2023年廣東省仲元高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)f(x)滿足/(4)=17,設(shè)/(/)=%,則“口=17'，是“/=4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝中，“1+。2+廢=13,且為、42、”5成等比數(shù)列，則數(shù)列｛斯｝的公差等于()

A.1B.2C.3D.4

2\x<0…

3.已知函數(shù)/(%)=<,八，貝11/)

logx,x>03

311JJ

A.B.-C.-10g32D.10g32

4.如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為()

5.一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個頂點距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為()

A.1.叵31

B?-「M兀D.-

6464

6.已知復(fù)數(shù)z=a+i,aeR,若|z|二2,則。的值為()

A.1B.GC.±1D.±V3

7.等比數(shù)列｛《,｝中，4=：,。=2,則%與能的等比中項是()

8

11

A.±4B.4C.±-D.-

44

2

8.已知雙曲線X?§_v鼻=1([>0?>0)的兩條漸近線與拋物線,y2=2px,(p>0)的準(zhǔn)線分別交于點Z、B，。為坐

ab

標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為6,則p=().

3

A.1B.-C.2D.3

2

9.已知函數(shù)/(x)=|,一：—，則函數(shù)y=/(x-l)的圖象大致為()

ln(x+l)-x

10.某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為()

B.2C.3D.0

11.如圖，在正方體A3CO-A用GA中，已知七、F、G分別是線段4G上的點，且A￡=EF=FG=GG.則

下列直線與平面\BD平行的是()

A.CEB.CFC.CGD.CG

12.某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目

中必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)

科，則一名學(xué)生的不同選科組合有()

A.8種B.12種C.16種D.2()種

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)P、A、B、C、。是表面積為36〃的球的球面上五點，四邊形ABCD為正方形，則四棱錐P-ABCD體積

的最大值為.

14.某同學(xué)周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí)，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學(xué)

習(xí)，否則出去看電影，則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.

15.三棱錐S-ABC中，點P是用AABC斜邊A3上一點.給出下列四個命題：

①若SA1平面ABC,則三棱錐S-ABC的四個面都是直角三角形；

②若4C=4,BC=4,SC=4,SC，平面ABC,則三棱錐5-ABC的外接球體積為32岳；

③若AC=3,8C=4,SC=y/3,S在平面ABC上的射影是AABC內(nèi)心，則三棱錐5-ABC的體積為2；

④若4C=3,BC=4,弘=3,SA1平面ABC,則直線PS與平面SBC所成的最大角為60°.

其中正確命題的序號是.(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)

r22

16.已知平行于x軸的直線/與雙曲線C：於-v表■=1(。的兩條漸近線分別交于P,。兩點，。為坐標(biāo)原

點，若AOPQ為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在△ABC中，角4,B,C的對邊分別是a,b,c,gsin(A+B)=4sii?號.

(1)求cosC；

(2)若b=7,。是8c邊上的點，且AACD的面積為66，求sinNAOB.

18.（12分）設(shè)橢圓E:^4■夕（a,b>0）過M（2,、后），N（指,1）兩點，O為坐標(biāo)原點,

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且麗_L而？若存在，寫出該

圓的方程，若不存在說明理由.

19.（12分）如圖，在直三棱柱A'6'C'中，AC±AB,AA=45=AC=2,D,E分別為A8,8c的中點.

（1）證明：平面，平面AABB1;

（2）求點C'到平面BZ）E的距離.

20.（12分）已知x,y,z均為正數(shù).

（1）若盯VI,證明：|x+z|-|y+z|>4xyz；

xyz1

（2）若--------=一，求2盯?2>工2我的最小值.

x+y+z3

21.(12分)已知數(shù)列｛4｝和也｝滿足，4=2,4=1,a.=2a“(〃eN*),

4++…+=2+1T(〃eN").

23n''

(I)求生與”；

一-一，〃為奇數(shù)，

b,,b”g

（H）記數(shù)列｛c,｝的前〃項和為T?,且q,=<,若對〃GN”,25人恒成立，求正整數(shù)攵的值.

-工,〃為偶數(shù)，

an

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐

烏

+

=2

-2

標(biāo)方程為psiM0=2acos6（a>0）,過點P（—2,—4）的直線I的參數(shù)方程為<克（為參數(shù)），直線/與曲

-4+

=2

線C交于M,N兩點。

（1）寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：

（2）若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列，求。的值。

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：若%=4,貝?。?(%)=44)=17,即％=17成立，

若/(幻=/+1,則由/(%)=%=17,得與=±4,

貝！1"%=17”是，，5=4”的必要不充分條件，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由4+生+%=13,4,4,生成等比數(shù)列，列關(guān)于q，△的方程組，即求公差

【詳解】

設(shè)數(shù)列的公差為％。工0,

a}+。2+。5=13,/.3a}+5d=13①.

?.?q,4,%成等比數(shù)列，二(。1=4(q+4")②，

解①②可得。=2.

故選：B.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得/的值，再求得/fY的值.

【詳解】

依題意/忤1y=1嗚3個=-1,力圖卜（一捫2-冶.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.

【詳解】

如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的,

正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,

頂點0在平面AOAA上，高為2,

1Q

所以四棱錐的體積為±X4X2=2,

33

所以該幾何體的體積為8-?=學(xué).

33

故選:B.

【點睛】

本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

求出滿足條件的正ZVLBC的面積，再求出滿足條件的正AA3C內(nèi)的點到頂點A、B、C的距離均不小于2的圖形的

面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.

【詳解】

滿足條件的正ZVU3C如下圖所示：

其中正MBC的面積為S^BC=曰x42=46,

滿足到正AABC的頂點A、B、C的距離均不小于2的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，

陰影部分區(qū)域的面積為S=1x?x22=2乃.

則使取到的點到三個頂點A、B、。的距離都大于2的概率是P=1-斗=1-叵.

4V36

故選：A.

【點睛】

本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.

6.D

【解析】

由復(fù)數(shù)模的定義可得：\z\=4^+l=2,求解關(guān)于實數(shù)。的方程可得：a=±6.

本題選擇。選項.

7.A

【解析】

利用等比數(shù)列｛4,｝的性質(zhì)可得d=4的，即可得出.

【詳解】

設(shè)即與小的等比中項是x.

由等比數(shù)列｛““｝的性質(zhì)可得0；=%%，，％=±。6.

???與。8的等比中項X=±綜=±—x2‘=±4.

8

故選A.

【點睛】

本題考查了等比中項的求法，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

DMA-

試題分析：拋物線y2=2px,(p>0)的準(zhǔn)線為x=—《，雙曲線的離心率為2,貝(]62=>=1+勺=4,

26ra

3=6,漸近線方程為y=±6x,求出交點4一",也)

3=正°2=百，則，=2；選c

24

考點：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；

9.A

【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.

【詳解】

由于嗎卜房I

-2排除5選項；由于g(e)=」,g(e2)=/K

設(shè)g(x)=/(xT)=所

lnx-x+12—e'73-e

22

以g(e)>g(e2),排除C選項；由于當(dāng)Xf+8時，g(x)>0,排除。選項.故4選項正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.C

【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

其中AABC,ABCD,AADC為直角三角形.

二該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.

故選：C.

【點睛】

本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

連接AC,使AC交3。于點。，連接A。、CF,可證四邊形4。。尸為平行四邊形，可得4?！ā?，利用線面平

行的判定定理即可得解.

【詳解】

如圖，連接AC,使AC交BD于點0,連接A。、CF,則。為AC的中點，

在正方體ABC?！?4G2中，AA〃C&且AA=CG，則四邊形AAGC為平行四邊形，

.1.4G〃AC且4G=AC,

廠分別為AC、4G的中點，/〃。。且AF=。。，

所以，四邊形AOC/為平行四邊形，則Cf〃A。，

???CF<Z平面48。，40u平面ABD,因此，CF〃平面4B。.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題.

12.C

【解析】

分兩類進(jìn)行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有=12種組合；

若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有C：=4種組合；

因此共有12+4=16種組合.

故選C

【點睛】

本題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記其計數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

64

13.—

3

【解析】

根據(jù)球的表面積求得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為X,求得四棱錐ABC。的表達(dá)式，利用基本不等式

求得體積的最大值.

【詳解】

由已知可得球的半徑r=3,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為x,棱錐的高為〃=3+x,底面邊長為0x律二7，

尸一ABC。的體積V=；x2x（9--）（3+x）

P~13

=；（3+x）（3+x）（6-2x）＜；（3+X）+（3；）+（6-2X）=號，當(dāng)且僅當(dāng)％時等號成立.

64

故答案為：y

【點睛】

本小題主要考查球的表面積有關(guān)計算，考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.

I

14.-

4

【解析】

采用列舉法計算古典概型的概率.

【詳解】

拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）,

在家學(xué)習(xí)只有1種情況，即（正，正），故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為

4

故答案為：-

4

【點睛】

本題考查古典概型的概率計算，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.

15.①@③

【解析】

對①，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；

對②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結(jié)合外接球半徑公式即可求解；

對③，結(jié)合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對應(yīng)面積公式求出錐體的高，則可求解；

對④，由動點分析可知，當(dāng)P點與A點重合時，直線PS與平面SBC所成的角最大，結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯誤;

【詳解】

對于①，因為平面A8C,所以SA±AB,SA1BC,又8C_LAC,

所以8C_L平面弘C,所以8CLSC,故四個面都是直角三角形，...①正確；

對于②，若AC=4,BC=4,SC=4,SC,平面ABC,

二三棱錐S-ABC的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球,

A2R=742+42+42=473>/?=2百，，體積為V=g乃（26『=32百萬，.?.②正確;

對于③，設(shè)AABC內(nèi)心是。，則SO_L平面ABC,連接。C,

則有SO2+OC2=SC2，又內(nèi)切圓半徑r=；（3+4—5）=1,

所以0C=a，SO2=SC2-OC2=3-2=1，故50=1,

，三棱錐5-ABC的體積為V=-xSxSO=-x-x3x4x1=2，，③正確;

3MBC32

對于④，???若%=3,SA1平面ABC,則直線PS與平面SBC所成的角最大時，P點與A點重合,

3

在&ASC4中，tanZASC=-=l,/.ZA5C=45°,即直線PS與平面SBC所成的最大角為45°,

【點睛】

本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用，線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔

題

16.2

【解析】

根據(jù)'OPQ為等邊三角形建立a,b的關(guān)系式，從而可求離心率.

【詳解】

據(jù)題設(shè)分析知，ZPOQ=60。，所以上=tan60。，得b=6a，

a

所以雙曲線。的離心率e==&+3『=2.

aaa

【點睛】

本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立a*,c之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素

養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

m⑴1；⑵*

【解析】

cc

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式，將已知等式化為角上關(guān)系式，求出tan上,再由二倍角余弦公式，即可求解;

22

(2)在AAC。中，根據(jù)面積公式求出co長，根據(jù)余弦定理求出AO,由正弦定理求出

sinZADC,即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)百sin(A+B)=4sin2^-,2>/3sin^-cos^=4sin2%,

cC〃.cc百

0<—<—.sin—>0A,z.tan—==----，

22222

2C.C

萬萬cos---sin2—1—tan—1

廠2C.C?221

cosC=cos---sin2—=-----W-------W=-------W=一;

222c.?C、42c7

—cos——Hsin—1+tarr—

222

(2)在AACD中，由(1)得sinC=^8,

7

S9=gx7xC￡>x延=66,.?.0)=3，

由余弦定理得

AD2=Z?2+CD2-2Z?-CDcosC=49+9-2x7x3x1=52,

7

/.A￡>=2713.在小人。中，

746

ADAC./“/x〒—2回,

----------,..sinNADC=~=

sinCsinZADC----------------271313

2739

sinNADB=sinZADC=

13

【點睛】

本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.

X2V2228

18.(1)---F-—=1(2)x4-y=-

843

【解析】

試題分析：（1）因為橢圓E:=+[=l（a,b>0）過M（2,立）,N（痛,1）兩點,

ab~

42

-

2+F,11

^=1--=—?

所以|解得｛'：:所以｛",=8橢圓E的方程為上+上=1

61

-

2+F111〃=484

?=1—r=—

b24

（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且麗，麗，設(shè)該圓的切線方程

y=kx+m

2

為y=+解方程組｛/y得/+2(履+加)2=8,即(1+2女2)/+4如s+2病—8=o,

——+—=1

84

則△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8^2-ZM2+4)>0,BP8A:2-/n2+4>0

4km

2m2-8

k2(2m2-8)4k2M2根2一8女2

Xy=(AX1+m)(kx+m)=k2xx+km(x+%)+>-----+tn=-----—

22]2]1+2/1+2/1+2公

心2療-8)_4+“*86

yy=(fcVj+m)(kx4-m)=k2xx+km(x+x)+m2

x22]2[21+2左21+2/1+2公

要使礪J_麗，需使毛乂+JQ，=0,即絲=+,二0,所以3加2-8公—8=0,所以k2="二20又

l+2k~1+2/8

85一療+4>0,

由|“>2?2、8mn2瓜T276

所以｛,，所n|以加—3Pm>----或m<-----,

3m->8333

因為直線丫=履+機(jī)為圓心在原點的圓的一條切線，

1ml/=￡==8娓

所以圓的半徑為〃=1+公3療一83,r=—,

VI+A:21+^^3

o

所求的圓為f+y2=§,此時圓的切線丫=履+機(jī)都滿足機(jī)匹或根4-偵,

333

而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為x=±地與橢圓《+￡=1的兩個交點為（*5±芝5）或（_宜5，土巫）滿足

3843333

OALOB,

Q

綜上，存在圓心在原點的圓f+>2=§,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且麗J.礪.

考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓與橢圓的位置關(guān)系.

點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，往往要利用韋達(dá)定理.存在性問題，往往從假設(shè)存在出發(fā)，運

用題中條件探尋得到存在的是否條件具備.（2）小題解答中，集合韋達(dá)定理，應(yīng)用平面向量知識證明了圓的存在性.

19.（1）證明見解析；（2）迪.

5

【解析】

（1）通過證明面AA陽，即可由線面垂直推證面面垂直；

（2）根據(jù)A'C'//面3'DE,將問題轉(zhuǎn)化為求A'到面3Z花的距離，利用等體積法求點面距離即可.

【詳解】

（1）因為棱柱A5C—A'B'C'是直三棱柱，所以

又ACLAB,A'Ap\AB^A

所以AC上面AABB'

又。，E分別為43,BC的中點

所以。石〃AC

即?！阓1面44防'

又。石u面B'DE，所以平面B'DE±平面AABB1

（2）由（1）可知4C//AC//OE

所以AC//平面？

即點C到平面B'DE的距離等于點A'到平面B'DE的距離

設(shè)點A到面4的距離為〃

由（1）可知，

且在中，8'。=石，DE=1

S》DE=與易知S"D=2

由等體積公式可知~^E-A'B'D

即3DEX”=§^VA'B'DXDE

,1V51cI殂，475

由一x—h7=—x2xl得h=------

3235

所以C'到平面B'DE的距離等于述

5

【點睛】

本題考查由線面垂直推證面面垂直，涉及利用等體積法求點面距離，屬綜合中檔題.

20.(1)證明見解析；(2)最小值為1

【解析】

(1)利用基本不等式可得|x+z|?|y+z|22j^?22，^=4z2j^,再根據(jù)OVxyVl時，即可證明|x+z|?\y+z\>

4口z.

JtVZI|||

(2)由一--=-,得一+—+—=3,然后利用基本不等式即可得到盯+yz+x23,從而求出2孫h2立的最

x+y-^-z3yzxzxy

小值.

【詳解】

(1)證明：??"，j,z均為正數(shù)，

A|x+z|-\y+z\=(x+z)(j+z)>2A/XZ-2y[yz=4zy[xy,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時取等號.

又V0<xj<1,??.Azyjxy>4xyz,

|x+z|-[y+z|>4xyz；

xyz1111c

(2)-----:-----=—,即----1-------1------=3.

x+y+z3yzxzxy

\*yz4----??2yJ~yz—=2,

yzyz

xz4-----..2Jxz,-=29

xzxz

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=l時取等號,

Ill,

，xy+yz+xzH-----1------1----..o,

犯yzxz

AXJ+JZ+XZ>3,?'?2以2>'z-2xz=2x>,+yz+xz>\,

：.2X>-2>〃2★的最小值為1.

【點睛】

本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬中檔題.

21.(I)a“=2",b“=n；(H)1

【解析】

(I)易得｛4｝為等比數(shù)列，再利用前〃項和與通項的關(guān)系求解也｝的通項公式即可.

(n)由題可知要求T2I,的最小值,再分析T2n-r2n_2的正負(fù)即可得以隨〃的增大而增大再判定可知％=1即可.

【詳解】

(I)因為4H4=2。,,故｛4｝是以4=2為首項,2為公比的等比數(shù)列，故%=2".

又當(dāng)”=1時，4=%一1,解得包=2.

當(dāng)〃之2時,bx+—b2+-b3+---+—bn=2+]—1…①

23n

a+；仇+：&+…+」-jAT=2…②

2