第10講 認(rèn)識(shí)三角形與圖形全等-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義（北師大版）（原卷版）

第10講認(rèn)識(shí)三角形與圖形全等

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

跳:知

知識(shí)點(diǎn)01三角形

（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

組成三角形的線段叫做三角形的邊.

相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).

相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角.

（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三

角形即等邊三角形）.

（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高.

（4）三角形具有穩(wěn)定性.

【知識(shí)拓展1]（2021秋?陽(yáng)新縣期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（）

A.M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形

B.M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形

C.M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形

D.M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形

【即學(xué)即練1]（2021秋?靜安區(qū)期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.任意一個(gè)直角三角形都可以被分割成兩個(gè)等腰三角形

B.任意一個(gè)等腰三角形都可以被分割成兩個(gè)等腰三角形

C.任意一個(gè)直角三角形都可以被分割成兩個(gè)直角三角形

D.任意一個(gè)等腰三角形都可以被分割成兩個(gè)直角三角形

【即學(xué)即練2]（2021秋?雙牌縣期末）下面是小強(qiáng)用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（)

知識(shí)點(diǎn)02三角形的角平分線、中線和高

（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三

角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一

條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn).

【知識(shí)拓展2】（2021秋?兩江新區(qū)期末）如圖，在aABC中，AB=5,AC=3,為8c邊上的中線，則

△A8O與△ACQ的周長(zhǎng)之差為（）

A.2B.3C.4D.5

【即學(xué)即練1]（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)谧鰽ABC中AC邊上的高時(shí)，共畫出下

列四種圖形，其中正確的是（)

B

【即學(xué)即練2】（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD,BE,CF是△ABC的三條中線，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.8c=2AOB.AB=2AFC.AD=CDD.BE=CF

知識(shí)點(diǎn)03三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即5△=上X底X高.

2

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

【知識(shí)拓展3】（2021秋?正陽(yáng)縣期末）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)。、E、F分別是BC、AD.CE的中點(diǎn),

且△ABC的面積為24,則aBE尸的面積是（）

BD

A.2B.4C.6D.8

【即學(xué)即練1］（2021秋?同安區(qū)期末）如圖，SMBD=SMCD,已知A8=8cm,AC=5cm,那么△48。和4

ACO的周長(zhǎng)差是cm.

【即學(xué)即練2】（2021秋?嘉魚縣期末）如圖，在△A8C中，A。，AE分別是邊8c上的高和中線，AD=2cm,

△ACE的面積是3cm2,則BC=cm.

知識(shí)點(diǎn)04三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn).

（2）重心的性質(zhì)：

①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.

③重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的和最小.（等邊三角形）

【知識(shí)拓展4】（2021秋?泉州期末）如圖，在RtzMBC中，NC=90°,點(diǎn)G是△A8C的重心，GELAC,

垂足為E,若GE=3,則線段C8的長(zhǎng)度為（）

A.10B.9C.6D.9

2

【即學(xué)即練1］（2021秋?萊州市期末）如圖，點(diǎn)。是△ABC的重心，連接AO并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)O.若BC

=6,則CD=

A

【即學(xué)即練2]（2021秋?廣豐區(qū)期末）三角形的中線把三角形分成了面積相等的兩部分，而三條中線交于

一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫此三角形的心.

知識(shí)點(diǎn)05三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的

線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容

易忽略.

【知識(shí)拓展5】（2021秋?樊城區(qū)期末）若線段AP,BP,AB滿足AP+8PA4B,則關(guān)于P點(diǎn)的位置，下列說(shuō)

法正確的是（）

A.P點(diǎn)一定在直線AB上B.P點(diǎn)一定在直線AB外

C.P點(diǎn)一定在線段AB上D.尸點(diǎn)一定在線段A8外

【即學(xué)即練1]（2021秋?宜春期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,11C.5,6,10D.4,5,9

【即學(xué)即練2】（2021秋?岑溪市期末）已知一個(gè)三角形有兩邊長(zhǎng)分別為3和9,則它的第三邊長(zhǎng)可能是（）

A.4B.5C.6D.7

知識(shí)點(diǎn)06三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

【知識(shí)拓展6】（2021秋?大余縣期末）如圖，在△ABC中，是BC邊上的高，AE,BF分別是NBAC,

/A8C的平分線./BAC=50°,ZABC=60°.則/D4E+NACD等于（）

【即學(xué)即練1】（2021秋?鉛山縣期末）如圖，8。平分NABC,平分NACQ,若NA=80°,則/。的度

數(shù)為（）

【即學(xué)即練2】（2021秋?連江縣期末）如圖，已知△ABC中，BD,CE分別是AABC的角平分線，BD與

CE交于點(diǎn)O,如果設(shè)乙4=〃°（0<〃<180）,那么NC。。的度數(shù)是（）

A.45°+n°B.90°C.90°-二。D.180°-n

22

知識(shí)點(diǎn)07全等圖形

（1）全等形的概念

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.

（2）全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

（3）三角形全等的符號(hào)

“全等”用符號(hào)“出”表示.注意：在記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上.

（4）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

【知識(shí)拓展1]（2021秋?潛江期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形

B.兩個(gè)全等圖形形狀一定相同

C.兩個(gè)周長(zhǎng)相等的圖形一定是全等圖形

D.兩個(gè)正三角形一定是全等圖形

【即學(xué)即練1】圖中所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則下列關(guān)系正確的是（）

A.Z1>Z2B.Z1<Z2C.Zl+Z2=90°D.Nl+N2=180°

【即學(xué)即練2】（2021秋?辛集市期末）觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（）

oooo☆☆

①②③

④⑤⑥

A.3組B.4組C.5組D.6組

知識(shí)點(diǎn)08直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外,具有一些特殊的性質(zhì):

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一

個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.

【知識(shí)拓展8］（2021秋?富川縣期末）在一個(gè)直角三角形中，一個(gè)銳角等于56°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是

)

A.26°B.34°C.36°D.44°

【即學(xué)即練1】（2021秋?越城區(qū)期末）如圖，在aABC中，點(diǎn)P在邊BC上（不與點(diǎn)2,點(diǎn)C重合），（）

A.若N8AC=90°,ZBAP=ZB,則AC=PC

B.若NBAC=90°,NBAP=NC,貝

C.若AP_LBC,PB=PC,則NBAC=90°

D.若PB=PC,ZBAP^ZCAP,則NBAC=90°

【即學(xué)即練2】（2021秋?嘉魚縣期末）在△ABC中，NA=90°,Zfi=40°,則NC=度.

Q能力拓展

【考點(diǎn)1］：認(rèn)識(shí)三角形

例題1.（2021?石家莊市第四十一中學(xué)七年級(jí)期末）若三角形的兩邊長(zhǎng)是2cm和5cm,第三邊長(zhǎng)的數(shù)值是

奇數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）

A.9cmB.12cmC.10cmD.14cm

【變式1］（2021?山東煙臺(tái)市?七年級(jí)期末）用直角三角板作的高，下列作法正確的是（）

【變式2］（2021?浙江溫州市?七年級(jí)期末）如圖，三角形ABC中，AC±BC,于點(diǎn)。，則下

列線段關(guān)系成立的是（

A.AD+BC<ABB.BD+AC<AB

C.BC+AC>2CDD.AC+BC<AB

例題2.（2020?遼寧錦州市?七年級(jí)期末）己知三角形A8C,且AB=3厘米，BC=2厘米，A、C兩點(diǎn)間的距離

為x厘米，那么x的取值范圍是.

【變式1］（2021?廣西南寧市?七年級(jí)期末）現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為1的正方形紙片，第一次沿著線段剪開(kāi)，留

下三角形AS%第二次取的中點(diǎn)乙，再沿著Ag剪開(kāi)，留下三角形ABg；第三次取的中點(diǎn)A，

再沿著剪開(kāi)，留下三角形A8A；…，如此進(jìn)行下去，在第〃次后，被剪去圖形的面積之和是.

【變式2］（2020?浙江杭州市?七年級(jí)期末）已知直線加〃〃，將一塊含有45°角的直角三角板ABC按如圖

方式放置，其中斜邊5c與直線〃相交于點(diǎn)O.若Nl=24°，則N2的度數(shù)為.

Am

例3.（2021?蘭州市第三十六中學(xué)七年級(jí)期末）把兩個(gè)形狀相同，大小不同的三角板如圖所示拼在一起，己

知N3=ND4C=x,ZC=ZBAD=2x.

（1）求NC的度數(shù);

（2）如圖，如果=試比較NAEC和的大小.

【變式1］（2021?浙江臺(tái)州市?七年級(jí)期末）如圖，在平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)A、B、C

B?

（1）根據(jù)下列語(yǔ)句畫圖：

①連接AB；

②作直線BC；

③作射線AC,在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)。使得CD=C8,連接8。：

(2)比較AB+BD,AB+BC+CD,A。的大小關(guān)系.

【變式2］（2021?四川綿陽(yáng)市?東辰國(guó)際學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，兩個(gè)形狀、大小完全相同的含有30。、60°

的直角三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

（1）試說(shuō)明NDPC=90。；

（2）如圖②，若三角板PBD保持不動(dòng)，三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，PF平分NAPD,PE

平分NCPD,求NEPF：

（3）如圖③.在圖①基礎(chǔ)上，若三角板PAC開(kāi)始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為5。/秒，同時(shí)三角板PBD繞點(diǎn)

P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/秒，（當(dāng)PA轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，PC、PB、

PD三條射線中，當(dāng)其中一條射線平分另兩條射線的夾角時(shí)，請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間.

【考點(diǎn)2】：圖形的全等

例題1.（2001.浙江省杭州第十中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，某同學(xué)將一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)

在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（）

40。

①②的

A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①②去

【變式1］（2020?四川成都市?七年級(jí)期末）如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則Nl+N2+N3=（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

【變式2］（2020?山東泰安市?七年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形

B.全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形

C.兩個(gè)等邊三角形是全等三角形

D.全等三角形是指兩個(gè)能完全重合的三角形

例題2.（2021.湖北黃石市.七年級(jí)期末）如圖，是一個(gè)3*3的正方形網(wǎng)格，貝iJ/l+/2+/3+N4=

【變式1］（2020?重慶七年級(jí)期末）如圖，圖中由實(shí)線圍成的圖形與①是全等形的有.（填番號(hào)）

①②③④⑤

【變式2］（2020?山西臨汾市?七年級(jí)期末）如圖，_ABC三二ADE,如果AB=5cm,BC=7cm,AC=6cm,

那么OE的長(zhǎng)是_____.

E、A

例題3.（2020?江蘇蘇州市?七年級(jí)期末）如圖，用三種不同的方法沿網(wǎng)格線把正方形分割成4個(gè)全等的圖形

（三種方法得到的圖形相互間不全等）.

方法1方法2方法3

【變式1］（2018?全國(guó)七年級(jí)期末）如圖,在△48C和△DBC中，/4C8=4>8C=90。，E是8c的中點(diǎn),

DE±AB,垂足為點(diǎn)尸，且AB=OE.

(1)求證：BD=BC；

(2)若BO=6cm,求AC的長(zhǎng).

【變式2］（2019?山東青島市?七年級(jí)期末）圖①，圖②都是由一個(gè)正方形和一個(gè)等腰直角三角形組成的圖形.

（1）用實(shí)線把圖①分割成六個(gè)全等圖形;

（2）用實(shí)線把圖②分割成四個(gè)全等圖形.

分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖,CM是△ABC的中線，AM=4cm,則8M的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6C??7

2.（2021秋?東城區(qū)校級(jí)期末）如圖,A。是△ABC中NB4c的角平分線，DE_LAC于點(diǎn)E,DE=4,AC=

6,那么△ACD的面積是（）

A.10B.12C.16D.24

3.（2021秋?玉林期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能構(gòu)成三角形的是（)

A.3,4,8B.5,6,11C.5,5,10D.3,7,9

4.（2021秋?全椒縣期末）如圖,△ABC中,A。是8。邊上的高,AE是NR4C的平分線，NB4C=50°，

ZABC=60°，則ND4E=()

B.4C.8°D.6°

5.（2021秋?無(wú)為市期末）如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的正方形，則Nl+N2=（）

A.60°B.90°C.100°D.120°

6.（2021秋?望城區(qū)期末）在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于25°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）

A.25°B.55°C.65°D.75°

二.填空題（共8小題）

7.（2021秋?嵐皋縣校級(jí)月考）圖中以AE為邊的三角形共有個(gè).

8.（2021秋?天河區(qū)期末）在△4BC中，AO是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△48。的周長(zhǎng)多3<?"，已

知AB=4cm,則AC的長(zhǎng)為cm.

9.（2021秋?定海區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，力是8c邊上的一點(diǎn)（不與8,C重合），點(diǎn)E,尸是線段

AO的三等分點(diǎn)，記△BD尸的面積為Si,ZXACE的面積為S2,若SI+S2=3,則△ABC的面積為.

10.（2021秋?港南區(qū)期中）如圖，B￡>、CE是△ABC的高，若AB=4,AC=6,CE=5,則8。的長(zhǎng)度是

II.（2021秋?廣豐區(qū)期末）三角形的中線把三角形分成了面積相等的兩部分，而三條中線交于一點(diǎn)，這一

點(diǎn)叫此三角形的心.

12.（2021秋?巢湖市期末）△A8C的兩邊長(zhǎng)分別是2和5,且第三邊為奇數(shù)，則第三邊長(zhǎng)為.

13.（2021秋?包河區(qū)期末）如圖，在△4BC中，乙4c8=90°,點(diǎn)。在AB上，將△BOC沿CD折疊，點(diǎn)

B落在AC邊上的點(diǎn)夕處，若NAQ8'=20°,則NA的度數(shù)是

c

14.（2021秋?大連月考）直角三角形中兩個(gè)銳角的差為20°,則較小的銳角度數(shù)是

三.解答題（共3小題）

15.（2021秋?啟東市期末）如圖，在△A8C中，NC4E=18°,ZC=42°,NCBO=27°.

（1）求NAF'B的度數(shù)；

（2）若NBA尸=2/ABF,求/BAF的度數(shù).

16.（2021秋?雙臺(tái)子區(qū)期末）如圖，在△ABC中，C￡＞平分NAC8,AE±CD,垂足為尸，交.BC于點(diǎn)、E,

若/8AE=33°,NB=37°,求NE4C的度數(shù).

17.（2021秋?臨漳縣期末）閱讀并填空將三角尺SMPN,NMPN=90°）放置在△A8C上（點(diǎn)P在AABC

內(nèi)），如圖1所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C我們來(lái)探究：NABP與NACP是否存

在某種數(shù)量關(guān)系.

（1）特例探索：

若/A=50。,則NPBC+NPCB=度；ZABP+ZACP=度；

（2）類比探索:

NABP、NACP、NA的關(guān)系是；

（3）變式探索：

如圖2所示，改變?nèi)浅叩奈恢茫裹c(diǎn)尸在△A8C外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C,

則/ABP、NACP、/A的關(guān)系是.

題組B能力提升練

選擇題（共7小題）

1.（2021秋?興城市期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,NB=70°,點(diǎn)D、E分別在4B、AC上，將

△AOE沿OE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處.則（）

2.（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，/A=60°,NB=70°,CD是NACB的平分線，CHLAB

于點(diǎn)H,則4DC"的度數(shù)是（）

A.5°B.10°C.15°D.20°

3.（2021秋?開(kāi)州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，。在BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)。作。凡LAB于尸，交AC于E.己

知/A=35°，ZECD=85°,則NC=()

A

A.30°B.40°C.45°D.50°

4.（2021秋?忠縣期末）如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZA=30°，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，將△A3。

沿線段8。翻折，使得點(diǎn)A落在A，處，若/A5C=30°,則NC2￡>=（）

5.（2021秋?密山市期末）如圖，AO是△43C的中線，CE是△ACD的中線，。F是△CDE的中線，若

DEF=4,貝!ISAABC等于（）

6.（2021秋?潮安區(qū)期末）如圖，AO是△ABC的中線，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，連接BE、CE,若△ABC的面

積是8,則陰影部分的面積為（）

A

A.4B.2C.6D.8

7.（2021秋?江寧區(qū)期中）如圖，在四邊形A8C。與四邊形ABCD'中，AB=AH,NB=NB',BC=B'C.下

列條件中：?ZA=ZA',AD=A'D'；?ZA=ZA',CD=CD'-,③NA=N4,ZD=ZD'；?AD=A'D',

CD=CD'.添加上述條件中的其中一個(gè)，可使四邊形A8CQ四四邊形AbCD.上述條件中符合要求的有

;A二A'

A.①②③B.①③④C.①④D.①②③④

二.填空題（共8小題）

8.（2021秋?博興縣期末）如圖，AE是△ABC的角平分線，AO_LBC于點(diǎn)。，若NBAC=76°,ZC=64°,

則/D4E的度數(shù)是.

A

BEDC

9.（2021秋?平羅縣期末）如圖,△ABC中，。在8c的延長(zhǎng)線上，過(guò)。作DF_LAB于凡交AC于E.己

知NA=35°,NECD=85°則.

r

cD

10.（2021秋?博白縣期末）如圖,將AABC紙片沿OE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，且平分NABC,A'C

平分NAC8,若/84C=120°,則NI+N2的度數(shù)為_(kāi)_____.

B

jA

EC

11.（2020秋?十堰期末）如圖，在2X2的方格紙中，/1+/2等于

12.（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)月考）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形A8C。如圖所示,

連接BE并延長(zhǎng)交4。于點(diǎn)尸，若AG=2BG,則22=_______.

BE一

13.（2021春?東陽(yáng)市期末）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙板裁去兩個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的小正方形和兩個(gè)全等的小長(zhǎng)方

形，再把剩余部分（陰影部分）四周折起，恰好做成一個(gè)有底有蓋的長(zhǎng)方體紙盒，紙盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

為3kcm,寬為2kcm,則：

（1）裁去的每個(gè)小長(zhǎng)方形面積為cm2.（用4的代數(shù)式表示）

（2）若長(zhǎng)方體紙盒的表面積是底面積的正整數(shù)倍，則正整數(shù)A的值為.

14.（2021秋?湖州期末）如圖，在AASC中，AE是aABC的角平分線，。是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DH±BC

于點(diǎn)兒若N8=30°,ZC=50°,則

15.（2021秋?山亭區(qū)期末）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為''倍

角三角形”，其中a稱為“倍角”，如果一個(gè)“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為99°,那么倍角a的度數(shù)

是

三.解答題（共4小題）

16.（2021秋?建昌縣期末）如圖，AQ是NBAC的平分線，CE是△ADC邊A。上的高，若NBAC=70°,

Z￡CD=20°.求/AC8的度數(shù).

17.（2021秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△A8C中,ZB=40°,ZC=80°,ADLBC于。，且AE

平分NB4C,求NEAO的度數(shù).

18.（2021秋?南昌期末）如圖，在△ABC中，NB=2NC,4O_LBC于點(diǎn)￡>,AE平分NBAC交BC于點(diǎn)E.

（1）若NC=40°,求ND4E的度數(shù)；

（2）若交AC于點(diǎn)尸，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并在第（1）間的條件下，求NFEC的度數(shù).

BDEC

19.（2021秋?祁江區(qū)期末）點(diǎn)。為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC,使NAOC=120°,一直角三角板

的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處.

（1）如圖1,將三角板。OE的一邊0。與射線重合時(shí)，則/COO=/COE；

（2）如圖2,將圖1中的三角板。0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)0C恰好是NBOE的角平分線時(shí),

求NCOO的度數(shù)；

（3）將圖I中的三角尺。0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為a度，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，能

否使NAOE=3/COD?若能，求出a的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由.

題組C培優(yōu)拔尖練

一.選擇題（共3小題）

1.（2021秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）如圖，。是△ABC的重心，過(guò)。的一條直線分別與AB、AC相交于G、”（均

S四邊形B：的

不與△A8C的頂點(diǎn)重合），S四邊形8CHG,%AGH分別表示四邊形8CHG和△AG”的面積，則

SAAGH

的最大值是（

G

O

B”-------D--------C

A.$B.IC.3D.2

423

2.（2021春?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)。至點(diǎn)尸，使得4尸=C4,延長(zhǎng)A8至點(diǎn)。，

使得BD=2AB,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使得CE=3CB,連接EF、FD、DE,若SgEF=36,則S^ABC為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2021春?青山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，N8AC=90°,AO是高，BE是中線，CF是角平分線，CF

交AD于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)H,下面說(shuō)法正確的是（）

①△4BE的面積=Z\8CE的面積；②N4FG=NAGF；?ZMG=2ZACF；④BH=CH.

二.填空題（共3小題）

4.（2021秋?武昌區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZACB=2a,CD平分/ACB,/CA￡）=30°-a,ZBAD

=30°,則N8QC=.（用含a的式子表示）

5.（2021春?高郵市期中）如圖，對(duì)面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB,BC,

C4至點(diǎn)Ai,Bi,Ci,使得4B=2AB,BiC=2BC,CiA=2CA,順次連接Ai,B\,C\,得到△A181C1,

記其面積為Si；第二次操作，分別延長(zhǎng)AIBI,Bid,CiAi至點(diǎn)42,BI,CI,使得42BI=248I,BIC\

=28ICI,C2AI=2CIAI,順次連接A2,&,C2,得到282c2,記其面積為S2：…；按此規(guī)律繼續(xù)下去,

可得到△△484c4,則其面積S4=.

6.（2021春?寶應(yīng)縣月考）如圖，A,B,C分別是線段48、B\C,C1A的中點(diǎn)，若△AiBiCi的面積是28,

那么△ABC的面積是

三.解答題(共5小題)

7.(2021秋?青田縣期末)如圖，直線/〃線段8C,點(diǎn)