第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入公開(kāi)課

第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算

石熟前°跟昌相察想一想'辨一辨'試一試，全亶打m

??卜必過(guò)教材關(guān)

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量:向量的大小

向量平面向量是自由向量

叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)

零向量長(zhǎng)度為止的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為啥

1"1

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共0與任一向量子任或共線

共線向量

線向量

兩向量只有相等或不等，不能比較大

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

小

相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向量的線性運(yùn)算

向量法則

定義運(yùn)算律

運(yùn)算(或幾何意義)

藝，(1)交換律：

aQ+~=8+Q；

三角形法則

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(2)結(jié)合律:

(a+Z0+c=

平行四邊形法則a+S+c)

求a與b的相反向量一b的和的

減法〃一力=〃+(一〃)

運(yùn)算叫做。與b的差a

三角形法則

(l)Rtf|=|z||a|；

(2)當(dāng)2>0時(shí)，萩的方向與加。)=如)由

數(shù)乘求實(shí)數(shù)又與向量a的積的運(yùn)算a的方向相同;當(dāng)2<()時(shí)，a+〃)〃=2a+4a；

).a的方向與a的方向相反;A(a+b)=Aa+ib

當(dāng)7=0時(shí)，za=0

3.共線向量定理

向量”(aH0)與％共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使得/?=癡.

［小題體驗(yàn)］

1.判斷下列四個(gè)命題：

①若a//b,則a=b；②若⑷=|加,則a=b；③若⑷=網(wǎng),則a//b；④若a=b,則⑷

=叫

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

答案：A

2.(教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)：

(1)(AB+MB)+BO+OM=.

(2)NQ+QP+MN-MP=.

答案：⑴AB(2)0

3.已知“與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a+仍與一(b-3a)共線，則義=.

答案：T

必過(guò)易錯(cuò)關(guān)

i.在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)

誤.

2.在向量共線的重要條件中易忽視“aXO”，否則2可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè).

3.要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.

［小題糾偏］

1.若a與b是共線向量，6與c是共線向量，則a與c的關(guān)系是.(填序號(hào))

①共線；②不共線；③以上二者皆可能.

答案：③

2.若菱形43C。的邊長(zhǎng)為2,貝()|4月一。9+。力|=.

解析：\AB-CB+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.

答案：2

占君菖°身席奧以宜主研、合作探,多面觀，全掃命題題點(diǎn)

考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透）

[題組練透]

1.（易錯(cuò)題）給出下列命題：

①若⑷=例,則。=①

②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則A方是四邊形A3CQ為平行四邊形的充

要條件；

③若a=Z>,h=c,貝!]a=c；

@a=b的充要條件是|0|=步|且a//h\

⑤若a〃b,b//c,貝!]a〃c.

其中正確命題的序號(hào)是（）

A.②@B.①②

C.@@D.④⑤

解析：選A①不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.VAB=DC,：.\AB\=\DC\SLA^//DC,

又A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，

四邊形A8C。為平行四邊形；

反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，

則A豆〃。2且|入方|=|。2|,因此，AB=DC.

③正確.,：a=b,：.a,6的長(zhǎng)度相等且方向相同，

叉b=c,：.b,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，

：.a,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故.=<\

④不正確.當(dāng)a//b且方向相反時(shí)，即使|川=|引，也不能得到a=b,故⑷=|句且a//b

不是的充要條件，而是必要不充分條件.

⑤不正確.考慮5=0這種特殊情況.

綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.

2.設(shè)a。為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則。=|小而；②若a

與“0平行，貝Ua=|a|ao;③若a與"0平行且|。|=1,則a=ao.假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與⑷的>的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命題；若。與創(chuàng)平行，則a與ao的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向

時(shí)a=—|a|ao,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.

［謹(jǐn)記通法］

向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)向量：方向、長(zhǎng)度.

⑵非零共線向量：方向相同或相反.

(3)單位向量：長(zhǎng)度是一個(gè)單位長(zhǎng)度.

(4)零向量：方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0.

(5)相等相量：方向相同且長(zhǎng)度相等.如“題組練透”第1題易混淆有關(guān)概念.

考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)

［題組練透］

1.(2015?全國(guó)卷I)設(shè)。為△A3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD,貝！)()

A.AD=-^AB+^AC

B.AD=|AB—1AC

解析:選AAD=AC+CD=AC+1?C=AC+1(AC-AB)="C-|AB

=—1AB+^AC,故選A.

2.已知。ABC。的對(duì)角線AC和80相交于0,且麗=Q,而=b,則加=,

BC=(用a,b表示).

解析：如圖，DC=AB=OB-OA=b-a,BC=OC-入

OB=-OA-OB=-a~b.,/^Xy

答案：b—a-a-b

3.設(shè)O,E分另lj是△ABC的邊A8,8c上的點(diǎn)，AD=^AB,BE=|BC.若。笈=小A月

+12AC(21，為實(shí)數(shù))，則小+幺2的值為.

12

-硒-

解析：DE=DB+BE=^AB+jfiC=|AB+j(BA+AC)=63

121

所以九=一個(gè)所=?即石+石=》

答案：I

［謹(jǐn)記通法］

用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的4個(gè)步驟

⑴觀察各向量的位置；

(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

(3)運(yùn)用法則找關(guān)系；

(4)化簡(jiǎn)結(jié)果.

考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)

［典例引領(lǐng)］

設(shè)兩個(gè)非零向量。與/，不共線，

(1)若4豆=a+6,^C=2a+8b,CD=3(a-b),

求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb同向.

解：⑴證明：TBC=2o+8Z>,CD=3>(a-b),

：.BD=BC+CD=2a+Sb+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.

：.AB,而共線，

又；它們有公共點(diǎn)B,

：.A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)VAra+ft與a+kb同向，

???存在實(shí)數(shù);1(2>0),使版+》=，。+協(xié))，

即ka+b=Aa+Akb.

:.(k—l)a=(Ak—l)b.

Va,力是不共線的兩個(gè)非零向量，

—0,

7*-1=0,

又；;>0,:.k=l.

［由題悟法］

共線向量定理的3個(gè)應(yīng)用

(1)證明向量共線：對(duì)于向量a,b,若存在實(shí)數(shù)心使則a與》共線.

⑵證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)3使則A,B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

［提醒］證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).

［即時(shí)應(yīng)用］

如圖，在△45C中，O,尸分別是5C,AC的中點(diǎn)，AE=|AJD,AB

=a9AC=b.

(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；

(2)求證：B,E,尸三點(diǎn)共線.

解：⑴延長(zhǎng)AO到G,

使AD=|AG,

連接8G,CG,得到口ABGC,

所以AG=a+b,

BE=AE—AB=|(a+i)—a=1(6—2a),

BF=AF—AB=^b-a=^(b—2a).

(2)證明：由⑴可知5笈=|5產(chǎn)，

又因?yàn)?E,有公共點(diǎn)8,

所以8,E,尸三點(diǎn)共線.

占據(jù)局°目翁祠霸1至礎(chǔ)統(tǒng)，題型練,能力練晝練力保全能—

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.(2015?嘉興測(cè)試)在445。中，已知M是8c中點(diǎn)，設(shè)麗=a,CA=b,則W=

)

\^a—bB^a+b

C.〃一;bD.a+2b

解析：選AAM=AC+CM=-CA+\cii=~b+^a,故選A.

2.在四邊形ABCD中，AB=a-\-2b,BC=-4a-b,CD=-5a—3b,則四邊形

ABCD的形狀是（）

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對(duì)

解析：選C由已知，得4萬(wàn)=無(wú)方+5￡;+。力=-8°—2方=2（—44一。）=23€；,

故擊〃血.又因?yàn)?5與。力不平行，所以四邊形ABCD是梯形.

3.已知0,A,8,C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若2就+而=0,則向量加等于（）

A.jOA—|OBB.-；OAOB

C.2OA-OBD.-OA+2OB

解析：選C國(guó)為亞=而一而，麗=麗一而，所以2/+函=2（而一

OA）+（OB-OC）=OC-2OA+OB=0,所以反=2耐一礪.

4.如圖，在平行四邊形A3C。中，對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)O,AB

+AD=1AO,則z=.

解析：因?yàn)锳BC。為平行四邊形，

所以A后+A力=2而，

已知A萬(wàn)+4/5=24。，故2=2.

答案：2

5.設(shè)點(diǎn)M是線段8c的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，BC2=16,\AB+AC\=\AB

—AC\,則IAA/|=.

解析：由|A月+4。.|=|4后一42|可知，AB±AC,

則AM為RtAABC斜邊BC上的中線，

因此，|福|=,萬(wàn)不|=2.

答案：2

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

1.設(shè)〃是非零向量，義是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.a與腦的方向相反B.a與萬(wàn)。的方向相同

C.\~Aa\^\a\D.|一癡|》川?“

解析：選B對(duì)于A,當(dāng)2>0時(shí)，a與腦的方向相同，當(dāng)7<0時(shí)，a與腦的方向相反,

B正確；對(duì)于C,|一加=|一劉由于|一出的大小不確定，故|一柄|與⑷的大小關(guān)系不確定;

對(duì)于D,囚〃是向量，而|一萩|表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小.

2.已知向量〃，b,。中任意兩個(gè)都不共線，但a+b與c共線，且b+c與。共線，則

向量a+〃+c=()

A.aB.b

C.cD.0

解析：選D依題意,設(shè)a+b=mc,b+c=na,則有(a+力)一()+c)=mc—〃a,即a

-c=/nc—?又〃與c不共線，于是有/%=-1,〃=-1,a+b=—c,〃+b+c=O.

3.設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且。是AC的中點(diǎn)，

則廖1的值為()

\BM\

A,3B,2

C.1D.2

解析：選A是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至E,使得。E=MD,，四邊形M4EC為

平行四邊形，MD=^ME=^(MA+MC).'：MB+^MA+^MC=0,：.MB=

-1(MA+MC)=-3MD,.\MD\_\MD\_I，故選A.

4.設(shè)O,E,尸分別是△△8c的三邊BC,CA,A8上的點(diǎn)，且。e=2的，CE=

2EA,AF=2FB,則A5+5兄+CF與5d()

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直

解析：選A由題意得而=z萬(wàn)+麗=無(wú)豆+；加，

BE=BA+AE=BA+|lC,

CF=CB+BF=CB+^BA,

因此A力++CF=屈+；(+ZZ?一血)

=CB^BC=-\BC,

故A力+5笈+CF,與82反向平行.

5.設(shè)。在△ABC的內(nèi)部，。為A8的中點(diǎn)，且西+而+2斤=0,則△A8C的面

積與△AOC的面積的比值為()C

V

AI)

A.3B.4

C.5D

解析：選B為A8的中點(diǎn)，

則O力=^(OA+OB),

又麗+而+2庇=0,

：.OD=-OC,二。為CO的中點(diǎn),

又：。為AB中點(diǎn)，

:.SA"OC=QSAADC=WSAABC,

1S^ABC.

則o7----=4.

'△AOC

6.在nA5a)中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M為8c的中點(diǎn)，則而兇=

(用a,b表示).

解析：由AN=3NC,得4AN=3AC=3(a+b),AM=a+^b,所以MN=1(a

+?一(“+，)=-%+%.

答案：一%+%

7.若點(diǎn)。是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|0月一。6\=\OB+OC-20A\,

則△48C的形狀為.

解析：OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC,OB-OC=CB

=AB-AC,

\AB+AC|=|AB-AC|.

故A豆_L正，△45C為直角三角形.

答案：直角三角形

8.已知O,E,尸分別為△A5C的邊8C,CA,A5的中點(diǎn)，且前：=a,CA=b,給

出下列命題：①而=5—6；②BE.=a+/；③K=一%+?；@AD+BE+CF=

0.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為.

解析：BC=a,CA=b,AD=^CB+AC=—^a-b,故①錯(cuò);

BE=BC+^CA=a+^b,故②正確;

CF=1(CB+CA)=1(—a+ft)=—%+，，故③正確；

:.AD+BE+CF=一5一；。+。+[8+：0一Ja=O.

正確命題為②③④.

答案：3

9.在△A8C中，D,E分別為8C,AC邊上的中點(diǎn)，G為8E上一點(diǎn),

且GB=2GE,設(shè)A后=a,AC—b,試用a,?表示4萬(wàn)，AG.

解：AD=1(AB+AC)=^a+|z>.

AG=AB+BG=AB+lBE=AB+^(BA+BC)

=1AB+|(AC—AB)

=|AB+|AC

10.設(shè)ei,火是兩個(gè)不共線的向量，已知A豆=2e［一加2,CB=d+3。2,CD=

2ei—ez.

(1)求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

⑵若5F.=3ei一履2,且5,D,尸三點(diǎn)共線，求發(fā)的值.

解：⑴證明：由已知得5萬(wàn)=一。萬(wàn)=(2ei—e2)—出+3e2)=ei—4e2,

VAB=2ei-8e2,

：.AB=2BD.

又：AB與BD有公共點(diǎn)B,

：.A,B,。三點(diǎn)共線.

⑵由(1)可知BD=ei—4及，

VBF=3ei-jte2,且5,D,尸三點(diǎn)共線，

BF=zBDQGR),

即3?i—kei=).e\—42^2,

解得4=12.

三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校

1.在直角梯形A8C。中，NA=9()°,N8=3()°,AB=2+,BC=2,點(diǎn)E在線段

CD上，若4笈=4萬(wàn)+“4萬(wàn)，則"的取值范圍是.

解析：由題意可求得40=1,CD=小,所以，方=2加.

二,點(diǎn)E在線段CZ)上，

/.DE=xDC(0W2W1).

,:AE=AD+DE,

:g=1,即〃=今；0這K1,

乙

即"的取值范圍是0,\.

答案：［o,\

2.已知O,A,5是不共線的三點(diǎn)，且。戶=50印+"0月(m,nGR).

(1)若/7?+〃=1,求證：A,P98三點(diǎn)共線；

(2)若A,P,3三點(diǎn)共線，求證：帆+〃=1.

證明：⑴若加+〃=1,

則OA=/nOX+(l—機(jī))0B

=OB+m(OA-OB),

:.OP—OB=m(OA—OB),

即BA=mBA,5/與氏4共線.

又：8戶與員4有公共點(diǎn)8,

：.A,P,8三點(diǎn)共線.

(2)若A,P,5三點(diǎn)共線，

存在實(shí)數(shù)2,使5A=久氏4,

：.OP-OB=1(OA-OB).

又OA=,"OZ+〃O8.

故有機(jī)0W+(〃-1)OB=).OA—xOB,

即(m-2)0A+(n+2-l)OB=0.

?：O,A,8不共線，/.OA,。后不共線，

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

士翹前°—［鳴鼻1想一想、辨-辨、試一試，全面打牢基礎(chǔ)

??>綣過(guò)教材關(guān)

1.平面向量基本定理

如果3,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)丕共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)九,22,使。=九01+%202.

其中，不共線的向量ei，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底一

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：

設(shè)a=(Xl,Jl),b=(X2,J2)?貝！I

a+b=Cn+x2,yi+yz),a—b=(x)—X2>yi-V2)>

la=(2xt,xvi),|a|=^/x?+ji.

(2)向量坐標(biāo)的求法：

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(*l,J1),8(*2,山)，則4心=(X2—X”丫2—yi),

IAB\=\］(X2—xi)2+(y2—yi)2.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a==(xi>yi),b=(x2tj2)>其中5W0.

a//?臺(tái)Xi"-X2Vi=0.

［小題體驗(yàn)］

1.已知向量a=(L機(jī))，b=(m,2),若a〃兒則實(shí)數(shù)機(jī)等于()

A.一也B.V2

C.一也或也D.()

解析：選C由a〃白，得1X2—??2=(),所以加=2,即,"=白也.

2.(數(shù)材習(xí)題改編)已知a=(2,1),*=(-3,4),貝Ij3a+4b=.

答案：(一6,19)

3.設(shè)e”02是平面內(nèi)一組基向量，且a=ei+2e2,5=—ei+e2,則向量ei+e?可以表

示為另一組基向量a,〃的線性組合，即ei+e2=________a+b.

解析：由題意，設(shè)ei+e2=??a+〃瓦

因?yàn)閍=ei+2e2,b=~e\+ez,

所以ei+e2=，〃(ei+2e2)+”(-ei+e2)=(/?—")ei+(2，"+〃)e2.

m-n=l

由平面向量基本定理，得，9

2m+n=l9

2

m=y

所以4

1

〃=一亍

答案:I-1

??卜必過(guò)易錯(cuò)關(guān)

1.若a,分為非零向量，當(dāng)a〃》時(shí)，a,8的夾角為0°或180°,求解時(shí)容易忽視其

中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò)；

2.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，

向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息；

3.若a=(xi,Ji),b=(X2,力)，則a〃方的充要條件不能表示成因?yàn)?2,以有

人2y2

可能等于0,應(yīng)表示為XI力-xw=0.

［小題糾偏］

1.(2015?全國(guó)卷I)已知點(diǎn)4(0,1),8(3,2),向量就；=(一4,一3),則向量)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析：選A法一：設(shè)C(x,y),

則AC=(x,j—1)=(—4,—3),

x=-4,

所以，

\y=~2,

從而前：=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故選A.

法二：AB=(3,2)-(0,1)=(3,1),

BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故選A.

2.(2015?江蘇高手)已知向量a=(2,l),b=(l,一2),若》ia+，仍=(9,-8)(機(jī)，〃GR),

則in—n的值為.

解析：Vma+nb=(2m+n,m—2n)=(9,—8),

2m+"=9,m—2,

/.].,.m—n=2—5=—3.

m—2n=—S,l"=5,

答案：一3

小熊省0?點(diǎn)奧嘏不＞主研'合作探,多國(guó)型金逾題鼠點(diǎn)

考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透）

［題組練透］

1.如果ei,e2是平面a內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)

所有向量的一組基底的是（）

A.6］與01+?2B.C1-2^2與。1+2。2

C.ei+ez與d―02D.。1+3。2與6及+261

1二九

解析：選D選項(xiàng)A中，設(shè)ei+e2="i,貝葉無(wú)解；

1=0

2=1，

選項(xiàng)B中，設(shè)約一2e2=i?+2e2）,則j無(wú)解；

—2=27

口=1,

選項(xiàng)C中，設(shè)ei+e2=2（ei—。2）,則J無(wú)解；

選項(xiàng)D中，ei+3e2=1（6e2+2el）,所以兩向量是共線向量.

2.（易錯(cuò)題）如圖，以向量O/=a,。方=b為鄰邊作aOAOB,BM

=|fiC,CN=\cI）,用a,b表示O就,ON,MN.

解：,.,84=0A—OB=a—6,

9

OM=OB+BM

,:OD=a+b,

AON=OC+{CD=\OD+\OD

3Zo

1522

加-

十

-+聲--

4N=33

6a

［謹(jǐn)記通法］

用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路

（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)

算來(lái)解決.

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.另外，要熟練運(yùn)用平

面幾何的一些性質(zhì)定理，如“題組練透”第2題.

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算...................（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透）

［題組練透］

1.(2015?撫順二模)若向量a=(2,1),*=(—1,2),則C可用向量ah表示

為（）

A^a+bB.一至一b

D壬一全

C-2a+2b

解析：選A設(shè)c『+西則（。，2-+2y）,所以

解得

、〃［X+2J=2,

X=Z,I

</貝4c=5〃+》.

J=b-

2.已知點(diǎn)M(5,—6)和向量。=(1,-2),若拆=一3〃，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()

A.(2,0)B.(-3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

解析：選AMN=_3a=—3(1,—2)=(—3,6),

設(shè)N(x,j),則拓卓=3一5,丁+6)=(-3,6),

x—5=-3,[X=2

所以彳,即彳9

Ly+6=6,Ly=0.

3.已知A(—2,4),3(3,-1),。(一3,—4).設(shè)H方=%BC=*,CA=c,且前

=3c,CN=-2b9

⑴求3。+)一3c；

(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)in,nx

(3)求M,N的坐標(biāo)及向量MN,的坐標(biāo).

解：由已知得。=(5,—5),6=(—6,—3),c=(l,8).

(1)3。+〃-3。=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)

=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

⑵?.?mb+=(-6m+n,-3m+8〃),

―6m+n=5,f/n=-1,

??.,解得

―3m+8n=-5,-1.

(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，VCM=OM-OC=3c,

：.OM=3c+OC=(3,24)+(—3,-4)=(0,20).

.,.M(0,20).

又VCN=ON-OC=-2b,

:.ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

，N(9,2),二MN，=(9,-18).

［謹(jǐn)記通法］

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已

知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).（2）解題過(guò)程中，常利用向量

相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）來(lái)進(jìn)行求解.

考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示（重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研）

［典例引領(lǐng)］

已知a=(l,O),*=(2,1).

(1)當(dāng)我為何值時(shí)，Aa—6與a+2Z>共線；

⑵若A萬(wàn)=2a+3b,BC=a+mb,且A,B,C三點(diǎn)共線，求的值.

解：⑴???a=(l,O),ft=(2,l),

：.ka-b=k(l,0)-(2,l)=(k-2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

''ka—b與a+2/>共線，

.,.2(fc-2)-(-l)X5=0,

(2)AB=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),

BC=(l,0)+m(2,l)=(2m+l,m).

,：A,B,C三點(diǎn)共線，

:.AB//BC,

:.8m—3(2m+1)=0,

［由題悟法］

向量共線充要條件的2種形式

（1）?！ㄓ谩?勸（斤0）；

（2）?！?爐1=0（其中a=（x\,ji）,b=（x2,力））.當(dāng)涉及向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題時(shí)

一般利用⑵比較方便.

［即時(shí)應(yīng)用］

1.已知向量。4=(?,12),OB=(4,5),OC=(-*,10),且A,B,C三點(diǎn)共線，則4

的值是()

2

--

A.3

解析：選AAB=OB—OA=(4—Ar,—7),

AC=OC—OA=(-2k,-2).

VA,B,C三點(diǎn)共線，

AAB,無(wú)巳共線，

A-2X(4-*)=-7X(-2*),

解得A=一

2.(2015?海坊期中考試)已知向量a=(2,3),?=(一1,2),若加。+4b與。-2力共線，則

m的值為.

解析：/77。+4b=(2〃z—4,3〃?+8),a—2b=(4,-1),

由于ma+4b與a—2b共線，

/.—(2m—4)=4(3m+8),解得/〃=—2.

答案：一2

潮局。目輾盤基礎(chǔ)練、題型練、能力練,全練力保全能

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為。C邊的中點(diǎn)，且4"=a,4力=6,則3笈

=()

C.a+/D.a~^b

解析：選ABE=BA+AD+DE=—a+b+^a=b—^a.

2.(2015?升島二模)若AC為平行四邊形A5CZ)的一條對(duì)角線，AB=(2,4),AC=(1,3),

則AD=()

A.(-1,-1)B.(3,7)

C.(1,1)D.(2,4)

解析：選A由題意可得45==AC—A*=(1,3)—(2,4)=(—1,—1).

3.(2015?廣東六校聯(lián)考)已知向量0=(5,2),方=(一4,一3),c=(x,j),若3a~2b+c

=0,則c=()

A.(-23,-12)B.(23,12)

C.(7,0)D.(一7,0)

23+x=0,

解析：選A由題意可得3。-2)+c=(23+x42+y)=(0,0),所以J,解得

12+j=0,

—23

"'所以c=(-23,-12).

3=一12,

4.(2015?洛陽(yáng)一棋)已知向量a=(l,3),5=(-2,1),c=(3,2).若向量c與向量Aa+b共

線，則實(shí)數(shù)A=.

解析：Aa+b=A(l,3)+(—2,1)=優(yōu)-2,34+1),因?yàn)橄蛄縞與向量Aa+6共線，所以2(A

-2)-3(3*+l)=0,解得女=一1.

答案：一1

5.若三點(diǎn)4(1,-5),B(a,-2),C(-2,一1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為.

解析：AB=(a—1,3),AC=(—3,4),

據(jù)題意知49〃AC,.*.4(a—1)=3X(—3),即4a=-5,

；.a=-*

答案：一字

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

1.已知在。48CZ)中，AD=(2,8),AB=(-3,4),對(duì)角線AC與80相交于點(diǎn)M,則

解析：選B因?yàn)樵谥校?2=4萬(wàn)+4力，AM=\AC,所以4加=；

(AB+AD)=1x(―1,12)=^—6),故選B.

2.已知向量a,6不共線，c=Aa+夙AGR),d=a-b,如果c〃d,那么()

A.A=1且c與d同向B.A=1且c與d反向

C.4=一1且c與d同向D.4=—1且c與d反向

k=2.

解析：選D由題意可得c與d共線，則存在實(shí)數(shù)九使得c=〃，即，解得

4=-Lc=-〃+b=—(〃-b)=-d,故。與d反向.

3.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，O戶=xO/+

yOB,且5戶=2萬(wàn)，貝!|()

21

X=-y=-

A.V3

n12

B.x=3,j=3

?13

c.%=w，y=4

、3i

D.X=W，J=4

解析:選A由題意知麗=麗+而，又而=2而，所以麗=麗+；麗=麗

+?(0A—OB)=^OA+\oB9所以j=l.

4.設(shè)向量。=(L-3),方=(一2,4),c=(—1,-2),若表示向量4a,4)一2G2(a—c),d

的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d=()

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

解析：選D設(shè)d=(x,j),由題意知4a=(4,-12),46—2c=(—6,20),2(a—c)=(4,

-2),又4。+4力-2c+23-c)+d=0,所以(4,-12)+(—6,20)+(4,-2)+(x,j)=(0,0),

解得x=-2,y=-6,所以d=(—2,-6).

5.已知平行四邊形ABC。中，AD=(3,7),AB=(-2,3),對(duì)角線AC與5。交于點(diǎn)

O,則。。的坐標(biāo)為()

A.(T5)B?,5)

C.g-5)D.(W-5)

解析：選D/=A后+A力=(一2,3)+(3,7)=(1,10).

OC=|AC=Q,5).

:.CO=(~-5)

6.在△ABC中，點(diǎn)P在5c上，且5A=2定，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，若Z4=(4,3),

PQ=(1,5),則5恐=.

解析：AQ=PQ-PA=(-3,2),

AC=2AQ=(—6,4).

PC=PA.+AC=(-2,7),

:.BC=3PC=(-6,21).

答案：(一6,21)

7.(2015?北京東城模擬)如圖所示，在△A3C中，點(diǎn)。是5c的

中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若A方

=mAM,AC=nAN,則機(jī)+〃的值為.

解析：連接AO,則4。='(X后+4e)=崇4麻AN，.

又O,N三點(diǎn)共線,

.,慧+：1,即m+n=2.

答案：2

8.尸={0。=(-1,1)+m(1,2),mGR},Q={b\b=(l,-2)+n(2,3)>〃GR}是兩個(gè)向量

集合，則尸n。等于.

解析：尸中，a—(—i+m,l+2m),

。中，2(1+2”,-2+3”).

—l+m=l+2n,f/n=-12,

則，,得

,1+2，〃=—2+3”.|.7i=—7.

此時(shí)〃=6=(—13,-23).

答案：{(一13,-23)}

9.平面內(nèi)給定三個(gè)向量。=(3,2),