自感磁場(chǎng)的能量

自感磁場(chǎng)的能量4．5．1、自感(1)自感電動(dòng)勢(shì)、自感系數(shù)回路本身的電流變化而在回路中產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象叫自感現(xiàn)象。在自感現(xiàn)象中回路產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)叫自感電動(dòng)勢(shì)。由法拉第電磁感定律A①￡=n At這里磁通①是自身電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁通，按照畢奧一薩爾定律，線圈中的電流所激發(fā)的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與電流強(qiáng)度成正比。因而應(yīng)有A①/At^AI/At。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可得自感到電動(dòng)勢(shì)tAI￡宀=_L-

自At式中L為比例系數(shù)，僅與線圈的大小、形狀、匝數(shù)以及周?chē)橘|(zhì)情況有關(guān)，稱為自感系數(shù)。在國(guó)際單位制中，自感系數(shù)的單位是亨利。式中負(fù)號(hào)表示自感電動(dòng)勢(shì)的方向。當(dāng)電流增加時(shí)，自感電動(dòng)勢(shì)與原有電流的方向相反；當(dāng)電流減小時(shí)，自感電動(dòng)勢(shì)與原有電流的方向相同。要使任何回路中的電流發(fā)生改變，都會(huì)引起自感應(yīng)對(duì)電流改變的反抗，回路的自感系數(shù)越大，自感應(yīng)的作用就越強(qiáng)，改變回路中的電流也越困難。因此自感系數(shù)是線圈本身“電磁慣性”大小的量度。A，以及電阻RA，以及電阻R和燈泡B組成兩個(gè)支路連接在一個(gè)電源兩端。A、B燈泡相同，當(dāng)K閉合瞬時(shí)，L—A支路中，由于L的自感現(xiàn)象，阻礙電流增大，所以A不能立即發(fā)光，而是逐漸變亮,而B(niǎo)立即正常發(fā)光。當(dāng)穩(wěn)定后，電流不再變化時(shí)，L只在電路中起一個(gè)電阻的作用。流過(guò)L—A支路的電流‘1，此時(shí)L中貯存磁場(chǎng)能為W二1LI22 1（在后介紹）e=—-自 At阻礙電流的增加，e和詁合起來(lái)產(chǎn)生電流通過(guò)當(dāng)K斷開(kāi)瞬間，L中電流要減小，因而會(huì)產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)￡,在回來(lái)L—A—B—R中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從能量觀點(diǎn)來(lái)看，L釋放線圈中磁場(chǎng)能，轉(zhuǎn)變成電能消耗在回路中，所以A、e=—-自 At阻礙電流的增加，e和詁合起來(lái)產(chǎn)生電流通過(guò)圖4-5-3電阻R￡-L竺二Ri

At￡=Ri+LAAt式中i是變化的，方程兩邊乘以込t并求和圖5-2-1SeiAt=工Ri2At+工LiAi顯然，方程的左邊是電源輸出的能量，而方程右邊第一項(xiàng)是在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱，那剩下的一項(xiàng)顯然也是能量，是儲(chǔ)存在線圈中的磁場(chǎng)能，下面我們求它的更具體的表達(dá)式：

K剛閉合時(shí)，心0,而當(dāng)電路穩(wěn)定后，電流不再變化，自感電動(dòng)勢(shì)變?yōu)榱悖€(wěn)定電流1二R（忽略電源內(nèi)阻），工LiAi這個(gè)求和式的求和范圍從0到I,令,y=i并以i為橫作標(biāo)，y 圖4-5-4為縱坐標(biāo)做一坐標(biāo)系，則y=i在坐標(biāo)系中為第一象限的角平分線。在橫作標(biāo)i處取-豪，豪很小，可認(rèn)為對(duì)應(yīng)的y為常量，窄條面積AS二何二込i，把從0到I的所有窄條面積加起來(lái)厶yAi=厶血即為y=iyyAiyyAi=yiAi二212代入yLiAi可知儲(chǔ)存線圈內(nèi)的能量。從公式看，能量是與產(chǎn)生磁場(chǎng)的電流聯(lián)在一起的，下面我們求出直螺線管的自感系數(shù)從而證實(shí)能量是磁場(chǎng)的。設(shè)長(zhǎng)直螺線管長(zhǎng)為l,截面積為S，故繞有N匝線圈，管內(nèi)為真空。當(dāng)線圈中通有電流I時(shí)，管內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B7onI,通過(guò)N匝線圈的磁通量O=NBS=NpNIS=pISolol與①二LI相比較，可得將代N2將代N2 SlB_Bl

pnpN00代入磁場(chǎng)能量式W二1nNW二1nNS2°單位體積的磁場(chǎng)能量為"bi、嚴(yán)N丿0B22n02 1B2v2n0與電場(chǎng)的能量密度280E2相比較，公式何等相似。從電學(xué)、磁學(xué)公式中，我1們知道8o對(duì)應(yīng)于no，公式的相似來(lái)源于電場(chǎng)，磁場(chǎng)的對(duì)稱性。磁場(chǎng)的能量密度公式告訴我們，能量是與磁場(chǎng)聯(lián)系在一起的。只要有磁場(chǎng)，就有B，就有能量。另外，公式雖是從長(zhǎng)直螺線管的磁場(chǎng)這一特例推導(dǎo)出來(lái)，但對(duì)所有磁場(chǎng)的均適用。典型例題R1AKR2L例1R1AKR2L8=12V ， 內(nèi) 阻r=10;R=20,R=90,R=150,L=2H,開(kāi)始時(shí)電鍵K與A接通。將K迅速地由A移至與B接通，則線圖4-5-5圈L中可產(chǎn)生的最大自感電動(dòng)勢(shì)多大?分析：K接在A點(diǎn)時(shí)，電路中有恒定電流I,當(dāng)K接至B瞬間時(shí)，線圈中自感所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)應(yīng)欲維持這一電流，此瞬時(shí)電流I就是最大值，維持此電流的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)就是最大自感電動(dòng)勢(shì)。解：L為純電路，直流電阻不計(jì)，K接在A時(shí)，回路穩(wěn)定時(shí)電流I為=1A2=1AR+R+r12當(dāng)K接到B點(diǎn)時(shí),線圈中電流將逐漸減小至零，但開(kāi)始時(shí)刻，電流仍為I=1A，根據(jù)歐姆定律，維持這電流的瞬時(shí)自感電動(dòng)勢(shì)為

￡二I(R+R)L23=24V以后電流變小，自感電動(dòng)勢(shì)也減小直至零。例2、由半徑〔=1毫米的導(dǎo)線構(gòu)成的半徑寸10厘米的圓形線圈處于超導(dǎo)狀態(tài)，開(kāi)始時(shí)線圈內(nèi)通有100安培的電流。一年后測(cè)出線圈內(nèi)電流的減小量不足10-6安培，試粗略估算此線圈電阻率的上限。解：線圈中電流1⑴的減小將在線圈內(nèi)導(dǎo)致自感電動(dòng)勢(shì)，故(1)式中L是線圈的自感系數(shù)在計(jì)算通過(guò)線圈的磁統(tǒng)量①時(shí)，以導(dǎo)線附近即1處的B為最大，而該處B又可把線圈當(dāng)成無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線所產(chǎn)生的，nI0—2nr1nr20^I(t)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2r1(2)廠 2兀r 2rR=P2=P2(3)(4)兀r2 r2(3)(4)11把式(2)和式(3)代入式(1)，得prrAI—―012PV 41 At把［=10-3米,r2