2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019課后習(xí)題10-1-3　古典概型

第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.3古典概型課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.下列試驗(yàn)是古典概型的是()A.種下一粒大豆觀察它是否發(fā)芽B.從規(guī)格直徑為(250±0.6)mm的一批產(chǎn)品中任意抽一根,測(cè)量其直徑C.拋一枚硬幣,觀察其正面或反面出現(xiàn)的情況D.某人射擊中靶或不中靶答案C解析只有C具有古典概型兩個(gè)特征.2.在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球,這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同,現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球,則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是()A.310 B.15 C.110答案A解析從這5個(gè)小球中任取兩個(gè),設(shè)x1,x2分別表示先、后取得的小球的標(biāo)號(hào),則(x1,x2)表示一個(gè)樣本點(diǎn),試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)A=“取出的小球標(biāo)注數(shù)字之和為3或6”,則A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3種,所以所求概率P(A)=n(A)n3.從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()A.12 B.13 C.14答案B解析從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),設(shè)x1,x2分別表示先后取出的2個(gè)數(shù),則可用(x1,x2)表示樣本點(diǎn),試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},設(shè)A=“滿足取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2”,則A={(1,3),(2,4)},故所求概率是264.在2,4,6,8四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為a,再在剩余的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為b,則“ab是整數(shù)”的概率為(A.13 B.14 C.23答案A解析在2,4,6,8四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為a,再在剩余的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為b,基本事件總數(shù)n=12,ab是整數(shù)包含的樣本點(diǎn)(a,b)有:(4,2),(6,2),(8,2),(8,4),共4個(gè),則“ab是整數(shù)”的概率P=412=5.假設(shè)有2名志愿者醫(yī)生來(lái)自甲醫(yī)院,有2名志愿者醫(yī)生來(lái)自乙醫(yī)院,從這4人中任取2人分配新的任務(wù),則兩所醫(yī)院各取一人的概率為()A.13 B.23 C.12答案B解析記2名來(lái)自甲醫(yī)院的醫(yī)生分別為a,b,記2名來(lái)自乙醫(yī)院的醫(yī)生分別為A,B,設(shè)x1,x2分別表示從4人中取的第1個(gè)人,第2個(gè)人,則可用(x1,x2)表示樣本點(diǎn).從這4人中任取2人,則該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6種,設(shè)A=“兩所醫(yī)院各取一人”,則A={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4種.因此,兩所醫(yī)院各取一人的概率為P(A)=466.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戲:甲、乙、丙三人每次都隨機(jī)出“手心(白)”“手背(黑)”中的某一個(gè)手勢(shì),當(dāng)其中一個(gè)人出示的手勢(shì)與另外兩人都不一樣時(shí),這個(gè)人勝出;其他情況,不分勝負(fù).則一次游戲中甲勝出的概率是.

答案1解析一次游戲中,甲、乙、丙出的方法種數(shù)都有2種,所以總共有8種方案,而甲勝出的樣本空間Ω={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2種,所以甲勝出的概率為287.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師性別相同的概率.(2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師來(lái)自同一所學(xué)校的概率.解(1)甲校2名男教師分別用A,B表示,1名女教師用C表示;乙校1名男教師用D表示,2名女教師分別用E,F表示.設(shè)從甲校選出的教師為x1,從乙校選出的教師為x2,則(x1,x2)可表示樣本點(diǎn).從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名,試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9種結(jié)果.設(shè)M=“從中選出2名教師性別相同”,則M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4種結(jié)果,所以選出的2名教師性別相同的概率為P=49(2)設(shè)N=“從甲校和乙校報(bào)名的6名教師中任選2名”,則N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15種結(jié)果.設(shè)O=“從中選出2名教師來(lái)自同一所學(xué)?！?則O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6種結(jié)果,所以選出的2名教師來(lái)自同一所學(xué)校的概率為P=615關(guān)鍵能力提升練8.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,若第一次向上的點(diǎn)數(shù)小于第二次向上的點(diǎn)數(shù),則我們稱其為正試驗(yàn);若第二次向上的點(diǎn)數(shù)小于第一次向上的點(diǎn)數(shù),則我們稱其為負(fù)試驗(yàn);若兩次向上的點(diǎn)數(shù)相等,則我們稱其為無(wú)效試驗(yàn).則一個(gè)人投擲該骰子兩次出現(xiàn)無(wú)效試驗(yàn)的概率是()A.136 B.112 C.16答案C解析連續(xù)拋一枚骰子兩次向上的點(diǎn)數(shù)記為(x,y),則樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36個(gè)樣本點(diǎn),設(shè)“出現(xiàn)無(wú)效試驗(yàn)”為事件A,則A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6個(gè)樣本點(diǎn),則P(A)=6369.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)(質(zhì)數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中,除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù))的和,例如:8=3+5,在不超過(guò)14的質(zhì)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于14的概率為()A.16 B.112 C.114答案D解析不超過(guò)14的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,共6個(gè)數(shù),在這6個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),可用列舉法得出共15種選法,兩個(gè)數(shù)的和等于14的共有(3,11),共有1種選法,所以其和等于14的概率為11510.新高考綜合改革實(shí)施方案將采用“3+1+2”模式,“3”為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)所有學(xué)生必考;“1”為必須在物理、歷史中選一科;“2”為再選科目,考生須在化學(xué)、生物、政治、地理4個(gè)科目中任選兩科.若不考慮主觀因素的影響,選擇各科是等可能的,則某同學(xué)選擇含有地理學(xué)科組合的概率為()A.14 B.12 C.715答案B解析按照“3+1+2”模式選科具體組合如下:(物理,化學(xué),生物),(物理,化學(xué),地理),(物理,化學(xué),政治),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(歷史,化學(xué),生物),(歷史,化學(xué),地理),(歷史,化學(xué),政治),(歷史,生物,政治),(歷史,生物,地理),(歷史,政治,地理),共12種組合,其中含地理學(xué)科的組合有6種,所以某同學(xué)選擇含地理學(xué)科組合的概率P=612=1211.(2021江西南昌期末)2021年3月28日,云南省人民政府發(fā)布《關(guān)于命名“云南省美麗縣城”“云南省特色小鎮(zhèn)”的通知》,命名16個(gè)“云南省美麗縣城”和6個(gè)“云南省特色小鎮(zhèn)”,其中這6個(gè)云南省特色小鎮(zhèn)分別是安寧溫泉小鎮(zhèn)、騰沖銀杏小鎮(zhèn)、祿豐黑井古鎮(zhèn)、劍川沙溪古鎮(zhèn)、瑞麗畹町小鎮(zhèn)、德欽梅里雪山小鎮(zhèn).某人計(jì)劃在今年暑假期間從這6個(gè)云南特色小鎮(zhèn)中任意選三個(gè)去旅游,則其中一個(gè)是安寧溫泉小鎮(zhèn)的概率為()A.12 B.23 C.13答案A解析6個(gè)云南省特色小鎮(zhèn)分別是安寧溫泉小鎮(zhèn)、騰沖銀杏小鎮(zhèn)、祿豐黑井古鎮(zhèn)、劍川沙溪古鎮(zhèn)、瑞麗畹町小鎮(zhèn)、德欽梅里雪山小鎮(zhèn).某人計(jì)劃在今年暑假期間從這6個(gè)云南特色小鎮(zhèn)中任意選三個(gè)去旅游,樣本點(diǎn)共有20個(gè),分別是:(安寧溫泉小鎮(zhèn),騰沖銀杏小鎮(zhèn),祿豐黑井古鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),騰沖銀杏小鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),騰沖銀杏小鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),騰沖銀杏小鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),祿豐黑井古鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),祿豐黑井古鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),祿豐黑井古鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(安寧溫泉小鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(騰沖銀杏小鎮(zhèn),祿豐黑井古鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn)),(騰沖銀杏小鎮(zhèn),祿豐黑井古鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn)),(騰沖銀杏小鎮(zhèn),祿豐黑井古鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(騰沖銀杏小鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn)),(騰沖銀杏小鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(騰沖銀杏小鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(祿豐黑井古鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn)),(祿豐黑井古鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(祿豐黑井古鎮(zhèn),劍川沙溪古鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)),(劍川沙溪古鎮(zhèn),瑞麗畹町小鎮(zhèn),德欽梅里雪山小鎮(zhèn)).其中一個(gè)是安寧溫泉小鎮(zhèn)的有10個(gè),則其中一個(gè)是安寧溫泉小鎮(zhèn)的概率為P=1020=1212.(多選題)下列試驗(yàn)是古典概型的是()A.在適宜的條件下種一粒種子,種子發(fā)芽的概率B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,這4個(gè)球除顏色外完全相同,從中任取一球?yàn)榘浊虻母怕蔆.向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn),該點(diǎn)落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言,甲被選中的概率答案BD13.(多選題)下列關(guān)于各事件發(fā)生的概率判斷正確的是()A.從甲、乙、丙三人中任選兩人擔(dān)任課代表,甲被選中的概率為2B.四條線段的長(zhǎng)度分別是1,3,5,7,從這四條線段中任取三條,則所取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是1C.一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物,假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)地選擇一條路徑,則它能獲得食物的概率為1D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一個(gè)元素,則該元素是集合A∩B中的元素的概率為3答案ABC解析對(duì)于A,從甲、乙、丙三人中任選兩人,則該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3種情況,其中,甲被選中的情況有2種,故甲被選中的概率為P=23,故A正確;對(duì)于B,樣本空間Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共四種情況,而能構(gòu)成三角形的基本事件只有(3,5,7)一種情況,所以所取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是P=14,故B正確;對(duì)于C,該樹枝的樹梢有6處,有2處能找到食物,所以獲得食物的概率為26=13,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)锳∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是14.(多選題)一個(gè)袋子中裝有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件產(chǎn)品,其中結(jié)論正確的是()A.任取2件,則取出的2件中恰有1件是次品的概率是1B.每次抽取1件,不放回抽取兩次,樣本點(diǎn)總數(shù)為16C.每次抽取1件,不放回抽取兩次,則取出的2件中恰有1件是次品的概率是1D.每次抽取1件,有放回抽取兩次,樣本點(diǎn)總數(shù)為16答案ACD解析記4件產(chǎn)品分別為1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6個(gè)樣本點(diǎn),且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等,“恰有一件次品”的樣本點(diǎn)為(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12,A正確;在B中,每次抽取1件,不放回抽取兩次,樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B錯(cuò)誤;在C中,“取出的兩件中恰有一件次品”的樣本點(diǎn)數(shù)為6,其概率為12,C正確;在D中,每次抽取1件,有放回抽取兩次,樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω15.從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選兩人當(dāng)班長(zhǎng)和副班長(zhǎng),其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,則選舉結(jié)果中至少有一名女生當(dāng)選的概率是.

答案5解析該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},設(shè)A=“沒有女生當(dāng)選”,則A中只包含(甲,乙)1個(gè)樣本點(diǎn),故至少一名女生當(dāng)選的概率為P(A)=1P(A)=11616.從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是.

答案1解析從2,3,8,9中任取兩個(gè)數(shù)記為a,b,作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù),共有3×4=12(個(gè))樣本點(diǎn),其中為整數(shù)的只有l(wèi)og28,log39兩個(gè),所以其概率P=21217.(2021安徽六安期末)一個(gè)三位自然數(shù)百位,十位,個(gè)位上的數(shù)字依次為a,b,c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b,b<c時(shí)稱為“凹數(shù)”(如213),若a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同,則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為.

答案1解析a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所組成的三位數(shù)的所有可能情況為123,132,213,231,312,321,共6個(gè)數(shù),其中是“凹數(shù)”的有213,312,共2個(gè)數(shù),故所求概率為P=2618.現(xiàn)有7名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者,分別用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀,B1,B2的物理成績(jī)優(yōu)秀,C1,C2的化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名,組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽,則A1和B1不全被選中的概率為.

答案5解析從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名,所以該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中有12個(gè)樣本點(diǎn),樣本空間Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.“A1和B1全被選中”有2個(gè)樣本點(diǎn)(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被選中”共有10個(gè)樣本點(diǎn),則A1和A2不全被選中的概率為101219.某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究,他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日溫差x/℃101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616(1)求這5天發(fā)芽數(shù)的中位數(shù);(2)求這5天的平均發(fā)芽率;(3)從3月1日至3月5日中任選2天,記前面一天發(fā)芽的種子數(shù)為m,后面一天發(fā)芽的種子數(shù)為n,用(m,n)的形式列出所有樣本點(diǎn),并求滿足“25≤m≤30,解(1)因?yàn)?6<23<25<26<30,所以這5天發(fā)芽數(shù)的中位數(shù)是25.(2)這5天的平均發(fā)芽率為23+25+30+26+16100+100+100+100+100×100%=24%(3)用(x,y)表示所求試驗(yàn)的樣本點(diǎn),則有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10個(gè)樣本點(diǎn).記“25≤m≤30,25≤n≤30”為事件A,則A={(25,30),(25,26),(30,26)},共有3個(gè)樣本點(diǎn).所以P(A)=310,學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練20.(多選題)設(shè)集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分別從集合M和N中隨機(jī)取一個(gè)元素m與n.記“點(diǎn)P(m,n)落在直線x+y=k上”為事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,則k的取值可能是()A.4 B.5 C.6 D.7答案BC解析由題意,該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12個(gè)樣本點(diǎn),則事件A3:點(diǎn)P(m,n)落在直線x+y=3上,包含其中(2,1),共1個(gè)樣本點(diǎn),