大一年級(jí)下冊(cè)線性代數(shù)hw-課本習(xí)題答案-第8章習(xí)題答案

思考題8-1

1.不能。因?yàn)槿绻鹥是方陣A對(duì)應(yīng)的特征向量，Ap是一個(gè)固定的向量，則滿足

Ap=的丸是唯一的。

AO

2.C=的特征值是A和B的特征值的并。若4，,乙是A的特征值，

OBJ

必，是B的特征值，則兒兒,從，是C的特征值。

因?yàn)閨花2"一。="=ME"—AKE,「B|,plE2“—C=0的根是

U/CH”—15

|/lEn-A|=O的根與隊(duì)叱—B|=0的根的并。

11?12

3.一般不相同。例1：設(shè)人=A21〉乙乃+2“〉1乙

_0-1*0-123

2--2-11

3=B,A的特征值為1,—1,而B(niǎo)的特征值為一一,3.

03_|3

例2：：設(shè)A=°7，A—1°=B,A的特征值為i,—i,而B(niǎo)的特征值

100—1

為1,-1.

4.一般不是。例如，設(shè)A=°之，B=5°,A的特征值為一3,2,而B(niǎo)的特征

3-1J|_01

值為1,5.A+B的特征值為6,-1.A+B的特征值不是A和B的特征值之和。

這個(gè)結(jié)論不成立的原因是X和u作為A和B的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量一般不相同。

5.tr（A）=-5,|A|=—4.

6.當(dāng)匕和火2不全為0時(shí)，匕Pi+&2P2也是不對(duì)應(yīng)的特征向量。

習(xí)題8-1

1.（1）A的特征值為1,2,3；對(duì)應(yīng)的全部特征向量依次為匕[—1,1,0/（匕。0）；

占[一2,1,27（履。0）；&[1，-1，—273。0）.

（2）A的特征值為0（單），1（二重）;對(duì)應(yīng)的全部特征向量依次為4[1,1,1/（匕。0）;

&[1,2,0「+%[0,—2,(k2和勺不全為0).

(3)A的特征值為—1(單)，3(二重);對(duì)應(yīng)的全部特征向量依次為尢[1,一1,『&H0);

&[-1,-1,1[(女2彳0).

(4)A的特征值為2(三重);對(duì)應(yīng)的全部特征向量為(攵。0)

(5)A的特征值為左+〃一1(單)，左—1(〃—1重);對(duì)應(yīng)的全部特征向量依次為

r

匕[1,1,」『伏尸0);右[—1,1,0,of+^3[-1,0,1,,of++左[—1,0,,0,i]

(k2,k3,，匕,不全為0).

2.證：設(shè)；I是A的特征值，則九2+54+6=0,2=—2或一3.

故A的特征值的可能取值為-2或-3.

k—2=%

3.解：由已知，得Ap=4p.進(jìn)一步可得＜-2=-2九解得，4=

攵—2=4

|2E-A|=-12-2-1=-12-2-1

0-12-3-A+302-3

2-3-10

=(2-3)-12-2-1=(/l-3)(2-4)(2-!)

-101

故A的全部特征值為3,4,1.

4.解：2A-1+A*=2A-1+|A|A-'=6A-1,將6A-1中的A換為2得到3,故2A-1+A*

有一個(gè)特征值為3.

5.解：因?yàn)锳為四階方陣，所以A有四個(gè)特征值。設(shè)X也是A的特征值。

由tr(A)=—1,得％+(―2)+(-2)+1=—1,4=2.

因?yàn)閨A|等于特征值之積，所以|A卜8.

A的特征多項(xiàng)式為|/IE-A|=(4+2)2(4-2)(4-1).

6.證：設(shè)4是A的特征值，則;I*=0,2=0,故哥零矩陣只有零特征值.

7.證：因?yàn)锳的每一列元素之和都為常數(shù)k,而對(duì)稱矩陣的第i行的數(shù)與第i列的數(shù)相

同，所以

1k1

1k1

A==k

1k1

故人是A的一個(gè)特征值，且［1,1,』「是A的對(duì)應(yīng)于特征值火的特征向量.

8.證：設(shè)；I是A的特征值，則分一4/1+4=0,2=2.故A的特征值只為2,A+ZE

的特征值只為左+2.于是，

A+kE可逆oA+ZE的特征值都不為零。左。一2.

提高題8-1

1.解：設(shè)U=k|P|+&2P2+&P3,解得仁=2,&2=9,%3=1，故U=2PI+9P2+P3.

因?yàn)锳p,=2,.p,.,Anp,.=所以

-4+9(-1)"+2"

n

A'u=2^'p,+9萬(wàn)P2+若Ps=2p,+9(-1)"p2+2p3=

9(—1)"+3-2"

2.證：若4=0,則|0E—AB|=0,進(jìn)一步可得|0E-BA|=0,0也是BA的特征值.

設(shè)；I工0,p是;I對(duì)應(yīng)的特征向量，則(AB)p=/Ip.

用B同時(shí)乘以上式兩邊，得

B(AB)p=ABp,即(BA)(Bp)=2(Bp).

若Bp=0,則(AB)p=0,而XpwO,這與(AB)p=/lP矛盾，所以BpwO.

于是，由(BA)(Bp)=/l(Bp)可知，X也是BA的特征值.

3.(1)證：由a和b正交，得b「a=O.于是，A2=(abr)(ab7)=a(bra)br=O.

設(shè)丸是A的特征值，則儲(chǔ)=0,4=0.故A只有零特征值.

(2)解：為了求A的全部特征向量，需解方程組(0E—A)x=0,即解方程組Ax=0.

不妨設(shè)6工0,4聲0,下面算出A并用初等行變換對(duì)A進(jìn)行化簡(jiǎn)。

他地b\瓦b.

00000

T

0000…0

Ax=0化簡(jiǎn)后成為

仇玉+b2x2++bnxn=0,

A的全部特征向量為

4.證：由A為降秩陣可知，A*的秩為0或1.

若A*的秩為0,則A*=O,A*的特征值全為零。

當(dāng)A*的秩為1時(shí)，根據(jù)習(xí)題5-2(112頁(yè))第4題可知,存在非零向量a和b,使得

A*=ab。

根據(jù)上一題，若a和b正交，則A*只有零特征值.

若a和b不正交，由

A*a=(ab7)a=a(bfa)=(Z4)a

i=l

可知A*有一個(gè)特征值為￡4?

/=l

由于A*x=0的基礎(chǔ)解系含〃一1個(gè)向量，所以0是A*的小1重零特征值。

5.證:<r(A)+r(B)<n,：.0有非零解。設(shè)uw0是其非零解，則

u=0.由此可得，Au=0,Bu=0.可見(jiàn)，u既是A的特征向量，也是B的特征向量,

對(duì)應(yīng)的特征值是0.

思考題8-2

1.不唯一。因?yàn)锳的相似標(biāo)準(zhǔn)形是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元為A的特征值，特征值的

排列次序可以變。

2.不唯一。因?yàn)镻的列向量是A的線性無(wú)關(guān)的特征向量，要用到（4.E-A）x=0的基

礎(chǔ)解系，而（4E-A）x=0的基礎(chǔ)解系是不唯一的。

3.不妨設(shè)A可逆，則AT（AB）A=BA.

4.A與B相似。因?yàn)椤?「」=15可以寫成（PT）TAPT=B,滿足相似的定義。

5.A=1?與B=?0的特征值相同，但不相似.

01J|_01

6.能。因?yàn)樯先切尉仃嚨奶卣髦禐槠鋵?duì)角元，對(duì)角元互異的上三角形矩陣的特征值都

是單特征值，所以能與對(duì)角陣相似。

7.不成立。需加條件：可相似對(duì)角化。

當(dāng)〃階矩陣A可相似對(duì)角化時(shí)，設(shè)A的非零特征值為4，，兒，則存在可逆矩陣P，

使得pTAP=diag（4，，4,0，,0），A的秩等于對(duì)角矩陣diag（4，,4,0,,0）的秩,

即非零特征值的個(gè)數(shù)。

*01r

下面給出一個(gè)該結(jié)論不成立的例子。A=001的秩為2,但一個(gè)非零特征值都沒(méi)

000

有。

習(xí)題8-2

1.注：當(dāng)A與B相似時(shí)，A與B的特征值、行列式、跡均相同，可根據(jù)這些相等關(guān)系

來(lái)建立方程，從而求出x和.V。

次(A)=Zr(B)x+2=y+5x=4

解法1：由A與B相似，得＜即《，解得1

JAI=IBIx+2-6yy=i

解法2：由A與B相似可知，A與B的特征值相同。顯然，2是B的特征值，因而2

2-x-20

也是A的特征值。由|2E-A|=0,得110=0,解得x=4.再由次(A)=/r(B),

001

求得y=l.

2.解法1：由A與diag（—1,1,2）相似，可知A的特征值為T,1,2,因而A?+E的特

征值為2,2,5,所以*+￡1=2x2x5=20.

-11

解法2：設(shè)人=「一|1P,則A2=pT1P.

24

A2+E2=20

5

A—1—52-1-5

3.(1)解：plE—A|=—12-10-12-10

-10A-l0-2+12-1

Z—1

=(2-l)-l2-10=(2-1)(2-3)(2+2),

0-11

4=1,4=3,4=—2.

由于A的特征值都是單特征值,所以A可相似對(duì)角化。

2-1-20

(2)解：匹-A|=02-1-2=(/1-1)3,

002-1

4=1（3重）.

0-20

由于4E—A=00-2r（4E—A）=2,4只能對(duì)應(yīng)出一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征

000

向量，所以A不可相似對(duì)角化。

2-31-12-31-1

(3)|2E-A|=-22-1-2+12-10

-112-2-112-2

2-31-1Z—31—1

=("1)-110=("1)-110=("1)("2)2

-11Z-2002-2

4=1,辦=2(2重).

-11-1-11-1

由于々E—A-22-1001,r（/UE-A）=2,4只能對(duì)應(yīng)出一

-110000

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A不可相似對(duì)角化。

2-100

4.(1)解：—A1=—1Z-2-1=(2-1)(2-2)(2-3)

-202-3

4=1,4,=2,4=3.

0000

2,E-A-1-1-11

-20-20

1001

/UE-A-10-1—>0

-20-10

2001

/L,E-A-11-10

-2000

001

☆P=[Pl，P2，pJ=011，則P^AP2

1013

2-3222-322

(2)解：—A|-2Z+l2=-2+1Z—10

2-22-32-102-1

2-322

(If-110=(2-l)2(/l-3),

I0I

4=1（2重），43（單）.

--2221-1-1

/L,E-A-222000

2-2-2000

Xj-x2-x3=0

(%E—A)x=0的基礎(chǔ)解系為p.

022

/UE-A-242

2-20

x+x=0

對(duì)應(yīng)的方程組為《23

xi-x2=Q

1

(4E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為P31

-1

1

☆P=[P]，P2，P3]1

3

5.證：由E—2A,E+2A及E-3A的秩都小于3,可知A的特征值為L(zhǎng)-LL因?yàn)?/p>

223

A的特征值都不為零，所以A可逆。

E+6A的特征值為4,—2,3,|E+6A|=4x(-2)x3=—24.

2E+AT的特征值為4,0,5,|2E+A[=0.

/I—25—k

6.解：|2E-A|=-12+4-1=(4-1)2(4+3),

002-1

4=1(2重)，4=-3.

要使A可相似對(duì)角化，4需對(duì)應(yīng)出2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，需?4E-A)=1.

-15—k,

因?yàn)?E—A=-10k-\,所以％=1.

000000

1111

7.解：令「="[小2t3]=012,A—1,則pTAP=A.

1132

11111-21

]_

A=PAP-i=012122-2

2

1132-101

]_

0

122

-2-111

_35

0

-22

1111-21

A"=PAAP101122-2

2

112*-101

3_2*T

0--+2*-1

122

-2\-2k1-1+2*

1330k

0--+--2*

2222

8.證：設(shè)「4「=8,/(犬)=。,/"+—+。］%+。0，則對(duì)于，=1,2,,m,有

B'=(PAP)(PAP)(PAP)=P'AAP,

,n

/(B)=++qB+&E=amPAP++AP+^z()PEP

=P"(A)P,

故/(A)與與B)相似。

9.證：由已知，得Au=〃u.

B(Pu)=(P_'AP)(P_1u)=PAu=PZu=〃(pTu),

所以P"u是B的特征值〃對(duì)應(yīng)的特征向量.

10.證：因?yàn)锳可相似對(duì)角化，所以存在可逆矩陣P,使得P^AP=A為對(duì)角矩陣。

將上式轉(zhuǎn)置，得P'A7(PT)T=A，，即P7A7(PT)T=A.于是，

P'AP=PrAf(P即A(PP7')=(PPy)Ar.

WB=PP'，則AB—BA'=O

提高題8-2

1.證：設(shè)piAP=B,兩邊取逆，得pTA7p=B-l故AT與Bi相似。

由A與B相似，得|A|=|B|.

用|A|(即|B|)乘以pTA-|p=BT的兩邊，得

P'|A|A-IP=|B|B-',即PAP=B*,故A*與B*相似.

「14'

2.解法h令P=[%,a2],B=]],則AP=PB,PAP=B

A-l-4

由|/IE-B|==(2-3)(2+l),得B的特征值為3,T.

解法2：設(shè)A（左叫+（12）=之（女"+ot2）,則

k(ct|+a2)+(4a,+a2)=A(kai+a2).

k+4=Ak

比較系數(shù)，得4

k+\—A,

%=2=—2

解得4

4=3’2=—1

2

3.解法1：設(shè)a/=pT0P,[2,0,0]P.

0

1

/a=[2,0,0]PpT0

2

解法2：設(shè)a『=pT0

因?yàn)?apT)2=(pra)(apr)，

2

apT=P10P,所以『a=2.

0

4.證：設(shè)A為〃階方陣。

由A?+A—2E=O,得(A+2E)(A-E)=O1(A+2E)+r(A—E)?〃.

又因?yàn)閞(A+2E)+r(A-E)>r[(A+2E)-(A-E)]=r(3E)=〃，所以

r(A+2E)+r(A—E)=".

若r(A+2E)=0,則A=—2E,A可相似對(duì)角化，其相似標(biāo)準(zhǔn)形是它自己。

若?4-￡)=0,則4=￡,A可相似對(duì)角化，其相似標(biāo)準(zhǔn)形是它自己。

下面設(shè)0<r(A+2E)<〃,0<r(A—E)<〃.

由(A+2E)(A—E)=O,可知A-E的非零列向量是—2對(duì)應(yīng)的特征向量，有

r(A—E)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

由A?+A-2E=O,還可得(A-E)(A+2E)=O,A+2E的非零列向量是1對(duì)應(yīng)的

特征向量，有r(A+2E)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

因?yàn)??仆+2￡)+/彷-￡)=〃,并且相異特征值對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量合起來(lái)還是無(wú)關(guān)

的，所以A有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故A可相似對(duì)角化。

因?yàn)锳恰好有“個(gè)特征值，而每個(gè)特征值的重?cái)?shù)大于或等于其所對(duì)應(yīng)的無(wú)關(guān)特征向量

-1

的個(gè)數(shù)，所以A的相似標(biāo)準(zhǔn)形為?，其中1的個(gè)數(shù)為“A+2E),

-2

-2_

一2的個(gè)數(shù)為?A—E).

思考題8-3

1.實(shí)對(duì)稱矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)等于r(A).因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣都可相似對(duì)角化。

2.不能。因?yàn)槿鬛為正交矩陣，Q-iAQ=A為對(duì)角矩陣，則A=QAQT=QAQ',

可以驗(yàn)證A為對(duì)稱矩陣，這說(shuō)明只有對(duì)稱矩陣才能通過(guò)正交相似變換將其化為對(duì)角矩陣。

3.是。因?yàn)檎换孟蛄拷M與原向量組等價(jià)，根據(jù)性質(zhì)8-3可以驗(yàn)證。

習(xí)題8-3

2-2-1-12-4-1-1

i.d）解：|涵-A|二-1A-2-1=A-42-2-1

-1-12-22-4-12-2

2-4-1-1

=0A—10=(A-l)2(A-4),

002-1

4=1(2重)，A,=4（單）.

對(duì)于4,解方程組（4E—A）x=O.

-1-1-llFl11

4E—A=-1-1-1-000

-1-1-1J[000

X1+工2+無(wú)3=0,

方程組（4E-A）x=o的基礎(chǔ)解系為Pl=

將Pi，p2正交化，取

%=P|,

U2P2-

再將3,4單位化，得

對(duì)于4=4，由

2-1-1000

4E—A=-12-1-12-1

-1-120-33

求得齊次線性方程組(/UE-A)x=O的基礎(chǔ)解系為

P3=[l，l，丁?

將P3單位化，得

1

1

“31

令

11

11

需

—正一

1百

1

瓶

Q=[ql,q,,q,]=lgl

2

0

76lGl

則Q為正交矩陣，且

Q-'AQ=diag(l,l,4).

A-2-222-2-22

令一2”

(2)解：A1=-2A—54-22+2A—10

為+2/j

242-522-202-1

2-2-22

=a-i)2-210=(/1-1)2(2-10),

201

4=1(2重),4=10(單).

對(duì)于4,解方程組(％E—A)x=0.

-1

2,E-A-2

2

為+2X2-2X3=0,

方程組(2,E—A)x=O的基礎(chǔ)解系為Pl=

將Pi，P2正交化，取

5=P],

Uh

U2=P-

2,II2

再將U”l>2單位化，得

對(duì)于辦

8-22000

2,E-A-2547i+2乃-2弓)-254

小+令

245099

求得齊次線性方程組(4E-A)x=O的基礎(chǔ)解系為

7

p3=[l,2,-2].

將P3單位化，得

1

1

2

3-3

-2

令

22J

V53753

142

Q=[qpq2q3]

3亞3

52

0

3石-3

則Q為正交矩陣，且

Q-1AQ=diag(l,l,10).

2-2-10

(3)解：由plE—A|=-12-20=(2-4)(2-3)(2-1),

00A-4

求得A的特征值為4=4,4=3,4=1.

對(duì)于4=4,由

2-10030

4E-A=-120—-120

000000

求得齊次線性方程組(4E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為

對(duì)于否=3,由

1-1

/UE-A-11

oo

求得齊次線性方程組(4E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為

P2=[l,l,0]'.

對(duì)于4=1,由

-10-1-10

4E—A=-10—000

0-300-3

求得齊次線性方程組(4E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為

P3=[T1,O]'.

將P，P2，P3單位化,得

令

01-1

Q=[qi,q2,q3]=-^011

7200

則Q為正交矩陣，且

Q"Q=diag(4,3,l).

2-220

(4)解：由|/IE—A|=22-12=(2-1)(2-4)(/1+2),

022

求得A的特征值為4=1,4=4,4=一2.

對(duì)于4=1，由

'-120--120--I20

2,E-A=202e+24、042__、000

021_021021

求得齊次線性方程組（4E-A）x=0的基礎(chǔ)解系為

p,=[2,l,-2]r.

對(duì)于4=4,由

'220--220-220

^E-A=232012012

024_024000

求得齊次線性方程組（4E-A）x=0的基礎(chǔ)解系為

P2=[2,-2,17.

對(duì)于4=-2,由

--420000

6+25+25、

23E-A2-322-32

02-202-2

求得齊次線性方程組（4E-A）x=0的基礎(chǔ)解系為

p3=[l,2,2]\

將P”P2，P3單位化，得

令

Q=[q,,q2,q,]=11-22

-212

則Q為正交陣，且

Q-'AQ=diag(l,4,-2)

2.解：設(shè)P1=[x”X2，X3丫是4=4=l對(duì)應(yīng)的特征向量，則Pl與P3正交。于是，有

求得基礎(chǔ)解系為Pl

I,則piAP=A.

0

-1-111-1

A=PAP，=10112

0111

--I-1O--12-1

=100-1-1

010