專題02 與三角形有關(guān)系的角（解析版）

專題02與三角形有關(guān)的角專題探究考點一三角形的內(nèi)角與外角【知識點睛】三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°，推論：三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和三角形的外角和=360°應(yīng)用：三角形內(nèi)角和定理在求角度時，只要知道任意兩個內(nèi)角的度數(shù)，就可以求第三個角的度數(shù)三角形求角度問題常和角平分線、高線等結(jié)合考察，另外，有折疊，亦有角相等AABCD如圖，有：飛鏢模型：【類題訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于點E，則∠ADB的度數(shù)為（）A．100° B．90° C．80° D．50°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出∠B與∠BAD的度數(shù)即可求解．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故選：A．2．根據(jù)下列條件能判定△ABC是直角三角形的有（）①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計算求解即可．【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合題意；∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②符合題意；∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°×＝90°，∠B＝180°×＝36°，∠C＝180°×＝54°，∴△ABC是直角三角形，故③符合題意；∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°，∴∠A＝，∴∠B＝，∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，故④不符合題意；綜上，符合題意得有3個，故選：C．3．下面說法正確的個數(shù)是（）（1）三角形中最小的內(nèi)角不能大于60°；（2）三角形的一個外角等于這個三角形的兩個內(nèi)角的和；（3）三角形任意兩個內(nèi)角的和大于第三個內(nèi)角；（4）直角三角形只有一條高；（5）在同圓中任意兩條直徑都相互平分；（6）三角形一邊上的高小于這個三角形的其他兩邊．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形的高線，圓的概念等知識逐項判定可求解．【解答】解：（1）三角形中最小的內(nèi)角不能大于60°，若大于了60°，三角形的內(nèi)角和就大于了180°，故原說法正確，符合題意；（2）三角形的一個外角大于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，故原說法錯誤，不符合題意；（3）三角形任意兩個內(nèi)角的和不一定大于第三個內(nèi)角，當(dāng)?shù)谌齻€角為鈍角時就不大于，故錯誤，不合題意；（4）直角三角形有三條高，故錯誤，不符合題意；（5）在同圓中任意兩條直徑都相互平分，故正確，符合題意；（6）直角三角形一邊上的高可以等于這個三角形的其他邊，故財務(wù)，不符合題意．故選：D．4．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊至△FDE位置，點A的對應(yīng)點為F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，則∠CEF的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】由折疊性質(zhì)可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由鄰補(bǔ)角可求得∠ADF＝60°，則∠ADE＝30°，由三角形的內(nèi)角和可求得∠AED＝135°，由三角形的外角求得∠DEG＝45°，則可求∠CEF的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，∵∠BDF＝120°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝60°，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝135°，∠DEG＝∠A+∠ADE＝45°，∴∠DEF＝135°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEG＝90°．故選：A．5．如圖，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC、CD，則∠A的度數(shù)是°．【分析】先利用三角形的內(nèi)角和求出∠FCE，再利用平行線的性質(zhì)說明∠A與∠FCE的關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：延長FC交AD于點G．∵∠E＝80°，∠F＝60°，∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣60°＝40°．∵AB∥CF，AD∥CE∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．∴∠A＝∠FCE＝40°．故答案為：40．6．將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．【解答】解：如圖，∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，∴∠CGF＝∠DGB＝45°，則∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，故選：C．7．將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．60°【分析】利用三角形外角的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故選：B．8．如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（）A．120° B．105° C．60° D．45°【分析】先求出∠2，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．【解答】解：如圖，∠2＝90°﹣45°＝45°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠1＝∠2+60°，＝45°+60°，＝105°．故選：B．9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的三個外角度數(shù)的比為4：5：6，則∠A＝（）A．96° B．84° C．48° D．24°【分析】根據(jù)三角形的外角和等于360°列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)∠A、∠B、∠C的三個外角度數(shù)分別為4x、5x、6x，則4x+5x+6x＝360°，解得，x＝24°，則∠A的外角為4x＝96°，∴∠A＝84°，故選：B．10．2022年2月8日上午，谷愛凌在女子滑雪大跳臺決賽中，獲得了北京冬奧會雪上項目的首金．如圖所示，大跳臺的∠B＝35°，∠C＝y(tǒng)°，∠BAD＝x°，請找出y與x的關(guān)系式（）A．y＝145﹣x B．y＝x﹣35 C．y＝x+55 D．y＝x+35【分析】直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵∠BAD是△ABC的外角，∠B＝35°，∠C＝y(tǒng)°，∠BAD＝x°，∴∠BAD＝∠B+∠C，即x＝35+y，∴y＝x﹣35．故選：B．11．一副三角板如圖放置，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】延長BE交AC于D，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：延長BE交AC于D，∵∠BEC是△CDE的外角，∴∠2+∠CDE＝∠BEC＝90°，同理：∠1+∠A＝∠CDE，∴∠2+∠1+∠A＝90°，∴∠1+∠2＝45°，故選：B．12．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交點，則∠BHC＝度．【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，可求得∠ABD．再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，進(jìn)而求出∠BHC．【解答】解：在△ABD中，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，∴∠BHC＝90°+35°＝125°．13．三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”，如果一個“特征三角形”的“特征角”為110°，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為．【分析】根據(jù)已知一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍得出β的度數(shù)，進(jìn)而求出最小內(nèi)角即可．【解答】解：由題意得：α＝2β，α＝110°，則β＝55°，180°﹣110°﹣55°＝15°，故答案為：15°．14．三角形的一個外角是100°，則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是．【分析】由三角形的外角性質(zhì)可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分線的定義得∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，從而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，∴∠1+∠3＝（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案為：130°．15．如圖，在△ABC中，AD是BAC的平分線，EF∥AD，交BC于E、AB于F、CA的延長線于G，∠B＝30°，∠C＝70°，則∠G的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．根據(jù)角平分線的定義，得∠DAC＝＝40°．根據(jù)平行線的性質(zhì)，由EF∥AD，得∠G＝∠DAC＝40°．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝＝40°．∵EF∥AD，∴∠G＝∠DAC＝40°．故答案為：40°．16．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度數(shù)；（2）證明：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)可求得∠DCE＝60°，再由角平分線的定義可得∠ACE＝60°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求∠CAE的度數(shù)；（2）由三角形的外角性質(zhì)可得∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，再由角平分線的定義得∠ACE＝∠DCE，從而可求解．【解答】（1）解：∵∠DCE是△BCE的外角，∠B＝35°，∠E＝25°，∴∠DCE＝∠B+∠E＝60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，∴∠CAE＝180°﹣∠ACE﹣∠E＝95°；（2）證明：∵∠DCE是△BCE的外角，∠BAC是△ACE的外角，∴∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，∵CE平分角ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E．17．如圖，CD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度數(shù)；（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC即可求解；（2）設(shè)∠A＝x°，則∠ACD＝x°﹣17°，根據(jù)∠EDB＝∠A+∠AED，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝75°﹣42°＝33°，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠DCB＝∠ACD＝33°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝33°，∴∠CED＝180°﹣33°﹣33°＝114°；（2）設(shè)∠A＝x°，則∠ACD＝x°﹣17°，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACB＝2（x°﹣17°），∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝2（x°﹣17°），∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴95°＝x°+2（x°﹣17°），∴x＝43°，∴∠A＝43°．18．（1）如圖1，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFC的度數(shù)；（2）如圖2，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝42°，①求∠CAB的度數(shù)；②求∠CAP的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）①根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PCB，根據(jù)角平分線的定義可得∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，然后整理得到∠PCD＝42°+∠ABC，再代入數(shù)據(jù)計算即可得解；②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與判定可得AP平分∠CAE，再根據(jù)角平分線的定義可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠A＝60°，∴∠ACB＝80°，∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，∴∠FBC＝∠ABC＝20°，∠FCB＝∠ACB＝40°，∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°；（2）①在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝42°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+42°，∴∠ACD﹣∠ABC＝84°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝84°，即∠CAB＝84°．②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，∴PE＝PG，PF＝PG，∴PE＝PF，∴AP平分∠CAE，∴∠CAP＝∠CAE＝×（180°﹣84°）＝48°．考點二直角三角形的角【知識點睛】性質(zhì)：直角三角形內(nèi)角兩銳角互余判定：兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形【類題訓(xùn)練】1．將一副三角板和一個直尺按如圖所示的位置擺放，則∠1的度數(shù)為（）度．A．45 B．60 C．75 D．105【分析】首先計算∠4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠4，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵∠2＝60°，∠3＝45°，∴∠4＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠4＝75°，故選：C．2．若一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：3：4，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【分析】首先根據(jù)題意，可得：這個三角形的最大的角的度數(shù)占三角形的內(nèi)角和的；然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，用180乘這個三角形的最大的角的度數(shù)占三角形的內(nèi)角和的分率，求出最大的角的度數(shù)是多少，判斷出這個三角形是什么三角形即可．【解答】解：180°×＝180°×＝90°∴這個三角形的最大的角的度數(shù)是90°，∴這個三角形是直角三角形．故選：B．3．已知，在直角△ABC中，∠C為直角，∠B是∠A的2倍，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．50° C．70° D．90°【分析】設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得x+2x＝90°，解方程即可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∵∠C為直角，∴∠A+∠B＝90°，∴x+2x＝90°，∴x＝30°，∴∠A＝30°，故選：A．4．在Rt△ABC中，BC是斜邊，∠B＝35°，則∠C＝（）A．45° B．55° C．65° D．75°【分析】根據(jù)直角三角形的邊先確定直角，再利用直角三角形的性質(zhì)計算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，BC是斜邊，∴∠A＝90°．∵∠B＝35°，∴∠C＝90°﹣∠B＝55°．故選：B．5．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【分析】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠C，由直角三角形的性質(zhì)得出∠C+∠BAC＝90°，求出x即可．【解答】解：設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故選：B．6．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD與CE所在直線交于點H，則∠BHC的度數(shù)是（）A．45° B．45°或135° C．45°或125° D．135°【分析】①△ABC是銳角三角形時，先根據(jù)高線的定義求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式進(jìn)行計算即可得解；②△ABC是鈍角三角形時，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BHC＝∠A，從而得解．【解答】解：①如圖1，△ABC是銳角三角形時，∵BD、CE是△ABC的高線，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，在△ABD中，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；②如圖2，△ABC是鈍角三角形時，∵BD、CE是△ABC的高線，∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，∵∠ACE＝∠HCD（對頂角相等），∴∠BHC＝∠A＝45°．綜上所述，∠BHC的度數(shù)是135°或45°．故選：B．7．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點F是△ABC外的一點，∠CBE是△ABC的外角，∠CAF＝2∠FAB，∠CBF＝2∠FBE，則∠F＝．【分析】設(shè)∠FBE＝x°，∠FAB＝y(tǒng)°，則∠CBE＝3x°，∠CAB＝3y°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠FBE＝∠F+∠FAB，∠CBE＝∠C+∠CAB，代入求出答案即可．【解答】解：∵∠CAF＝2∠FAB，∠CBF＝2∠FBE，∴設(shè)∠FBE＝x°，∠FAB＝y(tǒng)°，則∠CBF＝2x°，∠CAF＝2y°，∴∠CBE＝3x°，∠CAB＝3y°，∵∠FBE＝∠F+∠FAB，∠CBE＝∠C+∠CAB，∠C＝90°，∴x°＝∠F+y°①，3x°＝3y°+90°②，①×3﹣②得：0°＝3∠F﹣90°，解得：∠F＝30°，故答案為：30°．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，將其折疊，使點A落在邊BC上的點E處，CA與CE重合，折痕為CD，則∠EDB的度數(shù)是．【分析】△ABC中已知兩個角的度數(shù)，求出∠B的度數(shù)，由折疊可知△ACD≌△ECD，知道∠CED的度數(shù)，再利用三角形外角與內(nèi)角關(guān)系求出∠EDB即可．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，∴∠B＝90°﹣52°＝38°，由題意可知△ACD≌△ACD，∴∠CED＝∠A＝52°，由圖可知∠CED是△EBD的外角，∴∠CED＝∠B+∠EDB，∴52°＝38°+∠EDB，∴∠EDB＝14°．故答案為：14°．9．如圖，點A是射線BC外一點，連接AB，AB＝5cm，點A到BC的距離為3cm．動點P從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)t為秒時，△ABP為直角三角形．【分析】根據(jù)勾股定理，先求出BH的長，再分情況討論：當(dāng)∠APB＝90°時，當(dāng)∠BAP＝90°時分別求解即可．【解答】解：過點A作AH⊥BC，∵點A到BC的距離為3cm，∴AH＝3cm，∵AB＝5cm，根據(jù)勾股定理，得BH＝4cm，當(dāng)∠APB＝90°時，如圖所示：此時點P與點H重合，根據(jù)題意，得2t＝4，解得t＝2；當(dāng)∠BAP＝90°時，如圖所示：∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，根據(jù)勾股定理，得AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝9+（2t﹣4）2，∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2，解得t＝，∴t＝2s或s，故答案為：2s或s．如圖，已知點P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運(yùn)動），∠AON＝40°，（1）當(dāng)∠A＝時，△AOP為直角三角形；（2）當(dāng)∠A滿足時，△AOP為鈍角三角形．【分析】（1）分∠A＝90°和∠OPA＝90°兩種情況進(jìn)行討論，即可求出答案；（2）分∠A為鈍角和∠OPA為鈍角兩種情況進(jìn)行討論，即可求出答案．【解答】解：（1）當(dāng)∠A＝90°時，△AOP為直角三角形，當(dāng)∠OPA＝90°時，△AOP為直角三角形，∵∠AON＝40°，∴此時，∠A＝90°﹣∠AON＝90°﹣40°＝50°，綜上所述，當(dāng)∠A＝90°或50°時，△AOP為直角三角形，故答案為：90°或50°；（2）當(dāng)90°＜∠A＜180°時，△AOP為鈍角三角形，當(dāng)90°＜∠OPA＜180°時，△AOP為鈍角三角形，∵∠AON＝40°，∴此時，0°＜∠A＜50°，綜上所述，當(dāng)90°＜∠A＜180°或0°＜∠A＜50°時，△AOP為鈍角三角形，故答案為：90°＜∠A＜180°或0°＜∠A＜50°．11．如圖，已知D是線段BC的延長線上一點，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求證：△AOE是直角三角形．【分析】根據(jù)平角的概念求出∠ACB＝90°，根據(jù)對頂角相等、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】證明：∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，∴∠AOE＝∠B，∵∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠AOE＝90°，∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．12．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．（1）求∠ACE的度數(shù)．（2）若CD⊥AB于點D，∠CDF＝75°，求證：△CFD是直角三角形．【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠ACE的度數(shù)．（2）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及直角三角形的性質(zhì)，即可得到∠DCF的度數(shù)，進(jìn)而得出∠CFD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝45°；（2）∵CD⊥AB，∠B＝60°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝15°，又∵∠CDF＝75°，∴∠CFD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，∴△CFD是直角三角形．13．如果三角形中任意兩個內(nèi)角∠α與∠β滿足2∠α+∠β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)直角三角形”，并說明理由；（2）如果△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，那么△ABC是；（從下列四個選項中選擇，填寫符合條件的序號）（①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形；④都有可能）（3）如圖，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于點D．①若DE∥BC交AB于點E