物理教學(xué)研究與管理室

知識要點及其要求第十三章量子物理預(yù)備知識

根底知識應(yīng)用知識本章小結(jié)德布羅意波實物粒子的二象性不確定關(guān)系量子力學(xué)簡介知識要點及要求A類知識要點:黑體輻射和普郎克能量子假設(shè)，經(jīng)典物理現(xiàn)象中出現(xiàn)的困難和假設(shè)；氫原子的玻爾理論，氫原子穩(wěn)定狀態(tài)的量子化軌道半徑、能量和躍遷頻率；愛因斯坦的光子假設(shè)和愛因斯坦方程；光電效應(yīng)及康普頓效應(yīng)；光波波長與光子動量的關(guān)系、光波頻率與光子能量的關(guān)系；德布羅意波和實物粒子的二象性。B類知識要點：光的波粒二象性；物質(zhì)波動性的物理量（波長、頻率）和粒子物理量（動量、能量）的關(guān)系；波函數(shù)及其統(tǒng)計意義、測不準(zhǔn)關(guān)系；半導(dǎo)體、超導(dǎo)電性；〔1〕學(xué)習(xí)黑體輻射和普郎克能量子假設(shè)，了解在經(jīng)典物理現(xiàn)象中出現(xiàn)的困難；了解光電效應(yīng)幾康普頓散射〔2〕理解氫原子的玻爾理論及在解決經(jīng)典物理難題中的地位和作用；〔3〕理解愛因斯坦的光子假設(shè)和愛因斯坦方程；〔4〕掌握光的波粒子二象性，光子動量、能量與光波波長的關(guān)系；〔5〕理解德布羅意波和實物粒子的二象性；掌握波動物理量和粒子物理量的關(guān)系；〔6〕理解波函數(shù)及其統(tǒng)計意義，了解測不準(zhǔn)關(guān)系。重點：難點：授課學(xué)時：8～12掌握氫原子的玻爾理論；愛因斯坦的光子假設(shè)和愛因斯坦方程光的波粒二象性，光子動量、能量與光波波長的關(guān)系；德布羅意波和實物粒子的二象性；波函數(shù)及其統(tǒng)計意義。普郎克能量子假設(shè)德布羅意波實物粒子的二象性測不準(zhǔn)關(guān)系；教學(xué)要求1.1預(yù)備知識一、中學(xué)物理知識要點

〔1〕黑體輻射任何一個物體，在任何溫度下都要輻射電磁波，這種由于物體中的分子、原子受到熱激發(fā)而發(fā)射電磁輻射的現(xiàn)象，稱為熱輻射。黑體——能吸收一切外來的電磁輻射，這種物體稱之為黑體〔也稱絕對黑體，它只是一種理想模型〕單色輻出度

——從熱力學(xué)溫度為T的黑體的單位面積上，單位時間內(nèi)，在單位波長范圍內(nèi)所輻射的電磁波能量。〔為黑體的熱力學(xué)溫度T和波長的函數(shù)〕在單位時間內(nèi)，從溫度為T的黑體的單位面積上，所輻射出的電磁波的能量總和〔只是黑體的熱力學(xué)溫度T的函數(shù)〕可由單色輻出度對所有波長的積分求得，即輻出度

——相關(guān)物理量黑體的輻出度與黑體的熱力學(xué)溫度的四次方成正比。斯特藩—玻耳茲曼定律黑體單色輻出度的實驗曲線維恩位移定律當(dāng)黑體的熱力學(xué)溫度升高時，在曲線上與單色輻出度的峰值相對應(yīng)的波長向短波方向移動。數(shù)學(xué)式表達式〔b為常量，其值為2.898×10-3m·K〕：斯特藩—玻耳茲曼常量，其值為5.670×10-8W/m2·K4

〔2〕普郎克能量子假設(shè)或通過比較，可以看出:在低頻〔長波〕局部，由經(jīng)典理論得出的瑞利—金斯公式與實驗符合得很好，但是在高頻〔即短波〕局部，卻出現(xiàn)巨大的分歧。對于溫度給定的黑體，由瑞利—金斯公式給出的黑體的單色輻出度將隨頻率的增高〔即波長的變短〕而趨于“無限大〞，這被稱為“紫外災(zāi)難〞。黑體輻射的輻出度分布實驗曲線與瑞利—金斯公式的比較（瑞利和金斯按照經(jīng)典理論得的單色輻出度數(shù)學(xué)表達式）瑞利—金斯公式普朗克假設(shè)為了得到與實驗曲線一致的公式，普朗克提出了與經(jīng)典物理概念不同的新假設(shè)：按照這個假設(shè)，用經(jīng)典的玻耳茲曼統(tǒng)計替代能量均分定理，可得到在單位時間內(nèi)，從溫度為T的黑體單位面積上，頻率在范圍內(nèi)所輻射的能量為電子吸收或者發(fā)射電磁輻射能量時，不是過去經(jīng)典物理所認(rèn)為的那樣可以連續(xù)地吸收或發(fā)射能量，而是以與振子的頻率成正比的能量子為基本單位來吸收或發(fā)射能量。即空腔壁上的帶電諧振子吸收或發(fā)射的能量，只能是的整倍數(shù)。也就是說

〔h—普朗克常量，其值為6.63×10-34J.s〕——普朗克黑體輻射公式或〔3〕光電效應(yīng)在光照射下，電子從金屬外表逸出的現(xiàn)象，叫做光電效應(yīng)?！?〕對某一種金屬來說，只有當(dāng)入射光的頻率大于某一頻率時，電子才能從金屬外表逸出，電路中才有光電流?！策@個頻率叫做截止頻率,也稱紅限〕；〔2〕用不同頻率的光照射金屬K的外表時，只要入射光的頻率大于截止頻率，遏止電勢差〔對應(yīng)于光電子動能的最大值〕與入射光頻率具有線性關(guān)系；〔3〕無論入射光的強度如何，只要其頻率大于截止頻率，那么當(dāng)光照射到金屬外表上時，幾乎立即就有光電子逸出。光電效應(yīng)實驗有如下規(guī)律：（圖）當(dāng)紫外線照射在金屬K的表面上時，如K接電源的負極，A接電源的正極，則可以觀察到電路中有電流。如K接正極、A接負極，當(dāng)K、A之間有反向電勢差U0，使電路中剛好沒有電流，這個U0叫做遏止電勢差。光電效應(yīng)實驗裝置VG愛因斯坦方程為了解決光電效應(yīng)實驗規(guī)律與經(jīng)典物理理論的矛盾，愛因斯坦提出：光束可以看成是由微粒構(gòu)成的粒子流，這些粒子叫做光量子（光子），光子的能量為。由能量守恒定律可得：電子初動能W—逸出功（與金屬的種類有關(guān)）——愛因斯坦光電效應(yīng)方程〔4〕康普頓效應(yīng)實驗裝置組成：X射線源、散射物質(zhì)和探測系統(tǒng)；實驗原理：X射線源發(fā)出一束單色X射線經(jīng)光闌準(zhǔn)直系統(tǒng)S1、S2投射到的散射物質(zhì)(如石墨、金屬等)上，產(chǎn)生向各個方向發(fā)出的X射線，稱之為α散射。散射光的波長和強度利用由晶體衍射裝置和探測器組成的探測系統(tǒng)（X譜線儀）來測量。（散射角θ可以變化）X射線散射物質(zhì)探測器實驗裝置示意圖13.2根底知識玻爾理論主要有下述三條假設(shè)：13.2.1氫原子的玻爾模型1、電子在原子中，可以在一些特定的圓軌道上運動而不輻射電磁波，這時原子處于穩(wěn)定狀態(tài)〔簡稱定態(tài)〕，并具有一定的能量。2、電子以速度v在半徑為r的圓周上繞核運動時，只有電子的角動量L等于整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的，即3、當(dāng)原子從高能量的定態(tài)躍遷到低能量的定態(tài)，亦即電子從高能量的軌道躍遷到低能量的軌道上時要發(fā)射頻率為v的光子，且頻率條件量子化條件〔量子條件〕（n=1，2，3，4…）

h——普朗克常量；n——主量子數(shù)從玻爾三條假設(shè)出發(fā)可以推導(dǎo)氫原子能級公式在半徑為rn的穩(wěn)定軌道上以速率vn作圓周運動，作用在電子上的庫侖力為：由第二條假設(shè)可得：其中電子在第n個軌道上的總能量是動能和勢能之和，即利用前述各式結(jié)果，可將其寫為其中n取1，2，3，4…時，氫原子所具有的能量為也就是說：氫原子具有的能量E是不連續(xù)的。上式就是玻爾理論的氫原子能級公式。從式中可看出，原子能量都是負值。這說明原子中的電子沒有足夠的能量，就不能脫離原子核對它的束縛。在正常情況下，氫原子處于最低能級E1，也就是電子處于第一軌道上。這個最低能級對應(yīng)的狀態(tài)叫做基態(tài)，或叫做氫原子的正常狀態(tài)。電子受到外界激發(fā)時，可從基態(tài)躍遷到較高能級的E2，E3，E4，…上，這些能級對應(yīng)的狀態(tài)叫做激發(fā)態(tài)。、3、4…——萊蔓系、4、5…——巴耳末系、5、6…——帕邢系……電子從較高能級的Ei躍遷到較低能級的Ef時，可得原子輻射的單色光的光子能量和所輻射單色光光子的頻率。氫原子可能的能量狀態(tài)基態(tài)能級基發(fā)態(tài)能級自由態(tài)能量（eV）…13.2.2德布羅意波實物粒子的二象性一、德布羅意波假設(shè)德布羅意假設(shè)：一個質(zhì)量為m的粒子，以速率v作勻速運動時，從粒子性看，可以用能量E和動量p描述；從波動性方面來看，可以用頻率和波長描述，這些量之間的關(guān)系可以用類似光的波粒二象性的公式表示，即德布羅意關(guān)系二、德布羅意波的實驗證明1、戴維孫—革末電子衍射實驗——約化普朗克常數(shù)——德布羅意波長從電子槍發(fā)射的電子束被加速電壓加速后，投射到鎳單晶體上，從晶體外表反射出來的電子束進入探測器，其電子流強度可由電流計讀出。戴維孫—革末電子衍射實驗示意圖如果把電子看成單純的“粒子”，則不論電子的速度如何，在反射方向應(yīng)該總是有反射；而且當(dāng)加速電壓單調(diào)增加時，由于入射電子束單調(diào)增強，反射電子束也應(yīng)單調(diào)增強。這種論斷無法解釋上述實驗結(jié)果。要正確解釋實驗結(jié)果，必須承認(rèn)電子具有波動性。實驗表明：當(dāng)加速電壓單調(diào)增加時，反射電子束的強度并不單調(diào)變化，而是要經(jīng)歷一系列的極大值和極小值。020406080U=54V2、湯姆孫電子衍射實驗

P

U

D

K電子從燈絲K逸出后，經(jīng)過加速電壓為U的加速電場，再通過小孔D，成為一束很細的平行電子束，其能量約為數(shù)千電子伏。電子束穿過一多晶薄片M〔如鋁箔〕后，再射到照相底片P上，就獲得了如所示的衍射圖樣結(jié)論：不僅是電子，其他實物粒子，如質(zhì)子、中子、氦原子和氫分子等都已證實有衍射現(xiàn)象，都是具有波動性的。所以說，波動性乃是粒子自身固有的屬性，而德布羅意公式正是反映實物粒子波粒二象性的根本公式。從粒子的觀點來看，衍射圖樣的出現(xiàn)，是由于電子射到各處的概率不同而引起的，電子密集的地方概率很大，電子稀疏的地方概率那么很??；而從波動的觀點看，電子密集的地方表示波的強度大，電子稀疏的地方表示波的強度小。所以，某處附近電子出現(xiàn)的概率就反映了在該處德布羅意波的強度。德布羅意波的統(tǒng)計解釋德布羅意波是對微觀粒子的運動的統(tǒng)計描述。所以，絕不能把微觀粒子的波動性機械地理解為就是經(jīng)典物理中的波。13.2.3不確定關(guān)系顯然，我們無法準(zhǔn)確回答。因為對于具有二象性的微觀粒子，我們不能準(zhǔn)確地確定該電子通過狹縫時的坐標(biāo)。但該電子確實通過了狹縫，可以認(rèn)為電子在軸上的坐標(biāo)的不確定范圍內(nèi)。在同一瞬時，由于衍射的緣故，電子動量的大小雖未變化,但動量的方向有了改變。如果只考慮一級（即k=1）衍射圖樣，有由德布羅意公式可推得：則電子動量沿軸方向的分量的不確定范圍為設(shè)有一束電子沿軸射向屏寬為b的狹縫。于是，在照相底片可以觀察到如圖所示的衍射圖樣。如果我們?nèi)杂米鴺?biāo)x和動量p來描述這個電子的運動狀態(tài)，那么，一個電子通過狹縫的瞬時，它是從縫上哪一點通過的呢？也就是說，電子通過狹縫的瞬時，其坐標(biāo)x為多少？如果把衍射圖樣的次級也考慮在內(nèi)，上式應(yīng)改寫成：≥h——不確定關(guān)系這個關(guān)系明確指出：對微觀粒子來說，不能同時確定其位置和動量。并且對這種企圖給出了定量的界限，即坐標(biāo)不確定量和動量不確定量的乘積，不能小于作用量子h。13.2.4量子力學(xué)簡介一、波函數(shù)概率密度描述平面機械波的波函數(shù)為平面電磁波的波函數(shù)寫成復(fù)數(shù)形式它們在形式上是相同的〔平面機械波的波函數(shù)和平面電磁波的波函數(shù)只是它的實數(shù)局部〕。則對于動量為p、能量為E的粒子，如果不受外力場的作用（自由粒子），其能量和動量將是不變的。因而自由粒子的德布羅意波的波長和頻率也是不變的，可以認(rèn)為它是一平面單色波。如其波函數(shù)用表示，有或者波函數(shù)為復(fù)數(shù)，而波的強度應(yīng)為實正數(shù)，所以可用代替。（為的共軛復(fù)數(shù)，為粒子出現(xiàn)在某點附近單位體積元中概率，稱為概率密度）空間某處波函數(shù)的二次方跟粒子在該處出現(xiàn)的概率成正比。因此，德布羅意波也叫做概率波。即：粒子要么出現(xiàn)在空間的這個區(qū)域，要么出現(xiàn)在其他區(qū)域，所以某時刻在整個空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率應(yīng)為1。（歸一化條件）滿足上式的波函數(shù)，叫做歸一化波函數(shù)。二、薛定諤方程在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)是由波函數(shù)描述的，如果知道它所遵循的運動方程，由其起始狀態(tài)和能量，就可以求解粒子的狀態(tài)。設(shè)有一質(zhì)量為m、動量為p、能量為E的自由粒子，沿x軸運動，則其波函數(shù)為：將上式對x取二階偏導(dǎo)數(shù)，對t取一階偏導(dǎo)數(shù)，分別得當(dāng)自由粒子的速度較光速小得很多時，在非相對論范圍內(nèi)，自由粒子的動量與動能之間的關(guān)系為波函數(shù)的統(tǒng)計意義由上述關(guān)系可得：一維運動的自由粒子的含時薛定諤方程假設(shè)粒子在勢能為EP的勢場中運動，那么其能量為勢場中作一維運動的粒子的含時薛定諤方程有時候勢能Ep僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而與時間無關(guān)，那么可將波動方程寫為：其中由上述各式可得：勢場中一維運動粒子的定態(tài)薛定諤方程引入拉普拉斯算符，得：一般的定態(tài)薛定諤方程波函數(shù)要合理，還需要明確一些條件〔這些條件常稱為標(biāo)準(zhǔn)條件〕：（1）應(yīng)為有限值，可以歸一化；（2）以及、、應(yīng)連續(xù)；（3）應(yīng)為單值函數(shù)。三、一維勢阱問題這個被理想化了的勢能曲線叫做無限深的方形勢阱。因為粒子限于沿x軸方向運動，故這個勢阱為一維無限EP深的方形勢阱，簡稱一維方勢阱。上述邊界條件。粒子在勢阱中的勢能EP〔x〕與時間無關(guān)，且EP=0。因此，由一維定態(tài)薛定諤方程，得粒子在一維無限深方勢阱中的定態(tài)薛定諤方程為將代入，可得：，其通解（如圖）設(shè)想有一粒子處在勢能為EP的力場中,并沿x軸作一維運動。粒子的勢能Ep滿足下述邊界條件：（2）當(dāng)x≤0及x≥a時，EP→∞。（1）粒子在0<x<a范圍時，EP=0；A、B為兩個常數(shù)，可由邊界條件〔x=0時，〕求出?？傻脛葳逯辛Ｗ涌赡艿哪芰恐禐椋海ㄊ街衝為量子數(shù)，表明粒子的能量只能取離散的值）可以看到：一維無限深勢阱中粒子的能量是量子化的。四、對應(yīng)原理經(jīng)典物理的規(guī)律和量子物理的規(guī)律，無論從內(nèi)容上還是形式上，似乎毫無共同之處。其實并非如此，在某些極限的條件下，彼此可以趨于一致，也就是說，量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律，這就是量子物理的對應(yīng)原理。以一維無限深勢阱中的能量為例：由前面的結(jié)論可以得出，勢阱中兩相鄰能級之間的距離（即能級差）為它說明：相鄰能級之間的距離，隨量子數(shù)n的增加而增加，而且與粒子的質(zhì)量m和勢阱的寬度a有關(guān)。五、一維方勢壘隧道效應(yīng)如下圖的勢能分布為假設(shè)粒子處在x<0的區(qū)域內(nèi)，而且其能量E小于勢壘的高度，從經(jīng)典物理來看，粒子無法越過此高度進入x>0的區(qū)域，只能逗留在x<0的區(qū)域里，更不能穿過寬度為a的勢壘進入x>a的區(qū)域。即：粒子有一定的概率處于勢壘內(nèi)，甚至還有一定的概率能穿透〔注意，不是越過〕勢壘而進入x>a的區(qū)域。粒子的能量雖缺乏以超越勢壘，但在勢壘中似乎有一個“隧道〞，能使少量粒子穿過而進入x>a的區(qū)域。所以人們就形象地稱之為隧道效應(yīng)。量子力學(xué)的答案(x<0和x>a)(0≤x≤a)一維方勢壘略去具體的求解過程，直接給出各區(qū)域內(nèi)波函數(shù)，它表明，即使粒子的能量在E<Ep0的情況下，粒子在壘區(qū)（a≤x≤0）的波函數(shù)，甚至在壘后（x>a）區(qū)域的波函數(shù)，也都不為零。為x<0區(qū)域的波函數(shù),為0≤x≤a區(qū)域的波函數(shù),為x>a區(qū)域的波函數(shù)13.3應(yīng)用知識13.3.1半導(dǎo)體晶體中原子是有規(guī)那么地排列著的，原子間有著不同程度的相互作用。由于原子間的相互作用，使得鼓勵狀態(tài)時的原子能級發(fā)生分裂，從而形成能帶。如果使兩個A、B原子相互靠近，那么原子A上的電子除了要受原子A的核的作用外，還要受原子B的核的作用。同樣，原子B上的電子也要受原子A和B的核的作用。在原子間相互作用的影響下，原子的能級就不再保有單一的值，而是兩個相差無幾的值，即單一能級要分裂成兩個靠得很近的能級，而且兩原子靠得越近，能級分裂就越顯著。由于每個能級有個量子態(tài)，每個量子態(tài)容納的電子不能超過1個。每個能帶上N個分裂的能級能容納個電子。半導(dǎo)體和絕緣體都有禁帶，但禁帶的寬度是不同的。半導(dǎo)體的禁帶寬度比絕緣體要小得多。在通常情況下，絕緣體中的價帶被電子所填滿，沒有空著的能級，形成了滿帶，加之禁帶寬度又比較寬，因此在不十分強的外電場作用下，價帶中的電子難以躍遷到空帶上去。禁帶

—相鄰能帶之間不存在能級的區(qū)域滿帶—各能級均被電子所填滿的能帶叫做空帶—能帶中各能級沒有電子填入的能帶價帶—價電子的能級所分裂而成的能帶。（價帶可以是滿帶，也可以不是滿帶）兩個氫原子靠得很近時圖的能級分布六個氫原子彼此靠得很近時的能級分布對半導(dǎo)體來說，雖然其價帶亦為電子所填滿，但由于其禁帶的寬度比絕緣體小很多。在外界的熱激發(fā)、光激發(fā)的情況下，價帶中的電子較之絕緣體容易躍遷到空帶上去，在這種情況下，滿帶和導(dǎo)帶中的電子濃度分布都要發(fā)生變化，使半導(dǎo)體具有一定的導(dǎo)電性。13.3.2超導(dǎo)電性—某些物質(zhì)在低溫下出現(xiàn)的電阻為零和排斥磁力線的特性。具有超導(dǎo)電性的物體稱為超導(dǎo)體。超導(dǎo)體的兩個最主要的特征是零電阻特性和完全抗磁性。此外，還有和這兩個特征相關(guān)的臨界磁場、臨界電流等特征量1、零電阻率超導(dǎo)體的電阻率在目前的測量精度內(nèi)測不出來，其上限僅為，是室溫下銅的電阻率（1.67×10-8

m）的10-19，完全可視為零。曾經(jīng)