則

八/4萬'

1113

/(f)=5/_3f+4(1＜Z＜4),函數(shù)的對稱軸方程為f=3,所以/⑺訕:/仃)：—a，/⑺,皿=〃1)=5,所以

/U)e—g，￡］，所以尸［一(切的值域為{TO4}.

故選：B

【點睛】

本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，

換元思想，分類討論和應(yīng)用意識.

7.D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項.

【詳解】

已知4＞匕＞0,賦值法討論。＞匕＞0的情況：

(1)當a＞Z?21時，令a=2,b-l,貝!|—4,卜—。卜歸—《，排除B、C選項；

(2)當時，令a=；,b=；,貝“右一區(qū)＞|逐一《，排除A選項.

故選：D.

【點睛】

比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值代入法，排除不符合條

件的選項，得到符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于中等題.

8.B

【解析】

計算1+2+…+25的和，然后除以5,得到“5階幻方”的幻和.

【詳解】

1+25

依題意“5階幻方”的幻和為1+2+…+25g故選B.

----------=---2------=63

55

【點睛】

本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前“項和公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

“力是F的充分不必要條件”等價于“q是P的充分不必要條件”，即q中變量取值的集合是P中變量取值集合的真子

集.

【詳解】

由題意知：p：|x+l]>2可化簡為{x|x<—3或x>l},q-x>a,

所以4中變量取值的集合是P中變量取值集合的真子集，所以。N1.

【點睛】

利用原命題與其逆否命題的等價性，對力是F的充分不必要條件進行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.

10.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(x)為R上的奇函數(shù)可得9,由函數(shù)/(x)的對稱軸及單調(diào)性即可確定①的值，進而確定函數(shù)/(x)的解

析式，即可求得了(1)的值.

【詳解】

函數(shù)/(x)=sin(or+0)(口>0,0<°〈乃)是R上的奇函數(shù)，

則0=%,所以/(九)=-sin&x.

又/(x)的圖象關(guān)于直線x=?對稱可得+攵萬，k&Z,即。=2+4%,keZ,

7T12TC

由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，-<——一,

1140)

即a><5.5,

綜上0=2,則/(x)=-sin2x,

匾卜總

故選：D

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.

11.C

【解析】

先求出五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數(shù)為《=10,再求出6和28恰好在同一組

包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.

【詳解】

解：根據(jù)題意，將五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個,

則基本事件總數(shù)為仁=10,

則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)C；+=4,

10-43

.?.6和28不在同一組的概率P

105

故選：C.

【點睛】

本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.

12.C

【解析】

nr212

試題分析：拋物線）產(chǎn)=2內(nèi),（夕>0）的準線為1=-，雙曲線的離心率為2,則e2=」=i+Q=4,

2acT

-=V3,漸近線方程為y=±6x,求出交點A（_4,，=-XV3px

a2

—=p~=5/3,則P=2；選C

24

考點：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準線方程;

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.372

【解析】

先利用余弦定理求出C,再用正弦定理求出2H并把sinA+sin6=2#sinAsinB轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式，結(jié)合

4+從一,由可求Q+方的值.

【詳解】

2?221

因為。2=/+從—必，故cosC=〃+_一二=因為。^（。，萬），所以

2ab23

2R=—7=r=2>/3

由正弦定理可得三角形外接圓的半徑R滿足近

所以265巾4+2641)8=血乂2>/54114乂265皿8即々+人=缶〃.

因為9=a?+人2-ab=(a+b)--3a〃=(a+8)——，

解得。+〃=30或。+。=-孚(舍).

故答案為：3C.

【點睛】

本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬

于中檔題.

14.叵

5

【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標系，寫個各個點的坐標，并求得而，明■.由空間向量的夾角求法即可求得異

面直線EF與8G所成角的余弦值.

【詳解】

根據(jù)題意畫出幾何圖形，以A為原點建立空間直角坐標系:

設(shè)正方體的棱長為1,則E(O,O,3哈,0,11,8(1,0,0),G(l,1,1).

所以喬=(；,0,g),西'=((),1,1).

：，。，撲(。，1，1)

EF?Bq_V10

所以cos<EF、BC\>==-->

5

xV2

4

所以異面直線EF與BC]所成角的余弦值為叵,

5

故答案為：巫.

5

【點睛】

本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.

4

15.-

3

【解析】

依題意易得4、8、C、。四點共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到3的橫坐標，進

S.

一步得到。橫坐標，再由亍=計算比值即可.

?2“I

【詳解】

因為N54Z)=N3CD=90°,所以A、B、C、。四點共圓，直徑為BD,又A、C關(guān)于x軸對稱,

所以圓心￡在工軸上，設(shè)圓心E為。,0),則圓的方程為(尤-。2+/=r+3,聯(lián)立橢圓方程三+匯=1

43

消y得/一8塊=0,解得工=8,故3的橫坐標為8,，又B、。中點是￡,所以。的橫坐標為—6%

S]_I4I4

故「而一

,4

故答案為：—.

3

【點睛】

本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題，考查學(xué)生基本計算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出仄

。橫坐標，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.

16.13

【解析】

由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)/(x)=(2x+l)6,g(x)=%+4(x+l)+出(x+l>+…+4(x+l)6，

所以/1'(■?=12(2x+Ip,g，(x)=q+2%(x+l)+…+6。6(*+1)5,又/(x)=g(x),所以/''(%)=g'(x),即

55

12(2x4-1)=4+2a2(x+1)4-...+6tz6(x+1),

由二項式定理：令x=0得：4+24+3q+4/+56+64，再由g(0)=/(。)，求出為，從而得到

%+4+2a2+3a3+4%+5%+6a6的值；

【詳解】

解：設(shè)f(x)=(2x+l)6,g(x)=q)+4(工+1)+。2(%+1)2+…+%(x+l)6，

55

所以/'(%)=12(2x+1),g〈x)=4+2a2(x+1)+...+(x+1),

又"x)=g(x),所以ra)=g'(x),

55

BP12(2x+l)=q+2a2(x+1)+...+6ah(x+1),

取x=0得：q+2%+3%+4%+5%+6&=12,

又g(O)=f(O),

所以4=1,

故a0+4+2a2+3/+4%+5c4+64=1+12=13,

故答案為：13

【點睛】

本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項式定理，屬于中檔題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)3且

7

【解析】

(1)由底面ABCD為菱形，得3O_LAC,再由胡_L底面ABC。，可得。4_LBO,結(jié)合線面垂直的判定可得BD1.

平面PAC；

(2)以點A為坐標原點，以ARAP所在直線及過點A且垂直于平面PAD的直線分別為％，z,.V軸建立空間直角坐標

系A(chǔ)-肛z,分別求出平面P48與平面PCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面P43與平面PCP所

成銳二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：?.,底面ABC。為菱形，,配工人。，

?.BA，底面ABC。，BOu平面ABC。，..24,BD

又ACc9=A,AC,PAu平面PAC,

.?.由），平面PAC；

(2)解：?.?AB=A￡>,N84￡>=60°,.?.△ABD為等邊三角形,

r.AC=AD-sin60-2=4x—x2=4x/3.

2

?.■Q4，底面ABCD,：.ZPCA是直線PC與平面ABC。所成的角為30°，

pApAG

在RtZXPAC中，由tan/PCA=—=—,解得A4=4.

AC4G3

如圖，以點A為坐標原點，以A。,AP所在直線及過點A且垂直于平面PAO的直線分別為％，z,y軸

建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.

則尸(0,0,4),4(0,0,0),8(2,26,0),￡>(4,0,0),C(6,273,0).

???西=(0,0,—4),而=(2,26,—4),M=(4,0,-4),PC=(6,273,-4).

設(shè)平面PAB與平面PCD的一個法向量分別為m=（x,y,z）,〃=（%,y,馬）.

m-PA=-4z=0

由,9取y=-1,得I%=—1,0)；

m?PB=2x+26y-4z=0

由n?PC-6工1+2石,一4Z]=0

9取X=—l,得n=(￡,—l,百).

n-PD-42-4Z[=0

----m-n2J7

cos<m,n>=———=-----

\m\-\n\7

；?平面以6與平面PCD所成銳二面角的余弦值為垃.

7

B

y

【點睛】

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題.

22

18.(1)C,的普通方程為上+二=1,G的直角坐標方程為x-y+8=0.(2)最小值為2夜，此時”(一3,1)

124

【解析】

(1)由的參數(shù)方程消去￡求得C?的普通方程，利用極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化公式，求得g的直角坐標方程.

(2)設(shè)出M點的坐標，利用點到直線的距離公式求得最小值的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得的最小

值以及此時以點的坐標.

【詳解】

(c0

(1)由題意知G的參數(shù)方程為(-'(a為參數(shù))

y=2sina

22—

所以C,的普通方程為三+匕=1.由夕sin(e—色)=4加.得。cose-osin9+8=0,所以a的直角坐標方程為

1244

x—y+8=0.

(2)由題意，可設(shè)點M的直角坐標為(26cosa,2sina),

因為是直線，所以IMN|的最小值即為M到g的距離d(a),

因為d(a)=1263丁,!10+8]=201cosg+工)+21.

V26

當且僅當a=2&%+且(ZeZ)時，"(a)取得最小值為2百，此時M的直角坐標為Ricos',2sin包)即

666

(-3,1).

【點睛】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標方程化為直角坐標方程，考查利用曲線參數(shù)方程求解點到直線距

離的最小值問題，屬于中檔題.

19.(I)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,；],(4,+00)；單調(diào)遞減區(qū)間為(II)[-4,+8).

【解析】

(I)對函數(shù)/(x)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性即可；

(II)對函數(shù)/'(X)進行求導(dǎo)，由題意知,“X)為增函數(shù)等價于在區(qū)間(0,+。)恒成立，利用分離參數(shù)法和

基本不等式求最值即可求出實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

（I）由題意知，函數(shù)y=/（x）的定義域為（0,+e）,

當。=一5時，/（x）=2x二+2=（2丘1）（五一2）,

2x2x

令r（x）=O,得x=；,或x=4.

所以f（x），/（x）隨大的變化情況如下表:

X4(4,-boo)

尼）4（川

/'（X）+0—0+

9?)

遞增-----In4遞減-6+ln4遞增

/W4

.?./（力的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,；）,（4,依），單調(diào)遞減區(qū)間為（；,4

在區(qū)間（+力）恒成立,

（口）由題意得八力"會+1匕”200,

即-aV2（?+在區(qū)間（0,+”）恒成立.

=2,當且僅當五=3

yfx+>2即％=1時等號成立.

所以-a4=4,所以"的取值范圍是［Y,+8）.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍；考查運算求解能力和

邏輯推理能力；利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.

20.(1)—+/=1(2)見解析

4-

【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱，等價于AQ,BQ的斜率互為相反數(shù),

即上;+』7=0,整理（百一。（%+丫2）-2myy2=0.設(shè)直線|的方程為x+my-6=0,與橢圓C聯(lián)立，將

—

Xj—tx2I\）

韋達定理代入整理即可.

【詳解】

⑴由題意可得走=9,[+3=1,又a2—b2=c2,

2aa-4b-

解得a?=4,b2=l.

2

所以，橢圓C的方程為上+y2=l

4

（2）存在定點Q丁，0，滿足直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱.

I3）

設(shè)直線1的方程為x+my-6=0,與橢圓C聯(lián)立，整理得，（4+m2）y2—26my—l=0.

設(shè)B（X2，y2）,當?+丫0=1,定點Q（t,0b（依題意twxi，tKX2）

z

則由韋達定理可得，%+y,=2媽，y,y2=-U.

1力4+n?4+m.

直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱，等價于AQ,BQ的斜率互為相反數(shù).

所以，告7+己=°，即得y/X2—t）+y2（x「t）=0.

又X[+my]-8=0,x2+my2一6=0,

所以，yjG-my?-t）+y2（G-my「t）=0,整理得，+y2）-Zmym=0.

從而可得，（G—t）?冬空—2m-上f=0，

\）4+m24+m2

即2m（4-Gt）=0,

所以，當1=生叵，即Q（季,（）]時，直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱成立.特別地，當直線]為x軸時，

Q-y-,0也符合題意.綜上所述，存在x軸上的定點Q|于,0,滿足直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱.

\7\7

【點睛】

本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系，熟記橢圓方程簡單性質(zhì)，熟練轉(zhuǎn)化題目條件，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題.

21.(1)tn=l(2)證明見解析

【解析】

(1)將函數(shù)/(x)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進行求解;

(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.

【詳解】

，1/1

22

311

解法一：(1)/(%)=--x+-,--<x<-

c11

JX--,X>一

22

1(1A

當尤時，/(%)>/--=2,

當?shù)男鷍

當