專題03 圓中的重要模型-四點(diǎn)共圓模型（解析版）

專題03圓中的重要模型-四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的常考知識點(diǎn)，近年來，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點(diǎn)共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運(yùn)算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點(diǎn)共圓的四種重要模型。四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。模型1、定點(diǎn)定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于定長點(diǎn)的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。例1、（2023?連云港期中）如圖，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數(shù)是．【分析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案為：140°．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·江西贛州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°【答案】C【分析】以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓．再根據(jù)圓周角定理及其推論逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】如圖，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓．由題意可知：OA=OB=OC=OD．即點(diǎn)A、B、C、D都在圓O上．A．由圖可知AB為經(jīng)過圓心O的直徑，根據(jù)圓周角定理推論可知．故A不符合題意．B．，所以根據(jù)圓周角定理可知．故B不符合題意．C．當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)AC不平分．故C符合題意．D．根據(jù)圓周角定理推論可知，．故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及其推論，充分理解圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為；若，則的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)條件，證明，從而推斷，進(jìn)一步通過角度等量，證明，代入推斷即可.（2）通過，可知四點(diǎn)共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明，代入推斷即可.【詳解】解：（1）∵，為的中點(diǎn)∴又∵平分∴又∵∴∴∴∴在與中,∴（2∵∴四點(diǎn)共圓，如下圖：∵∴又∵∴∵∴∴∴∴即∵∴∵∴∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識點(diǎn)，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·北京·清華附中九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，則的度數(shù)為______．【答案】36°【分析】根據(jù)題意可得三點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴三點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AC為直徑。例1．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，根據(jù)且為中點(diǎn)，求證是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中線，角平分線三線合一的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，求得，，于是得出結(jié)論．【詳解】連接，，如圖，

∵且為中點(diǎn)，∴，，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵∠，∴，，，四點(diǎn)共圓，∵，，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)接四邊形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形，求出線段．例2．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)．若，，則線段的長為．【答案】【分析】設(shè)交于點(diǎn)F，過C作，用求出，即求出BC的長，又因?yàn)?，從而求得AB．【詳解】如圖，設(shè)交于點(diǎn)F，過C作，在以為直徑的圓上，，在和中=，【點(diǎn)睛】本題考查了圓的直徑所對的圓周角為，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，本題能找到是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·浙江嘉興·二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E，EA平分∠BED．（1）CD的長是；（2）當(dāng)點(diǎn)F是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD的周長是．【答案】25+【分析】（1）延長DA，CB交于點(diǎn)H，由“ASA”可證≌，可得，由平行得相似，依據(jù)相似的性質(zhì)即可求解；（2）先證明A，D，C，E四點(diǎn)共圓，因?yàn)镕是AC中點(diǎn)，依據(jù)垂徑定理，得到DF是AC的中垂線，依據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得AD的長度，作于H，可證四邊形ABCH是矩形，依據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合線段長度，可得是的中垂線，由此可得AC的長度，在三角形ABC中，依據(jù)勾股定理可求得BC的長度，只需把各邊相加即可得到四邊形ABCD的周長.【詳解】解：（1）如圖1中，延長DA，CB交于點(diǎn)H，∵EA平分∠BED，∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°，∴△ADE≌△AHE（ASA）∴AH＝AD，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABH∽△DCH,∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，∴CD＝2，（2）如圖2中，作AH⊥CD于H，∵∠DAE＝∠DCE＝90°，∴A，D，C，E四點(diǎn)共圓，設(shè)圓心為O，則點(diǎn)O是線段DE的中點(diǎn)，又∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC，∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四邊形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1，∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，又∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2，∴，四邊形ABCD的周長為．故答案為：（1）2；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造中垂線、相似三角形、直角三角形，建立未知線段與已知線段之間等量的關(guān)系．例4．（2022·湖北武漢·?？级＃┤鐖D，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45°，連接CP．若AP＝2，求△APC的面積；【答案】（1）證明見解析；（2）①△APC的面積＝1；②．【分析】（1）由題意可證點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）通過證明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF＝1，即可求解；【詳解】證明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝，∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面積＝×AP×CF＝1；【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點(diǎn)共圓.例1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點(diǎn)共圓．【答案】（1）10°；（2）見解析【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和已知條件求得∠C的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度數(shù)；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC＝∠AED，由四點(diǎn)共圓的判定得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°證明（2）∵將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、外角定理以及四點(diǎn)共圓的判定，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．例2．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，直線BD、CE相交于點(diǎn)O，連接AO．則下列結(jié)論中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面積的最大值為8，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明即可判斷；②由①的結(jié)論可得，，進(jìn)而得到，即可判斷；③證明為等腰三角形即可判斷；④由題意直線BD、CE相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積最大，通過勾股定理計(jì)算求出最大值，進(jìn)而進(jìn)行判斷【詳解】①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，即故①正確②設(shè)相交于點(diǎn),如圖：由①，可得，又故②正確③，可知四點(diǎn)共圓，則即故③正確④設(shè)到的距離為，，以為底邊，當(dāng)最大時(shí)候，△AOC面積的才最大，由③可知是等腰三角，,當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)即當(dāng)時(shí)，最大即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，過作于點(diǎn)，如圖，由②可知由③可知,由①可知在中，，在中，,在中，故④不正確綜上所述：①②③正確，共計(jì)3個(gè)故選C【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形相似的性質(zhì)與判定，同弧所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，正確的作輔助線和熟練的幾何基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：(3)如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由【答案】(1)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；(2)45°；(3)①見解析②8【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過三點(diǎn)的圓解答即可；（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓、圓周角定理解答；（3）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，，，進(jìn)而得到，證明結(jié)論；②連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；（2）解：∵，∴點(diǎn)四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴，∵，∴，故答案為：45°；（3）①證明：∵，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對稱，∴，，∴＝，，∴，∴，∴A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②解：的值不會發(fā)生變化，理由如下：如圖4，連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對稱，∴，∴，∴，∵A，D，B，E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴A，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，正確理解四點(diǎn)共圓的條件是解題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，對角線平分，，且．

(1)證明：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意推出，從而得到、、、四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出結(jié)論即可；（2）首先根據(jù)已知信息求出，再結(jié)合四點(diǎn)共圓的結(jié)論，在中求解即可．【詳解】（1）證：∵，∴，∵，∴，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴；（2）解：∵，∴，∵，平分，∴，∴在中，，∵，∴，，∵、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓的證明、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及解直角三角形等，掌握圓當(dāng)中的重要結(jié)論，準(zhǔn)確求解直角三角形是解題關(guān)鍵．模型4、對角互補(bǔ)共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓.例1．（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)．(1)畫出．(2)直線與直線相交于點(diǎn)，證明：A，，，四點(diǎn)共圓．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）過點(diǎn)A作，且，過點(diǎn)A作，且，連接即可得到；（2）根據(jù)題意可得，證明，推算出，得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)可得到A，，，四點(diǎn)共圓．【詳解】（1）解：如下圖所示，過點(diǎn)A作，且，過點(diǎn)A作，且，連接即可得到；（2）證明：如下圖所示由題意可知逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到邊，，則，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．例2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，中，，平分，，連接，并延長分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，若，，則的長為（）A．10 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】由四點(diǎn)共圓，得到，再證明，得到與的比，延長到，使，得到為等邊三角形，在證明出，證出與，利用即可求出．【詳解】解：，，、、、四點(diǎn)共圓，平分，，，，，，，，如圖，延長到，使，，為等邊三角形，，，，設(shè)每一份為，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的應(yīng)用及相似比的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】連接并延長，利用四點(diǎn)共圓的判定定理得到，，，四點(diǎn)共圓，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，得到點(diǎn)的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接并延長，如圖，

，，，，，，，四點(diǎn)共圓，為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)的軌跡為的平分線上，垂線段最短，當(dāng)時(shí)，取最小值，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，圓周角定理，點(diǎn)的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點(diǎn)D的軌跡是解題的關(guān)鍵．例4．（2022春·浙江九年級課時(shí)練習(xí)）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，求證：，，，四點(diǎn)共圓；（3）若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，且，求的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）證明即可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形對角和為即可得出結(jié)論；（3）證明為等腰直角三角形，得出，然后得出，根據(jù)圓周角定理可得點(diǎn)在圓上，結(jié)論可得．【詳解】解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，∴，∴，∴，，，四點(diǎn)共圓；（3）∵，，∴為等腰直角三角形，∴，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，∵，，∴，∴點(diǎn)在圓上，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等知識，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣西·中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圓A上，∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，∵FB是⊙A的直徑，∴∠FDB=90°，∴BD==故選B2．（2023秋·河北張家口·九年級?？计谀┤鐖D①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓”．如圖②，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，則圖②中“四點(diǎn)共圓”的組數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)直角三角形公共斜邊時(shí)，四個(gè)頂點(diǎn)共圓，結(jié)合圖形求解可得．【詳解】解：如圖，以AH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、D、C），共6組．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓的判斷方法．解題的關(guān)鍵是明確有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．3．（2022秋·北京海淀·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接，．請寫出圖中任意一組互補(bǔ)的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)和字母）【答案】【分析】首先判斷出點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，且，∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴，，∴圖中互補(bǔ)的角為和，和，故答案為：，（或，）．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東·東莞市九年級期末）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且∠ADB＝30°，則CD的最小值是________【答案】##【分析】作AH⊥BC于H，證明△ACH為等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O(shè)為圓心，2為半徑作⊙O，根據(jù)∠ADB=30°，可得點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動，當(dāng)DB經(jīng)過圓心O時(shí)，CD最小，其最小值為⊙O的直徑減去BC的長．【詳解】解：如圖，作AH⊥BC于H，∵AB=2，AC=，∠ABC=60°，∴BH=AB=1，∴AH=，CH=，∴△ACH為等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，BC=CH+BH=+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O(shè)為圓心，2為半徑作⊙O，∵∠ADB=30°，∴點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動，當(dāng)DB經(jīng)過圓心O時(shí)，CD最小，最小值為4-（+1）=3-．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理．解題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動．5．（2022·廣西·九年級專題練習(xí)）如圖所示，，，則___．【答案】##36度【分析】先根據(jù)確定、、三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓上，再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可求解．【詳解】解：，、、三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓上．，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是確定、、三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓上．6．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖所示，，，求.【答案】30°.【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，然后由圓周角定理，證得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，繼而可得∠CAD=2∠BAC．【詳解】解：∵AB=AC=AD，∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=60°，∴∠CAD=2∠BAC=120°．∴∠BDC=30°.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理．注意得到B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上是解此題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，的中點(diǎn)為O．求證：A，B，C，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上．

【答案】見解析【分析】連接、，由直角三角形斜邊上的中線定理得，則可得出結(jié)論．【詳解】證明：連接，，

∵，AB的中點(diǎn)為O，∴，∴A，B，C，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心，長為半徑的圓上．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，圓的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點(diǎn)．(1)線段與有何關(guān)系．說明理由；(2)延長、交于點(diǎn)H，則B、D、G、H這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上．說明理由．【答案】(1)且，證明見解析(2)見解析【分析】（1）證明，證據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明相等且互相垂直；（2）證明，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得，，，四點(diǎn)到的距離相等，即可證得四點(diǎn)共圓．【詳解】（1）解：且．證明：、分別是、的中點(diǎn)，，，，又，，，，，在直角中，，，，；（2）連接．，，，，，在直角中，，，，，，，在以為圓心、長為半徑的圓上．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)為線段一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，連接和（）．

(1)如圖1，若，，點(diǎn)P是延長線一點(diǎn)，連接，若，，，求的長；(2)如圖2，，作于點(diǎn)交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，將沿翻折至，連接，請直接寫出面積的最大值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)易證，由，，易得，再根據(jù)勾股定理可得的長度；（2）延長，交于，作交延長線于，由題意可證，進(jìn)而可得，，可得，再可證，可得，進(jìn)而可證，可得，則可得，再可證，便可得證；（3）由題意可知，，，，，，由，利用同角的余角相等可知，連接，由（2）知，由三線合一可知，可得、、、四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可知，則可求得，連接，由翻折可知，，，則為的垂直平分線，可知，由，知是以為圓心，為半徑的圓，可知為的直徑，可知，進(jìn)而得證，則可知，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最大值，計(jì)算即得最大值．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵，，則由勾股定理可得：；（2）證明：延長，交于，作交延長線于，則，∵，∴，又∵，，∴，∴，，則，∴，∵，，，∴，∴，，即：，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）由可知，，則∴，∵，則，∴∵是中點(diǎn)，∴，則由勾股定理可得，連接，由（2）知，即為的中點(diǎn)，∴，故、、、四點(diǎn)共圓，∴，則，連接，由翻折可知，，，則為的垂直平分線，則，∵，∴是以為圓心，為半徑的圓，∴為的直徑，則，∴∴，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最大值，∴的最大值為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)及翻折的性質(zhì)，解直角三角形，四點(diǎn)共圓，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）如圖，以點(diǎn)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），，將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，得到．(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)請?jiān)趫D中畫出線段、，并判斷四邊形的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)動直線l從與重合的位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與重合時(shí)停止，設(shè)直線l與交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作于G，連接、．請問在旋轉(zhuǎn)過程中的大小是否變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請說明理由．【答案】(1)，(2)圖見解析，四邊形是矩形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3)在旋轉(zhuǎn)過程中的大小不變，始終等于【分析】（1）連接，結(jié)合題意，根據(jù)圓的對稱性，得；再根據(jù)勾股定理計(jì)算得，再根據(jù)圓的性質(zhì)，得，從而得到B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）結(jié)合題意，根據(jù)圓周角的性質(zhì)，得；再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，從而推導(dǎo)得出四邊形是矩形；過點(diǎn)M作交BC于點(diǎn)N，證明，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）結(jié)合題意，得；再結(jié)合點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)，得，從而推導(dǎo)得點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心、為半徑的圓上，故得；再根據(jù)，，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接．由題意知，是以點(diǎn)為圓心的圓的直徑，，，，，，，又，B在C的左側(cè)，，；（2）解：如圖，四邊形是矩形，以點(diǎn)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），是圓的直徑，，將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，，，，四邊形是矩形．過點(diǎn)M作交BC于點(diǎn)N．在和中，，，，，又，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（3）解：如圖，結(jié)合（2）的結(jié)論，四邊形是矩形，，，，，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，，點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心、QB為半徑的圓上，．，，，又，，四邊形是矩形，，，．在旋轉(zhuǎn)過程中的大小不變，始終等于．【點(diǎn)睛】本題屬于圓內(nèi)綜合題，考查圓的基本知識，垂徑定理，圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識，逐步推導(dǎo)論證．11．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E．設(shè)AB＝1．（1）求證：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；（2）分別求△ABC和△ABD的面積；（3）過點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求OE︰OF的比值．【答案】（1）見解析；（2）△ABC的面積為，△ABD的面積為；（3）【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案．(2)根據(jù)已知條件可計(jì)算出AC、BC、AD、BD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到,，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，解直角三角形得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖，連接OD、OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；（2）解：△ABC的面積為；△ABD的面積為（3）解：是等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)∵DF∥BC∵∴△DEF∽△CEB，∴又得．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)(兩組對應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊成比例)，三角形的面積的計(jì)算(三角形面積=底底邊上的高)，解直角三角形，正確的識別圖形是解的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）在邊長為12cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊DC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，連接AE、DF交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)E．F運(yùn)動時(shí)間為t秒．回答下列問題：(1)如圖1，當(dāng)t為多少時(shí)，EF的長等于cm?(2)如圖2，在點(diǎn)E、F運(yùn)動過程中，①求證：點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓(⊙O)上；②是否存在這樣的t值，使得問題①中的⊙O與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；③請直接寫出問題①中，圓心O的運(yùn)動的路徑長為_________．【答案】（1）t=4或8；（2）①證明見解析；②存在，t=3或12；③6cm．【分析】（1）由題意易得DE=CF=t，則有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；（2）①由題意易證△ADE≌△DCF，則有∠CDF=∠DAE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APF=90°，進(jìn)而可得∠B+∠APF=180°，則問題得證；②由題意可知當(dāng)⊙O與正方形ABCD的一邊相切時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行分類討論求解：一是當(dāng)圓與AD相切時(shí)，一是當(dāng)圓與邊DC相切時(shí)；③由動點(diǎn)E、F在特殊位置時(shí)得出圓心O的運(yùn)動軌跡，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：（1）由題意易得：DE=CF=t，四邊形ABCD是正方形，AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，EC=12-t，EF的長等于cm，在Rt△CEF中，，即解得；（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，△ADE≌△DCF，∠CDF=∠DAE，∠CDF+∠PDA=90°，∠DAE+∠PDA=90°，∠ADP=∠APF=90°，∠APF+∠B=180°，由四邊形APFB內(nèi)角和為360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓(⊙O)上；②由題意易得：當(dāng)⊙O與正方形ABCD的一邊相切時(shí)，只有兩種情況；a、當(dāng)⊙O與正方形ABCD的邊AD相切時(shí)，如圖所示：由題意可得AB為⊙O的直徑，t=12；b、當(dāng)⊙O與正方形ABCD的邊DC相切于點(diǎn)G時(shí)，連接OG并延長交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作OH⊥BC交BC于點(diǎn)H，連接OF，如圖所示：OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，四邊形OMBH、GOHC是矩形，OH=BM=GC，OG=HC，AB=BC=12cm，OH=6，CF=t，BF=12-t，，在Rt△FOH中，，即，解得：；綜上所述：當(dāng)或t=12時(shí)，⊙O與正方形ABCD的邊相切；③由（1）（2）可得：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合及點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，圓心在正方形的中心上；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合及點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，圓心在AB的中點(diǎn)上，故圓心的運(yùn)動軌跡為一條線段，如圖所示：OP即為圓心的運(yùn)動軌跡，即OP=6cm．故答案為6cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合，熟練掌握圓的性質(zhì)及切線定理解題的關(guān)鍵，注意運(yùn)用分類討論思想解決問題．13．（2021春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為，于點(diǎn)，直線與直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對稱；（2）連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂直及同弧所對圓周角相等性質(zhì)，可得，可證與全等，得到，進(jìn)一步即可證點(diǎn)和關(guān)于直線成軸對稱；（2）作出相應(yīng)輔助線如解析圖，可得與全等，利用全等三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵同弧所對圓周角相等，∴，∴，在與中，∴，∴，又，∴點(diǎn)和關(guān)于直線成軸對稱；（2）如圖，延長交于點(diǎn)，連接，，，，∵，，∴、、、四點(diǎn)共圓，、、、四點(diǎn)共圓，∴，，在與中，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，又，∴，∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)、三角形全等、成軸對稱、平行線性質(zhì)等，作出相應(yīng)輔助線及對各知識點(diǎn)的熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【問題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)，，作于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形對角線上時(shí)，線段的長度為；（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為．【答案】問題情境：見解析；問題解決：（1）；（2）【分析】[問題情境]連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，以此即可證明；[問題解決]（1）根據(jù)題意可得，由[問題情境]結(jié)論可知、、、四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理以及正方形的性質(zhì)可得，則為等腰直角三角形，設(shè)長為，則長為，根據(jù)勾股定理列出方程，求解即可；（2）由[問題情境]結(jié)論可知、、、四點(diǎn)共圓，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得四邊形為矩形，則要求的最小值，即求的最小值，根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義可得為的中位線，得，，同理可證四邊形為矩形，以此得到，，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得，以此即可求出的最小值，從而求得的最小值．【詳解】[問題情境]證明：如圖，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，，為的中點(diǎn)，，、、、四點(diǎn)共圓；[問題解決]（1）四邊形為正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，由[問題情境]結(jié)論可知，、、、四點(diǎn)共圓，如圖，，為正方形的對角線，，，為等腰直角三角形，設(shè)長為，則長為，，即，解得：，（不合題意，舍去），線段的長度為；故答案為：；（2）由[問題情境]結(jié)論可知，、、、四點(diǎn)