四川省瀘州市瀘縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

瀘縣一中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第三學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題（60分）一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若復(fù)數(shù)z滿足2z+=3-2i，則z=（）A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i【答案】B【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z和共軛復(fù)數(shù)為，代入2z+=3-2i即可得出答案.【詳解】設(shè)則其共軛復(fù)數(shù)=a-bi,所以所以由復(fù)數(shù)相等的概念可知解得所以故選：B2.下面的事件：①在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時(shí)會(huì)沸騰；②，則；③一枚硬幣連擲兩次，兩次都出現(xiàn)正面向上．其中是不可能事件的為（）A.② B.① C.①② D.③【答案】B【解析】【分析】利用必然事件，不可能事件，隨機(jī)事件的概念判斷即可.【詳解】對(duì)于①，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到沸騰的概率為，為不可能事件；對(duì)于②，由乘法交換律可知：，則發(fā)生概率為，為必然事件；對(duì)于③，一枚硬幣連擲兩次，兩次都出現(xiàn)正面向上隨機(jī)事件.故選：B.3.如圖一個(gè)電路中有三個(gè)電器元件，每一個(gè)電器元件正常通電的概率均為0.9，且每一個(gè)電器元件是否正常通電相互獨(dú)立，則該電路能正常通電的概率為（）.A.0.729 B.0.81 C.0.891 D.0.99【答案】C【解析】【分析】分析出要想該電路能正常通電，則要正常，中至少一個(gè)正常，結(jié)合組合知識(shí)求出概率.【詳解】要想該電路能正常通電，則要正常，中至少一個(gè)正常，故該電路能正常通電的概率為.故選：C4.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題意可得關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組：，解得：，綜上可得：的取值范圍是.本題選擇B選項(xiàng).5.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而利用向量求解異面直線所成角即可.【詳解】解：由題知，在直三棱柱中，平面，平面，∵平面，平面，∴，，∵，，∴.∵，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為故選：C.6.已知，直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形.則使這個(gè)四邊形面積最小的值為.A2 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】易知，直線和都過定點(diǎn).在中，令，得；在中，令，得.聯(lián)結(jié).則.所以，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小.故答案為D7.已知拋物線的焦點(diǎn)為圓的圓心，又經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】由已知求出，得出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線，利用弦長(zhǎng)公式即可求出.【詳解】由題可得拋物線焦點(diǎn)為，則，即，則拋物線方程為，直線的傾斜角為60°，則斜率為，故直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線可得，設(shè)，則，則.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.8.已知橢圓與雙曲線具有相同焦點(diǎn)、，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】利用橢圓與雙曲線的定義把、用表示，在中由余弦定理得出的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化得出的等式，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】設(shè)為第一象限的交點(diǎn)，，，則由橢圓和雙曲線的定義可知，，在中由余弦定理得：，即：，，即：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為3．故選：A．二.多選題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）9.（多選）已知，，，，是空間五點(diǎn)，且任何三點(diǎn)不共線.若，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列結(jié)論中正確的有（）A.，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底B.，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】ABC【解析】【分析】由，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得空間五點(diǎn)，，，，共面，從而可作判斷【詳解】解：因?yàn)?，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，且，，，，是空間五點(diǎn)，且任何三點(diǎn)不共線所以空間五點(diǎn)，，，，共面，所以這五點(diǎn)，，，，中，任意兩個(gè)點(diǎn)組成的三個(gè)向量都不可能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以ABC正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】此題考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題10.將一枚骰子向上拋擲一次，設(shè)事件{向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，事件{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過2}，事件{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4}，則下列說法中正確的有（）A.B.{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}C.{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3}D.{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，分別得到事件包含的樣本點(diǎn)，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知事件包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為；事件包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為；事件包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為；所以{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為}，故A錯(cuò)誤；{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為或或}，故B正確；{向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為或或或}，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：BC11.已知圓的方程為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.實(shí)數(shù)k的取值范圍是B.實(shí)數(shù)k的取值范圍是C.當(dāng)圓的周長(zhǎng)最大時(shí)，圓心坐標(biāo)是D.圓的最大面積是π【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】將圓的方程為化為標(biāo)準(zhǔn)式為，由，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，圓的半徑最大，則圓的周長(zhǎng)以及面積最大，此時(shí)半徑為，圓心坐標(biāo)為，則圓的面積為，故CD正確；故選：ACD12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E的方程為，離心率為，為E上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作兩條直線分別與E交于B，C兩點(diǎn)，且直線AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B.直線BC斜率為定值C.點(diǎn)O到直線BC的距離為定值D.若，則直線BC的方程為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用點(diǎn)在曲線上和橢圓離心率公式及橢圓中的關(guān)系即可求解.對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)出直線AB的方程與橢圓聯(lián)立，消去，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，代入直線AB求出點(diǎn)B縱坐標(biāo)，利用已知條件寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)求斜率公式即可求解.對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)出直線BC的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立直線BC與橢圓的方程,消去，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出橫坐標(biāo)的關(guān)系，由，利用兩直線垂直的充要條件即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意得，，結(jié)合，得，，所以橢圓E的長(zhǎng)周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，由A得橢圓E方程為，設(shè)，，由題意知直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，得，則，得，，即.因?yàn)橹本€AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，所以直線AC的斜率為﹣k，同理可得，故直線BC的斜率，為定值，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，由B知可設(shè)直線BC的方程為，則原點(diǎn)O到直線BC的距離，不是定值，故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立直線BC與橢圓的方程，得，整理得，，即，則，，由，得，整理得，得，，此時(shí)直線BC的方程為，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷非選擇題（90分）三.填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在該拋物線上，又拋物線的準(zhǔn)線方程為：，所以點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為：，故答案為：314.甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，兩人獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和，若兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為_____.【答案】【解析】【分析】甲乙兩人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的情況是甲獲得一等獎(jiǎng)乙未獲得一等獎(jiǎng)和乙獲得一等獎(jiǎng)甲未獲得一等獎(jiǎng)兩種情況，由相互獨(dú)立事件概率得解.【詳解】設(shè)甲乙分別獲一等獎(jiǎng)的概率為和，則這兩人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查互獨(dú)立事件概率，屬于基礎(chǔ)題.15.已知向量，且，則____________．【答案】3【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，解得，故答案?.16.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，若存在點(diǎn)滿足，則的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，，再由雙曲線的定義，結(jié)合離心率的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，，且在雙曲線上，則，即，又，即，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6個(gè)大題，共70分）17.已知離心率為的雙曲線C與橢圓的焦點(diǎn)相同.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件取得雙曲線的，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【小問1詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線的方程為，，所以雙曲線的半焦距.又由，得，所以，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，所以雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為.18.已知圓和點(diǎn)．（1）過點(diǎn)M向圓O引切線，求切線的方程；（2）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為8的圓M的方程；【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，滿足題意；當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得值，可得方程；（2）設(shè)以點(diǎn)M為圓心圓的半徑為r，由題意可得圓心M到直線的距離d滿足，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d值，可得答案.【小問1詳解】若過點(diǎn)M的直線斜率不存在，直線方程為：，為圓O的切線；當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，即，∴圓心O到切線的距離為：，解得：∴直線方程為：．綜上，切線的方程為：或【小問2詳解】點(diǎn)到直線的距離為：，又∵圓被直線截得的弦長(zhǎng)為8，由垂徑定理得：，∴∴圓M的方程為：19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，點(diǎn)E在SD上，且．（1）若M，N分別為SA，SC的中點(diǎn)，證明：平面平面ACE；（2）若，，，平面ABCD，求直線BS與平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接交于，取的中點(diǎn)，連接，由M，N分別為SA，SC的中點(diǎn)，可得∥，由線面平行的判定可得∥平面，再由結(jié)合菱形的性質(zhì)可得∥,則得∥平面，再利用面面平行的判定可證得結(jié)論，（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：連接交于點(diǎn)，連接交于，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸，N分別為SA，SC的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镹為SC的中點(diǎn)，所以∥，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以為的中點(diǎn)，所以∥,因?yàn)槠矫妫矫妫浴纹矫?，因?yàn)椋云矫妗纹矫?，【小?詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)椤危?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)椋?，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線BS與平面ACE所成角為，則，所以直線BS與平面ACE所成角的正弦值為20.眉山市位于四川西南，有“千載詩書城，人文第一州”的美譽(yù)，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉(xiāng)，也是人們旅游的好地方.在今年的國慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化”知識(shí)競(jìng)賽.已知甲、乙兩隊(duì)參賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.（1）分別求甲隊(duì)總得分為0分；2分的概率；（2）求甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分的概率.【答案】(1)0分概率；2分概率；(2)【解析】【分析】（1）記“甲隊(duì)總得分為0分”為事件，“甲隊(duì)總得分為2分”為事件，分析可知A事件三人都沒有答對(duì)，按相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算概率，B事件即甲隊(duì)三人中有1人答錯(cuò)，其余兩人答對(duì)，由n次獨(dú)立事件恰有k次發(fā)生計(jì)算即可（2）記“乙隊(duì)得1分”為事件，“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”為事件，分別有互斥事件概率加法公式及相互獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可.【詳解】（1）記“甲隊(duì)總得分為0分”為事件，“甲隊(duì)總得分為2分”為事件，甲隊(duì)總得分為0分，即甲隊(duì)三人都回答錯(cuò)誤，其概率；甲隊(duì)總得分為2分，即甲隊(duì)三人中有1人答錯(cuò)，其余兩人答對(duì)，其概率；（2）記“乙隊(duì)得1分”為事件，“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”為事件；事件即乙隊(duì)三人中有2人答錯(cuò)，其余1人答對(duì)，則，甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分即事件、同時(shí)發(fā)生，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，涉及n次獨(dú)立事件中恰有k次發(fā)生的概率公式的應(yīng)用，互斥事件的概率加法公式，屬于中檔題.21.已知拋物線的焦點(diǎn)是曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，為