高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃考點(diǎn)解析及例題輔導(dǎo)

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃及實(shí)際應(yīng)用

高考要求：

1.了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.

2.了解線性規(guī)劃的意義.并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)歸納：

1.二元一次不等式表示平面區(qū)域：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ar+8），+C=0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P（xo，yo）.

8>0時(shí)，①/U）+8y（）+C>0,則點(diǎn)P（沏，光）在直線的上方；②4xo+B），o+C<O,則點(diǎn)P（沏,

刈）在直線的下方.

對(duì)于任意的二元一次不等式Ar+B>C>0（或<0）,無論B為正值還是負(fù)值，我們都可

以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù).

當(dāng)B>0時(shí)，①Ax+B）斗C>0表示直線Ax+By+C^O上方的區(qū)域：@Ax+By+C<Q表示直

線Ax+By+C=0下方的區(qū)域

Z線性規(guī)劃：

求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類

似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解?生產(chǎn)實(shí)際中有許多

問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題.

線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：

（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；

（2）找出線性約束條件；

（3）確定線性目標(biāo)函數(shù)月（x,y）；

（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；

（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系/G,y）文。為參數(shù)）；

（6）觀察圖形，找到直線/（x,y）=r在可行域上使r取得欲求最值的位置，以確定最

優(yōu)解，給出答案.

題型講解:

例1求不等式IX-1I+Iy-\I<2表示的平面區(qū)域的面積.

分析：依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)求其面積.

解：Ix—1I+I廠1IW2可化為

x>\x>lx<lx<\

“y21或，y<1或<yN1或“y?1

x+”4x-y<2-x+y<2x+jy>0

其平面區(qū)域如圖.

...面積S=LX4X4=8.

2

點(diǎn)評(píng)：畫平面區(qū)域時(shí)作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界.

例2某人上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速vnmi/e/h(4WvW20)從A港出發(fā)到距50nmi/e

的8港去，然后乘汽車以勻速wkm/h(30WwW100)自3港向距300km的C市駛?cè)?yīng)該

在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市.設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時(shí)間分別是xh、yh.

(1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍；

(2)如果已知所需的經(jīng)費(fèi)p=100+3X(5-x)+2X(8—y)(元)，

那么人卬分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì)?此時(shí)需花費(fèi)多少元？

分析：由p=100+3*(5-x)+2X(8—丫)可知影響花費(fèi)的是3x+2y的取值范圍.

解：(1)依題意得白里

,4WNW20,30WWW100.

yX

525

...3WxW10,—WyW——.①

2-2

由于乘汽車、摩托艇所需的時(shí)間和x+y應(yīng)在

小時(shí)之間，

即9<x+yW14.②

因此，滿足①②的點(diǎn)(x,y)的存在范圍是

部分(包括邊界).

(2)100+3?(5-x)+2-(8—丫)，

二3x+2y=131—p.

設(shè)13Lp=Z,那么當(dāng)k最大時(shí)，p最小.在通過圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為

3

—5的直線3x+2支k中，使/值最大的直線必通過點(diǎn)(10,4),即當(dāng)產(chǎn)10,產(chǎn)4時(shí)，p最小.

此時(shí)，E26,后30,p的最小值為93元.

點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實(shí)際問題列出表達(dá)約束條件的不等式.然后分析要求量

的幾何意義.

例3某礦山車隊(duì)有4輛載重量為10f的甲型卡車和7輛載重量為6r的乙型卡車，有

9名駕駛員,此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360/礦石至冶煉廠,已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙

型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車每輛每天的成

本費(fèi)為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)最低？

分析：弄清題意，明確與運(yùn)輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件,

列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.

解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)為Z元，那么

x+y<9

10x6x+6x8y>360

V

x<4,x&N

y<l,y&N

z=252x+160y,

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，

如圖.

作出直線M：252x+160y=0.把直線/

移，使其經(jīng)過可行域上的整點(diǎn)，且使在

距最小,觀察圖形，可見當(dāng)直線

252x+160y=f經(jīng)過點(diǎn)（2,5）時(shí)，滿足上述要求.

此時(shí)，z=252x+160y取得最小值，即廣2,）=5時(shí)，zmin=252X2+160X5=1304.

答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊(duì)所用成本費(fèi)最低.

點(diǎn)評(píng)：用圖解法解線性規(guī)劃題時(shí)，求整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，對(duì)作圖精度要求較高，平行

直線系/（X,y）文的斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可

行域中的各整點(diǎn).

4<x+y<6

例4設(shè)z=2x+y,式中變量滿足條件

2<x-y<4

求z的最大值和最小值.

解：由已知，變量滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平

面區(qū)域，因此①所表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D中的四邊形ABCD.

當(dāng)z=2x+y過點(diǎn)C時(shí)，z取最小值，當(dāng)z=2x+y過

點(diǎn)A時(shí)，Z取最大值.

即當(dāng)x=3,y=l時(shí)，2^=7,

當(dāng)x=5,y=l時(shí)，=11.

例5某糖果公司得一條流水線不論生產(chǎn)與否每天都要支付3000元的固定費(fèi)用，它生

產(chǎn)1千克糖果的成本是10元，而銷售價(jià)是每千克15元，試問：每天應(yīng)生產(chǎn)并銷售多少糖果,

才能使收支平衡，即它的盈虧平衡點(diǎn)是多少？

解：設(shè)生產(chǎn)x千克的糖果的成本函數(shù)為y(x)=3000+10x,銷售x千克的糖果的收益

函數(shù)為R(x)=15x,在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是反映盈虧平衡的

產(chǎn)銷量，

令y(x)=R(x),得3000+1Ox=15x彳導(dǎo)x=600.,

即每天必須生產(chǎn)并銷售600千克糖果，這條流水線才能做到盈虧平衡，從圖中可以看出，當(dāng)

x>600時(shí)，R(x)>y(x),表示有盈利，反之則表示虧本.

例6某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180m2,擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間

每間面積為18,可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)為40元，小房間每間面積為15,可住

游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)為50元，裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需

要600元，如果他們只能籌8000元用于裝修，且游客能住滿客房，它應(yīng)隔出大房間和小房

間各多少間，能獲最大利益？

解：設(shè)應(yīng)隔出大房間x間和小房間y間，則

18x+15yW180且1()()()x+6()()y<800(),x,yeN

目標(biāo)函數(shù)為z=5x40x+3x50y,

作出約束條件可行域：

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=200x+150y,

作出一組平行線200x+150y=K

當(dāng)此線經(jīng)過直線18x+15y=180

和直線1000x4-600y=8000的交點(diǎn)C(—,y),

此直線方程為200x+150y=弛2，

由于（一，一）不是整數(shù)，所以經(jīng)過整點(diǎn)（3,8）時(shí)，才是他們的最優(yōu)解，同時(shí)經(jīng)過整點(diǎn)（0,12）

77

也是最優(yōu)解.

即應(yīng)隔大房間3間，小房間8間，或者隔大房間0間，小房間12間，所獲利益最大.如果考

慮到不同客人的需要，應(yīng)隔大房間3間，小房間8間.

小結(jié)：

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃在實(shí)際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是:在資源的限制下，

如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務(wù)；或是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少

的資源來完成.如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫(kù)存問題，通常

解法是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決.

圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一步,一般地，可行域

可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉平面區(qū)域.第二是畫好線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)

的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確.通常最優(yōu)解在

可行域的頂點(diǎn)（即邊界線的交點(diǎn)）處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點(diǎn)坐標(biāo)的近似值.它應(yīng)

是目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點(diǎn)的坐標(biāo).

學(xué)生練習(xí):

1.下列命題中正確的是

A.點(diǎn)(0,0)在區(qū)域x+y》0內(nèi)B,點(diǎn)(0,0)在區(qū)域x+y+KO內(nèi)

C.點(diǎn)(1,0)在區(qū)域)，>2x內(nèi)D,點(diǎn)(0,1)在區(qū)域x-y+l>0內(nèi)

解析：將(0,0)代入x+y2O,成立.

答案：A

2設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)滿足(x—尸'1)(x+y—4)》0,x23,則/+/的最小值為

A.V5B.VlbG—D.10

2

解析：數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)戶3,)=1時(shí)，x2+)2的最小值為10.

答案：D

3,不等式組2x—y+l20,x-2y-l<0,x+yWl表示的平面區(qū)域?yàn)?/p>

A.在第一象限內(nèi)的一個(gè)無界區(qū)域B.等腰三角形及其內(nèi)部

C,不包含第一象限內(nèi)的點(diǎn)的一個(gè)有界區(qū)域D,正三角形及其內(nèi)部

答案：B

4點(diǎn)(一2,力在直線2x-3y+6=0的上方，則f的取值范圍是.

22

解析：(-2,f)在2r—3y+6=0的上方，則2X(—2)—3r+6<0,解得，>了答案：t>—

x>0,

5,不等式組■y〉。，表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))共有

4x+3y<12

____________個(gè)，

解析：(1,1),(1,2),(2,1),共3個(gè).答案:3

6.(x—1)2+(y—1)J1是IX—1I+Iy—1IW1的條件.

A,充分而不必要B,必要而不充分C充分且必要D.既不充分也不必要

答案：B

7(x+2y+l)(x-y+4)W0表示的平面區(qū)域?yàn)?/p>

答案：B

&畫出以4(3,-1)>B(-1,I),C(1,3)為頂點(diǎn)的△ABC的區(qū)域(包括各邊)，

寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù)z=3x—2)，的最

大值和最小值.

分析：本例含三個(gè)問題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式一一不等式組；③

求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值.

解：如圖，連結(jié)點(diǎn)A、B、C,則直線A8、BC、CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗驛ABC區(qū)域.

直線AB的方程為x+2y—1=0,BC及CA的直線方程分別為x—y+2=0,2x+y—5=0.

在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)尸(1,1),

分別代入x+2y—l,x~y+2,2x+y—5

得x+2y—1>0,x-}'+2>0,2x+y—5<0.

因此所求區(qū)域的不等式組為

x+2y—1>0?x—y+2^0,2x+y—5W0.

作平行于直線3x—2)=0的直線系3x~2y=t(t為參數(shù))，即平移直

線y=±3x,觀察—圖形可知：當(dāng)直3線1過A(3,-1)時(shí)，縱截距一上1，最小.此時(shí)f

'2222

最大，fmax=3X3—2X(-1)=11；

當(dāng)直線3經(jīng)1過點(diǎn)8(—1,1)時(shí)，縱截距一gIf最大，此時(shí)［有最小值為min=

3X(-1)-2Xl=-5.

因此，函數(shù)z=3x-2y在約束條件

x+2y-l20,x-y+220,2r+)，-5W0下的最大值為11,最小值為一5.

9,某?；锸抽L(zhǎng)期以面粉和大米為主食，面食每100g含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單

位，售價(jià)0.5元，米食每100g含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)04元，學(xué)校要求

給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒

飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少？

解：設(shè)每盒盒飯需要面食x(百克)，米食)，(百個(gè)克)，

所需費(fèi)用為S=(X5x+04y,且x、y滿足6x+3v=8\J

6x+3y28,4x+7ye10,x20,y20,

由圖可知，直線產(chǎn)—%+gs過A(j|,1)皿7y時(shí)，縱

50|

截距3s最小，即S最小,1

2

故每盒盒飯為面食13"百克，米食1上4百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少.

1515

101配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥需甲料3mg,乙料5

mg；配一劑B種藥需甲料5mg,乙料4mg,今有甲料20mg,乙料25mg,若A、8兩種藥

至少各配一劑，問共有多少種配制方法？

解：設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑］￡、yGN),貝U

x-l,y-l，3x+5yW20,5x+4yW25.

上述不等式組的解集是以直線后1，尸1,3x+5.y=20及5x+4.y=25為邊界所圍成的區(qū)域,

這個(gè)區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、(4,1)

.所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法.

11.某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需

求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況(如資金、勞動(dòng)力)確定產(chǎn)

品的月供應(yīng)量，以使得總利潤(rùn)達(dá)到最大,已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)

力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

單位產(chǎn)品所需資金(百元)

資金月資金供應(yīng)量(百元)

空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)

成本3020300

勞動(dòng)力(工資)510110

單位利潤(rùn)68