滬科版數(shù)學八年級上冊第15章整合提升試題及答案

滬科版數(shù)學八年級上冊第15章專訓一：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法名師點金：在幾何圖形中添加輔助線，往往能把分散的條件集中，使隱蔽的條件顯露，將復雜的問題簡單化，例如：作“三線”中的“一線”，作平行線構造等腰(邊)三角形，利用截長補短法證線段和、差關系或求角的度數(shù)，利用加倍折半法證線段的倍分關系．作“三線”中的“一線”1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，過點A作EF∥BC，且AE＝AF.求證：DE＝DF.(第1題)作平行線法2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖①，當點P為AB的中點時，求證：PD＝QD.(2)如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當P，Q在移動的過程中，線段BE，ED，CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．(第2題)截長補短法3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求證：BD＋DC＝AB.(第3題)加倍折半法4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．(第4題)5．如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.(第5題)專訓二：分類討論思想在等腰三角形中的應用名師點金：分類討論思想是解題的一種常用方法，在等腰三角形中，往往會遇到條件或結論不唯一的情況，此時就需要分類討論．通過正確地分類討論，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答．其解題策略為：先分類，再畫圖，后計算．當頂角或底角不確定時，分類討論1．若等腰三角形中有一個角等于40°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq\f(1,2)BC，則等腰三角形ABC的底角的度數(shù)為()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一個外角為64°，則底角的度數(shù)為________．當?shù)缀脱淮_定時，分類討論4．(2015·荊門)已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的兩邊長分別為7和9，則其周長為________．6．若實數(shù)x，y滿足|x－4|＋(y－8)2＝0，則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為________．當高的位置關系不確定時，分類討論7．等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)．由腰的垂直平分線引起的分類討論8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角∠B的度數(shù)．由腰上的中線引起的分類討論9．等腰三角形ABC的底邊BC長為5cm，一腰上的中線BD把其分為周長差為3cm的兩部分．求腰長．點的位置不確定引起的分類討論10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有()(第10題)A．7個B．6個C．5個D．4個11．如圖，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直線AB上的兩點，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)．(第11題)專訓三：三角形中的五種常見證明類型名師點金：學習了全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)和判定后，與此相關的幾何證明題的類型非常豐富，常見的類型有：證明數(shù)量關系，位置關系，線段的倍分關系、和差關系、不等關系等．證明數(shù)量關系題型1證明線段相等1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且AE＝AF.求證：DE＝DF.(第1題)題型2證明角相等2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC的中點，AE⊥BD于F交BC于E.求證：∠ADB＝∠CDE.(第2題)證明位置關系題型1證明平行關系3．已知△ABC為等邊三角形，點P在AB上，以CP為邊長作等邊三角形PCE，連接AE.求證：AE∥BC.(第3題)題型2證明垂直關系4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中點．求證：DG⊥EF.(第4題)證明線段的倍分關系5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于點H，且AE＝BE.求證：AH＝2BD.(第5題)證明線段的和差關系6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求證：AB＋BD＝AC.(第6題)證明線段的不等關系7．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，P是AD上的任意一點，且AB＞AC.求證：AB－AC＞PB－PC.(第7題)專訓四：四種常見熱門考點名師點金：本章內(nèi)容在中考試題中一直占有重要的地位，屬必考內(nèi)容，考查形式多以選擇、填空形式出現(xiàn)，其考查內(nèi)容主要有軸對稱和軸對稱圖形的識別、最短距離問題、與翻折有關的計算和證明題等．軸對稱圖形與軸對稱1．(2015·重慶)下列圖形是軸對稱圖形的是()(第2題)2．(2015·烏魯木齊)如圖，△ABC的面積等于6，邊AC＝3，現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折，使點C落在直線AD上的C′處，點P在直線AD上，則線段BP的長不可能是()A．3B．4C．5D．63．(2015·綏化)點A(－3，2)關于x軸的對稱點A′的坐標為________．4．(2014·寧夏)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)，畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1.(第4題)線段垂直平分線與角平分線(第5題)5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線DE交AC于點D，交AB于點E，則下列結論錯誤的是()A．BD平分∠ABCB．△BCD的周長等于AB＋BC(第6題)C．AD＝BD＝BCD．點D是線段AC的中點6．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是()A．80°B．50°C．40°D．20°7．如圖，已知C是∠MAN的平分線上一點，CE⊥AB于點E，點B，D分別在AM，AN上，且AE＝eq\f(1),\s\do5(2))(AD＋AB)．問：∠1和∠2有何關系？(第7題)等腰三角形的判定與性質(zhì)(第8題)8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)分別為垂足，則下列四個結論：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個9．(中考·淄博)如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB＝AD.(第9題)等邊三角形的性質(zhì)與判定10．如圖，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上一點(不是中點)，且AD＝BE＝CF，AE與CD，BF分別交于點G，H，BF與CD交于點N，則△GHN是(第10題)()A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形(第11題)11．如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直線AD折疊，點C落在C′處，連接BC′，則BC′的長為________．答案專訓一(第1題)1．證明：如圖，連接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.2．(1)證明：如圖①，過點P作PF∥AC交BC于F.∵點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，F(xiàn)P＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.(第2題)(2)解：線段ED的長度保持不變．理由如下：如圖②，過點P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝eq\f(1,2)BC，∴線段ED的長度保持不變．3．證明：如圖，延長BD至E，使BE＝AB，連接CE，AE.(第3題)∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE為等邊三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.4．解：在DC上截取DE＝BD，連接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是線段BE的垂直平分線，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可設∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x，∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，則∠C＝20°.(第5題)5．證明：如圖，延長CE到點F，使EF＝CE，連接FB，則CF＝2CE.∵CE是△ABC的中線，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝AE，,∠BEF＝∠AEC，,EF＝EC，))∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中線，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF與△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CB，,∠CBF＝∠CBD，,BF＝BD，))∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.專訓二1．D2.C3.32°4.C5.23或256.207．解：設AB＝AC，BD⊥AC；(1)高與底邊的夾角為25°時，高一定在△ABC的內(nèi)部，如圖①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(第7題)(2)當高與另一腰的夾角為25°時，如圖②，高在△ABC的內(nèi)部時，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如圖③，高在△ABC的外部時，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各個內(nèi)角的度數(shù)為：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.點撥：由于題目中的“另一邊”沒有指明是“腰”還是“底邊”，因此必須進行分類討論，另外，還要結合圖形，分高在三角形內(nèi)還是在三角形外．8．解：此題分兩種情況：(1)如圖①，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE＝40°，則∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(第8題)(2)如圖②，AB邊的垂直平分線與CA的延長線交于點D，∠ADE＝40°，則∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小為65°或25°.9．分析：由于題目中沒有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”為3cm，還是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”為3cm，因此必須分兩種情況討論．解：∵BD為AC邊上的中線，∴AD＝CD，(1)當(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3cm時，有AB－BC＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)當(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3cm時，有BC－AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是當AB＝2cm時，三邊長分別為2cm，2cm，5cm.而2＋2＜5，不能構成三角形，舍去．故腰長為8cm.10．B11．解：(1)當點D、E在點A的同側，且都在BA的延長線上時，如圖①，(第11題)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)當點D、E在點A的同側，且點D在D′的位置，E在E′的位置時，如圖②，與(1)類似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)當點D、E在點A的兩側，且E點在E′的位置時，如圖③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)當點D、E在點A的兩側，且點D在D′的位置時，如圖④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.綜上所述，∠DCE的度數(shù)為20°或110°或70°.專訓三1．證明：連接AD.∵AB＝AC，D是BC的中點，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))∴△AED≌△AFD(SAS)．∴DE＝DF.2．證明：過點C作CG⊥AC交AE的延長線于G，則CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.又∵AF⊥BD，AC⊥CG，∴∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.∴∠ABD＝∠CAG.在△ABD和△CAG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠CAG，,AB＝CA，,∠BAD＝∠ACG＝90°，))∴△ABD≌△CAG(ASA)．∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.又∵D為AC的中點，∴AD＝CD，∴CD＝CG.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠DCE.又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.∴∠DCE＝∠GCE.又∵CE＝CE，∴△CDE≌△CGE(SAS)．∴∠CDE＝∠G.∴∠ADB＝∠CDE.3．證明：∵△ABC，△PCE均為等邊三角形，∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠B＝∠PCE＝60°.∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，即∠BCP＝∠ACE.在△CBP和△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝AC，,∠BCP＝∠ACE，,PC＝EC，))∴△CBP≌△CAE(SAS)．∴∠CAE＝∠B＝60°.∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC.(第4題)4．證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CF，,∠B＝∠C，,BE＝CD，))∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴DE＝DF.又∵G是EF的中點，∴DG⊥EF.5．證明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.在△BCE和△AHE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBC＝∠EAH，,BE＝AE，,∠BEC＝∠AEH＝90°，))∴△BCE≌△AHE(ASA)．∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.6．證明：如圖，延長CB至E，使BE＝BA，則∠BAE＝∠E，∴∠ABC＝2∠E.又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.(第6題)(第7題)7．證明：如圖，在AB上截取AE，使AE＝AC，連接PE.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠EAP＝∠CAP.在△AEP和△ACP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AC，,∠EAP＝∠CAP，,AP＝AP，))∴△AEP≌△ACP(SAS)，∴PE＝PC.在△PBE中，BE＞PB－PE，即AB－AC＞PB－PC.專訓四1．A2.A3.(－3，－2)4．解：如圖所示．(第4題)5．D6.D(第7題)7．解：作CF⊥AN于F(如圖)，∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，又∵AC＝AC，∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AF＝AE.∵AE＝eq\f(1,2)(AD＋AB)＝eq\f(1,2)(AF－DF＋AE＋BE)＝AE＋eq\f(1,2)(BE－DF)，∴BE－DF＝0，∴DF＝BE，又∵CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，∴△DFC≌△BEC(SAS)．∴∠5＝∠2.∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，即∠1與∠2互補．8．D9．證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD.10．A11.3專訓一：軸對稱與軸對稱圖形的關系名師點金：軸對稱圖形是指一個圖形，成軸對稱是指兩個圖形的位置關系．在某種情況下，二者可以相互轉(zhuǎn)換．利用軸對稱的性質(zhì)可以求平面直角坐標系中關于x軸、y軸對稱的點的坐標，還可以利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最短路徑等問題．軸對稱的作圖1．下列圖形中，右邊圖形與左邊圖形成軸對稱的是()2．如圖，已知△ABC和直線MN，求作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC關于直線MN對稱．(不要求寫作法，只保留作圖痕跡)(第2題)軸對稱圖形的再認識3．(2015·河北)一張四邊形紙片按圖①，圖②依次對折后，再按圖③打出一個圓形小孔，則展開鋪平后的圖案是()(第3題)(第4題)4．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色，使整個涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有________個．軸對稱及軸對稱圖形的性質(zhì)的應用類型1利用軸對稱及軸對稱圖形的性質(zhì)求面積(轉(zhuǎn)化思想)(第5題)5．如圖，△ABC是軸對稱圖形，且直線AD是△ABC的對稱軸，點E，F(xiàn)是線段AD上的任意兩點，若△ABC的面積為12cm2，則圖中陰影部分的面積是________cm2.類型2利用軸對稱求與坐標有關的問題6．已知點M(2a－b，5＋a)，N(2b－1，－a＋b)．(1)若點M，N關于x軸對稱，試求a，b的值；(2)若點M，N關于y軸對稱，試求(b＋2a)2016的值．類型3利用軸對稱解決四邊形中的折疊問題7．把一張長方形紙片ABCD按圖中的方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合(E，F(xiàn)兩點均在BD上)，折痕分別為BH，DG.求證：△BHE≌△DGF.(第7題)類型4利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何中的最值問題8．如圖，∠AOB＝30°，點P是∠AOB內(nèi)一點，OP＝10，點M，N分別在OA，OB上，求△PMN的周長的最小值．(第8題)專訓二：軸對稱圖形性質(zhì)的應用名師點金：本章中除了等腰三角形之外，還有兩類特殊的軸對稱圖形——線段和角，靈活運用線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)可以求線段的長度，求角的度數(shù)，證明數(shù)量關系等．應用于求線段的長1．如圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點D，E，垂足分別為F，G，已知△ADE的周長為12cm，則BC＝________.(第1題)2．如圖，在△ABC中，AB>BC，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，垂足為D，交AC于E.若△ABC的周長為41cm，一邊長為15cm，求△BCE的周長．(第2題)應用于求角的度數(shù)3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點D，交AB于點E，連接AD，AD將∠CAB分成兩個角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度數(shù)．(第3題)應用于證線段相等(作垂線段法)4．如圖，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA，OB交于點C，D.求證：PC＝PD.(提示：四邊形的內(nèi)角和等于360°)(第4題)應用于證不等關系(截取法)5．如圖，AD為△ABC的中線，DE，DF分別是△ADB和△ADC的角平分線．求證：BE＋CF>EF.(第5題)專訓三：活用“三線合一”巧解題名師點金：等腰三角形“頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線”只要知道其中“一線”，就可以說明是其他“兩線”．運用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明角相等、線段相等或垂直關系，可減少證全等的次數(shù)，簡化解題過程．利用“三線合一”求角的度數(shù)1．如圖，房屋頂角∠BAC＝100°，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求頂架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度數(shù)．(第1題)利用“三線合一”求線段的長2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，DE⊥AB于點E，若CD＝6，且△BDC的周長為26，求AE的長．(第2題)利用“三線合一”證線段、角相等3．如圖，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BE＝AF.求證：DE＝DF.(第3題)利用“三線合一”證垂直4．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且EA＝EC.求證：EB⊥AB.(第4題)利用“三線合一”證線段的倍數(shù)關系(構造三線法)5．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延長線于點D.試說明：BF＝2CD.(第5題)利用“三線合一”證線段的和差關系(構造三線法)6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且∠ABC＝2∠C.試說明：CD＝AB＋BD.(第6題)專訓四：巧用特殊角構造含30°角的直角三角形名師點金：在解決有關三角形的問題時，遇到含有120°角的等腰三角形或含有30°角的三角形時，常常通過連線，延長或作垂線的方式，構造含30°角的直角三角形，將角的關系轉(zhuǎn)化為邊的關系來解決問題．直接運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)(第1題)1．(2015·青島)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE＝1，則BC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D.eq\r(3)＋22．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求BC的長．(第2題)連線段構造含30°角的直角三角形3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點，DE⊥AC于E，AE＝8，求CE的長．(第3題)4．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于點D，交BC于點E.求證：CE＝2BE.(第4題)延長兩邊構造含30°角的直角三角形5．如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的長．(第5題)作垂線構造含30°角的直角三角形6．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求證：AD＝2BC.(第6題)7．如圖，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°.求證：AC＝eq\f(1,2)AB.(第7題)答案專訓一1．B2．解：如圖．(第2題)3．C4.45．6點撥：∵△ABC是軸對稱圖形，且直線AD是對稱軸，∴△ABD與△ACD關于直線AD對稱．∴S△ABD＝S△ACD＝eq\f(1,2)S△ABC.又∵點E，F(xiàn)是AD上的任意兩點，∴△BEF與△CEF關于直線AD對稱．∴S△BEF＝S△CEF.∴S陰影＝S△ABE＋S△BEF＋S△BDF＝S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×12＝6(cm2)．6．解：(1)∵點M，N關于x軸對稱，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b＝2b－1，,5＋a＝－（－a＋b），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－5.))(2)∵點M，N關于y軸對稱，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b＝－（2b－1），,5＋a＝－a＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))∴(b＋2a)2016＝[3＋2×(－1)]2016＝1.7．證明：由折疊可知∠ABH＝∠EBH＝eq\f(1,2)∠ABD，∠CDG＝∠FDG＝eq\f(1,2)∠CDB，∠HEB＝∠A＝∠GFD＝∠C＝90°，AB＝BE，CD＝DF.∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.∴∠EBH＝∠FDG.∵AB＝CD，∴BE＝DF.在△BHE和△DGF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBH＝∠FDG，,BE＝DF，,∠HEB＝∠GFD，))∴△BHE≌△DGF(ASA)．點撥：用軸對稱性質(zhì)解決折疊問題的關鍵是折疊前后重合的部分全等，所以對應角相等、對應線段相等．(第8題)8．解：如圖，分別作點P關于OA，OB的對稱點P1，P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，OP1，OP2，此時△PMN的周長最小，△PMN的周長＝PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋NP2＝P1P2，∵∠P1OP2＝2∠AOP＋2∠BOP＝2∠AOB＝60°，OP＝OP1＝OP2，∴△OP1P2為等邊三角形．∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝10.∴△PMN的周長的最小值為10.專訓二1．12cm2．解：因為△ABC的周長為41cm，一邊長為15cm，AB＞BC，所以AB＝15cm，所以BC＝11cm.根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE＋CE＝AE＋CE＝AC，所以△BCE的周長＝BE＋CE＋BC＝26cm.3．解：∵∠1∶∠2＝2∶5，∴設∠1＝2x，則∠2＝5x.∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD.∴∠B＝∠2＝5x.∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.在△ADC中，2x＋10x＝90°，解得x＝7.5°，∴∠ADC＝10x＝75°.4．證明：如圖，過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，(第4題)∴∠PEC＝∠PFD＝90°.又∵OM是∠AOB的平分線，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.在△PCE和△PDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PCE＝∠PDF，,∠PEC＝∠PFD，,PE＝PF，))∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.5．證明：在DA上截取DH＝BD，連接EH，F(xiàn)H.∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD＝DH.∵DE平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE.又∵DE＝DE，∴△BDE≌△HDE(SAS)．∴BE＝HE.同理△CDF≌△HDF(SAS)，∴CF＝HF.在△HEF中，∵HE＋HF＞EF，∴BE＋CF＞EF.專訓三1．解：因為AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.2．解：∵△BDC的周長＝BD＋BC＋CD＝26，CD＝6，∴BD＋BC＝20.∵AD＝BD＝BC，∴AD＝BD＝BC＝10.∴AB＝AC＝AD＋CD＝10＋6＝16.∵AD＝BD，DE⊥AB，∴AE＝EB＝eq\f(1,2)AB＝8.3．證明：連接AD.∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD.又∵BD＝CD，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝45°，∴∠B＝∠DAC.又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴DE＝DF.(第4題)4．證明：如圖，過點E作EF⊥AC于F.∵EA＝CE，∴AF＝eq\f(1,2)AC.又∵AB＝eq\f(1,2)AC，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.又∵EA＝EA，∴△AEF≌△AEB(SAS)．∴∠