專題3.2 圖形規(guī)律問題（壓軸題專項(xiàng)講練）（北師大版）（原卷版）

專題3.2圖形規(guī)律問題【典例1】國慶節(jié)期間，人民廣場(chǎng)的一個(gè)公共區(qū)域用盆栽進(jìn)行了美化，盆栽按如圖的方式擺放，圖中的盆栽被折線隔開分成若干層，第一層有1個(gè)盆栽，第二層有3個(gè)盆栽，第三層有5個(gè)盆栽，第四層有7個(gè)盆栽，…，以此類推．請(qǐng)觀察圖形規(guī)律，解答下列問題：（1）第10層有個(gè)盆栽，前5層共有個(gè)盆栽；（2）觀察圖計(jì)算1+3+5+7+?+17=；（3）拓展應(yīng)用：求51+53+55+?+2023的值．【思路點(diǎn)撥】（1）后面一層比前面一層多2個(gè)盆栽，結(jié)合圖形，根據(jù)規(guī)律可求出其值；（2）圖形剛好構(gòu)成正方形的面積，求面積即可；（3）先算出1+3+5+…+49+51+…+2023的和，1+3+5+…+49的和，再求它們的差即可．【解題過程】（1）解：根據(jù)題意可得，2×(10-1)+1=19，∴第10層有19個(gè)盆栽，5×5=25，∴前5層共有25個(gè)盆栽，故答案為：19；25．（2）解：觀察圖形可得，第9層盆栽數(shù)量為：2×9-1=17，∴1+3+5+7+?+17=9故答案為：81．（3）解：根據(jù)題意可得，第1012層盆栽數(shù)量為：2×1012-1=2023，∴1+3+5+?+49+51+53+55+?+2023=1012第25層盆栽數(shù)量為：2×25-1=49，∴1+3+5+?+49=25∴51+53+55+?+2023=(1+3+5+?+51+53+55+?2023)-(1+3+5+?+49)，=1012∴51+53+55+?+2023的值為1023519．1．（2022秋·江蘇·七年級(jí)期中）觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第一個(gè)圖形中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖形中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖形中共有19個(gè)點(diǎn)，…按此規(guī)律第6個(gè)圖形中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．38 B．46 C．61 D．642．（2022秋·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓上（該圓周長為3個(gè)單位長，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0，1，2）上；先讓原點(diǎn)與圓周上0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上1，2，3，4，…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1，2，0，1，…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．若數(shù)軸繞過圓周99圈后，數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛好落在圓周上數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的位置，則這個(gè)整數(shù)是（）A．297 B．298 C．299 D．3003．（2023春·全國·七年級(jí)開學(xué)考試）觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知第506個(gè)正方形的左上角標(biāo)的數(shù)是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20234．（2022秋·湖南·七年級(jí)期末）如圖是由邊長為1的木條組成的幾何圖案，觀察圖形規(guī)律，第一個(gè)圖案由1個(gè)正方形組成，共用的木條根數(shù)S1＝4，第二個(gè)圖案由4個(gè)正方形組成，共用的木條根數(shù)S2＝12，第三個(gè)圖案由9個(gè)正方形組成，共用的木條根數(shù)S3＝24，以此類推…那么第100個(gè)圖案共用的木條根數(shù)S100為（）A．19600 B．20400 C．20200 D．200005．（2023秋·貴州畢節(jié)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng)，甲點(diǎn)依順時(shí)針方向環(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針方向環(huán)行．若甲的速度是乙的速度的3倍，則它們第A．CD B．AD C．AB D．BC6．（2022秋·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察如圖所示圖形構(gòu)成的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第42個(gè)圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．7．（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）觀察并找出如圖圖形變化的規(guī)律，則第2025個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是個(gè)．8．（2022秋·浙江杭州·七年級(jí)期末）如圖，第（1）個(gè)多邊形由正三角形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)記為a3，第（2）個(gè)多邊形由正方形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)記為a4，……，依此類推，由正n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)記為an(n≥3)，當(dāng)1a3+9．（2022秋·全國·七年級(jí)期中）正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第29行第30列的數(shù)字為．10．（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）圖5有多少顆黑色棋子？（2）若第n+2個(gè)圖形比第n個(gè)圖形中多2021顆棋子，試求n的值．11．（2022秋·安徽合肥·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列每一幅圖都是由單位長度均為1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某種規(guī)律組成的．（1）根據(jù)規(guī)律，第4個(gè)圖中共有___________個(gè)小正方形，其中灰色小正方形共有___________個(gè)．（2）第n個(gè)圖形中，白色小正方形共有___________個(gè)．（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）（3）白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024個(gè)嗎？如果可能，求出n的值；如果不可能，請(qǐng)說明理由．12．（2023秋·安徽六安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．（1）按圖示規(guī)律完成下表：圖形12345…火柴棒根數(shù)5913…（2）按照這種方式搭下去，搭第n個(gè)圖形需要根火柴棒．（用含n的代數(shù)式表示）（3）小靜同學(xué)說她按這種方式搭出來的一個(gè)圖形用了200根火柴棒，你認(rèn)為可能嗎？如果可能，那么是第幾個(gè)圖形？如果不可能，請(qǐng)說明理由．13．（2022秋·安徽滁州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）以下是一幅幅平面鑲嵌圖案，它們由相同的灰色正方形和白色等邊三角形排列而成，觀察圖案，如圖1，當(dāng)正方形只有1個(gè)時(shí)，等邊三角形有4個(gè)；如圖2，當(dāng)正方形有2個(gè)時(shí)，等邊三角形有7個(gè)；以此類推……（1）第5個(gè)圖案中正方形有______個(gè)，等邊三角形有______個(gè)．（2）第n個(gè)圖案中正方形有______個(gè)，等邊三角形有______個(gè)．（3）若此類圖案中有2023個(gè)等邊三角形，該圖案中正方形有多少個(gè)？14．（2023秋·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形是由邊長為1的小正方形按照一定的規(guī)律組成的．觀察圖形．回答下列問題：（1）按上述規(guī)律排列，第⑤幅圖中，圖形的周長為______﹔（2）按上述規(guī)律排列，第n幅圖中．圖形的周長為______；（3）按上述規(guī)律排列，是否存在第n幅圖形的周長為60，請(qǐng)說明理由．15．（2023春·四川成都·七年級(jí)成都外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）某餐廳中，一張桌子可坐6人，有以下兩種擺放方式：（1）有4張桌子，用第一種擺設(shè)方式，可坐多少人？用第二種擺設(shè)方式，可坐多少人？（2）用含有n的代數(shù)式表示：有n張桌子，用第一種擺設(shè)方式可坐多少人？用第二種擺設(shè)方式，可坐多少人？（3）一天中午，餐廳要接待80位顧客共同就餐，但餐廳只有20張這樣的桌子可用，且每4張拼成一張大桌子．若你是這家餐廳的經(jīng)理，你打算選擇哪種方式來擺放餐桌，并說明理由．16．（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，某鏈條每節(jié)長為2.8cm，每兩節(jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1

（1）2節(jié)鏈條的總長度為______cm；3節(jié)鏈條的總長度為______cm；4節(jié)鏈條的總長度為______cm；（2）根據(jù)上述規(guī)律，n節(jié)鏈條的總長度為多少cm；（用含n的式子表示，不用說理）（3）一根鏈條的總長度能否為73cm17．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）有一列數(shù)1、3、5、7……有無數(shù)項(xiàng)（無數(shù)個(gè)數(shù)），請(qǐng)觀察其規(guī)律后寫出其中第20項(xiàng)（從左往右數(shù)第20個(gè)數(shù)）是，第n項(xiàng)是；（2）二算法是數(shù)學(xué)的一種很重要的方法，用二算法可以得到許多很重要的數(shù)學(xué)公式．請(qǐng)觀察下圖，用二算法推導(dǎo)出1＋3、1＋3＋5、1＋3＋5＋7的計(jì)算結(jié)果，猜測(cè)1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）的計(jì)算結(jié)果；（3）由（2）推導(dǎo)出2＋4＋6＋……＋2n的結(jié)果．18．（2022秋·廣西北海·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．【觀察思考】當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）：（1）當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有________塊（如圖3）；（2）以此類推，人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加________塊；（3）【規(guī)律總結(jié)】若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為________（用含n的代數(shù)式表示）．（4）【問題解決】現(xiàn)有2022塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，則需要正方形地磚多少塊？19．（2023春·四川自貢·七年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）用火柴棒按圖中的方式搭圖形：（1）按圖示規(guī)律填空：圖形編號(hào)①②③④⑤火柴棒根數(shù)712_________________________________（2）按照這種方式搭下去，請(qǐng)寫出搭第n個(gè)圖形需要的火柴根數(shù)；（3）小明發(fā)現(xiàn)：按照這種方式搭圖形會(huì)產(chǎn)生若干個(gè)正方形，若使用2022根火柴搭圖形，圖中會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)正方形？20．（2022秋·北京通州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個(gè)長方形ABCD的寬為1，長為aa>1的紙片，先剪去一個(gè)正方形，余下一個(gè)長方形，在余下的長方形紙片中再剪去一個(gè)正方形，又余下一個(gè)長方形……，依此類推，如圖是剪3次后余下的長方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)a的值，請(qǐng)畫出（與示意圖不同）剪3次后余下的長方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)a21．（2022秋·安徽滁州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）圖①是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層，將圖①倒置后與原圖拼成圖②所示的形狀，這樣我們可以算出圖①中所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+?+n=n(n+1)2，如果圖①-④中各有11（1）圖①中共有___________個(gè)圓圈：（2）我們自上而下，在圓圈中按圖③的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊圓圖的數(shù)是___________.（3）我們自上而下，在圓圈中按圖④的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-23，-22，-2122．（2023·全國·七