2023屆安徽合肥壽春中學高考數(shù)學試題命題比賽模擬試卷三

2023屆安徽合肥壽春中學高考數(shù)學試題命題比賽模擬試卷（3）

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某個命題與自然數(shù)”有關(guān)，且已證得“假設(shè)〃時該命題成立，則〃=攵+1時該命題也成立”.現(xiàn)已知當

〃=7時，該命題不成立，那么（）

A.當〃=8時，該命題不成立B.當”=8時，該命題成立

C.當〃=6時，該命題不成立D.當〃=6時，該命題成立

2.歐拉公式為*=cosx+/sinx,（i虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，

建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e至表

示的復數(shù)位于復平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）

(31)(一)

4.已知復數(shù)2=（i為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（

A.z的虛部為4B.復數(shù)二在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限

C.z的共匏復數(shù)三=4一2,D.回=26

5.若函數(shù)/（尤）=0?+3/+。在*=1處取得極值2,則。一6

6.已知集合A={x|1<XW24},8==,,則6AB=(

y—x2+6x—5

A.{x|x>5)B.{x15<x<24)

C.{x|xWl或x25}D.{x15<x<24}

7.函數(shù)/■（尤）==_（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）

\-e'

8.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登

山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村

汽車登山線路，三人向其他旅友進行如下陳述：

甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；

乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；

丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；

事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是（）

A.甲走桃花峪登山線路B.乙走紅門盤道徒步線路

C.丙走桃花峪登山線路D.甲走天燭峰登山線路

9,若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝滿足%=34+2/,則公比4=（）

A.1B.2C.3D.4

10.已知集合4={-2,-1,0,1},B^{x\x2<a2,aeN*},若A=則。的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

（X—1）3xV]

II.已知函數(shù)={,若/3）>/S）,則下列不等關(guān)系正確的是（）

Inx,x>1

11

"?2+1</?2+1B.\[a>y/b

2

C.a2<ab.ln(〃+1)>ln,+1)

12.記〃個兩兩無交集的區(qū)間的并集為“階區(qū)間如（-8』U［2,3］為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)/（力=哂，則不等式

/江（力］+340的解集為（）

A.2階區(qū)間B.3階區(qū)間C.4階區(qū)間D.5階區(qū)間

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（力=/-4%-4.若/（%）＜1在區(qū)間（〃2-1,一2相）上恒成立.則實數(shù)機的取值范圍是.

14.如圖所示，平面BCGB」平面ABC,ZABC=120°,四邊形BCGBi為正方形，且AB=BC=2,則異面直線BG

與AC所成角的余弦值為.

/

15.若函數(shù)/（%）=/為奇函數(shù)，則。=.

16.點■是曲線y=31nx+%+攵（ZeR）圖象上的一個定點，過點外的切線方程為4x-y-1=0,則實數(shù)《的值

為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（%）=|%+1|-2|%—。］,4＞0.

（1）當。=1時，求不等式〃x）＞l的解集；

（2）若/（幻的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求。的取值范圍.

元2v21

18.（12分）已知橢圓。:=+々=1（。＞8＞0）的左頂點為4,左、右焦點分別為E,離心率為一，P是橢圓上

a-b~2

的一個動點（不與左、右頂點重合），且△尸耳鳥的周長為6,點P關(guān)于原點的對稱點為。，直線AP,Q&交于點M.

（1）求橢圓方程;

若直線與橢圓交于另一點,且△"訓，求點的坐標.

(2)PF2NS52M=4sP

19.(12分)如圖，已知四棱錐P-A3CD,P4_L平面ABC。，底面ABC。為矩形，AB=3,AP=4,E為PD的

中點，AE1PC.

(1)求線段AD的長.

(2)若M為線段3c上一點，且BM=1，求二面角M-PD-A的余弦值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x-〃?|-|x+2]不等式〃工一2)?0的解集為(-8,4].

(1)求加的值；

(2)若a>0,b>0>C>3,a+2b+c=2m,求(a+1)伍+l)(c-3)的最大值.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+a|+|x-1,

(1)當4=1,b=2,求不等式/(X)?6的解集；

(2)已知a>0,b>0,/'(%)的最小值為1,求證：-----+------>-.

''2<7+12b+l4

22.(10分)某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會(即滿200元可以抽獎一次，滿400

元可以抽獎兩次，依次類推).抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同

的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次

大(如1,2,5),則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次小(如5,3,1),則獲得二等獎，獎金

20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.

(1)某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學期望；

(2)趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為6()元的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

寫出命題“假設(shè)〃=人,eN")時該命題成立，則〃=左+1時該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真

假性一致進行判斷.

【詳解】

由逆否命題可知，命題“假設(shè)〃=左伏eN*)時該命題成立，則〃=攵+1時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當

n=k+l(keN*)時該命題不成立，則當〃=攵時該命題也不成立”，

由于當〃=7時，該命題不成立，則當〃=6時，該命題也不成立，故選：C.

【點睛】

本題考查逆否命題與原命題等價性的應用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價性進行判斷，考查

邏輯推理能力，屬于中等題.

2、A

【解析】

計算gLeos工+isin2=』+且i，得到答案.

3322

【詳解】

根據(jù)題意e',=cosx+isinx，故=cos工+isin工=，表示的復數(shù)在第一象限.

3322

故選：A.

【點睛】

本題考查了復數(shù)的計算，意在考查學生的計算能力和理解能力.

3、B

【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2

所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形，

所以該正三棱柱的側(cè)面積為3x2x2=12

故選：B

【點睛】

本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三

視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

利用i的周期性先將復數(shù)z化簡為z=T+2i即可得到答案.

【詳解】

4i+24i+24i+2

因為i2=_i，廣=1，i5=i，所以i的周期為4,故2=五而R=—v-=一=—4+2i,

11-1

故，的虛部為2,A錯誤；z在復平面內(nèi)對應的點為(T,2),在第二象限，B錯誤；z的共

物復數(shù)為三=T—2i，C錯誤；［z|=Je+22=2石,D正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查復數(shù)的四則運算，涉及到復數(shù)的虛部、共輯復數(shù)、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模等知識，是一道基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

"()=0

對函數(shù)/(x)求導，可得二、.,即可求出a,b，進而可求出答案.

J⑴=2

【詳解】

、，,"*l)=3a+6=0,

因為/(無)=0?+3%2+3所以/，(幻=3女2+6口則1：°,解得。=-2/=1,則。一匕=-3.

/⑴=4+3+。=2

故選:A.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的導數(shù)與極值，考查了學生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

首先求出集合8,再根據(jù)補集的定義計算可得；

【詳解】

V-%2+6x-5>0)解得1cx<5

B={x11<x<5},dAB={x|5<x<24}.

故選：D

【點睛】

本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

由題意得，函數(shù)點定義域為xeR且XHO,所以定義域關(guān)于原點對稱，

1+J

且/（一月二二:=-^=一!二=一/（幻，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，

l—e?__￡1—e

7

故選D.

8、D

【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線，由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的，再分情況討論即可.

【詳解】

若甲走的紅門盤道徒步線路，則乙，丙描述中的甲的去向均錯誤，又三人的陳述都只對一半，則乙丙的另外兩句話“丙走紅

門盤道徒步線路”，“乙走紅門盤道徒步線路”正確，與“三人走的線路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路''錯誤，“甲走天燭峰登山線路''正確.乙的話中

“甲走桃花峪登山線路”錯誤，“丙走紅門盤道徒步線路”正確.

綜上所述,甲走天燭峰登山線路，乙走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路

故選：D

【點睛】

本題主要考查了判斷與推理的問題，重點是找到三人中都提到的內(nèi)容進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題型.

9、C

【解析】

由正項等比數(shù)列滿足4=3q+2a2,即《/=34+249,又%R0,即/一2°-3=0,運算即可得解.

【詳解】

解：因為弓=3卬+24,所以=3。］+2qg,又。尸0,所以g?-2q-3=0,

又q>0,解得q=3.

故選：C.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

解出x2<分別代入選項中?的值進行驗證.

【詳解】

解：Vw",..「aWxWa.當“=1時,8={-1,0,1},此時A=8不成立.

當。=2時,8={-2,—1,0,1,2},此時AaB成立，符合題意.

故選:B.

【點睛】

本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.

11、B

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到。，匕的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

???/(X)在K上單調(diào)遞增，且/3)>/(加，.?.〃>〃.

???&口的符號無法判斷，故/與/，/與出，的大小不確定，

對A,當a=l,b=-1時，，二=一二，故A錯誤；

對C,當時，CT=l,ab=-l,故C錯誤；

對D,當a=l1=-1時，ln(a2+l)=ln(〃+l),故D錯誤；

對B,對a>6,則五>班,故5正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當x〉0且xwl時的導數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應

常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解

【詳解】

當x>0且xH1時，/'(力=黑孑.令/'(x)=()得x=e.可得/(力和/■(%)的變化情況如下表:

X%—>0(0,1)(l'e)e(e,+oo)

/'(X)/——0+

/(X)/(x)f0eA

令f(x)=f,則原不等式變?yōu)?-3,由圖像知的解集為&,-1)[/.?1),再次由圖像得到

/(x)€(-oo,fj_4,-1)匕,1)的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.

故選：D

【點睛】

本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應自變量范圍，導數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想,

屬于難題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

i3'H)

【解析】

首先解不等式〃X)<1,再由/(x)<l在區(qū)間(加―1,一2M上恒成立，即(帆-1,一2〃?)[(一1,5)得到不等組，解得即

可.

【詳解】

解：/(x)=f—4x—4且即M—4萬一4<1解得一l<x<5,BPXG(-1,5)

因為/(%)<1在區(qū)間(加一1,一2加)上恒成立,，(加一1,一2附口一1,5)

-1<m-1

...<加一1<一2加解得0<x<，即

-2m<5

故答案為：0,1j

【點睛】

本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題，屬于基礎(chǔ)題.

14、巫

4

【解析】

將AC平移到和BC,相交的位置，解三角形求得線線角的余弦值.

【詳解】

過B作3O//AC,過C作CD//A8,畫出圖像如下圖所示，由于四邊形ABCO是平行四邊形，故BO//AC,所

以NCfO是所求線線角或其補角.在三角形BCQ中，忸。=￡q=2及,80=26,故

cos"BD='反黑一8

2x272x2734

【點睛】

本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

15、-2

【解析】

由/(X)是定義在R上的奇函數(shù),可知對任意的x,/(-X)=-/(%)都成立，代入函數(shù)式可求得。的值.

【詳解】

由題意,“X)的定義域為R,f(X)=V+-^―=Y[1+

2+1I2+1J

/(x)是奇函數(shù)，則八一幻=一/(幻,即對任意的》,(一耳21+；^；=-/1+二?都成立，

V2+1JI2+1；

故1+生一整理得a+2=0,解得“=-2.

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、1

【解析】

求出導函數(shù)，由切線斜率為4即導數(shù)為4求出切點《橫坐標，再由切線方程得縱坐標后可求得女.

【詳解】

設(shè)《(x,y),

由題意y'=23+l,，3±+1=4,x=l,y=4xl—1=3,即4(1,3),

xx

.?.3=31nl+l+A,k=2.

故答案為：L

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點處的切線的斜率就是該點處導數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17>(I){x|-<x<2}(II)(2,+oo)

【解析】

試題分析：

(I)由題意零點分段即可確定不等式的解集為<x<21；

2,

(H)由題意可得面積函數(shù)為為1(。+1)9-,求解不等式§(。+1)一>6可得實數(shù)a的取值范圍為(2,+?)

試題解析：

(/)當a=l時，/(x)>l化為|x+l|-2卜一1|一1>0,

當xW-l時，不等式化為x—4>0,無解；

2

當—Ivxvl時，不等式化為3x—2>0,解得?<xvl；

當xNl時，不等式化為-x+2>0,解得1WX<2.

所以〃x)>l的解集為卜母。，.

x—1—2a,x<-1,

(II)由題設(shè)可得，〃x)=<3%+1—2。,一1<x<a,

-x+1+2a,x>a,

2〃1A

所以函數(shù)/(x)的圖像與X軸圍成的三角形的三個頂點分別為A——,0j,8(2a+l,0),C(a,a+1),

22

AABC的面積為§(a+l)"

20

由題設(shè)得g(a+l)->6,故a>2.

所以"的取值范圍為(2,+8)

、

x2y2fl3⑸JI3亞

18、(1)—+^-=1；(2)或廣

434J

【解析】

(1)根據(jù)△P6K的周長為2a+2c,結(jié)合離心率，求出“，c,即可求出方程;

(2)設(shè)P(，〃,“)，則Q(一加，-〃)，求出直線AM方程，若QF2斜率不存在，求出M,P,N坐標，直接驗證是否滿足題

意,若。鳥斜率存在，求出其方程，與直線AM方程聯(lián)立，求出點用坐標，根據(jù)和P,鳥,N三點

共線，將點N坐標用加，"表示，RN坐標代入橢圓方程，即可求解.

【詳解】

(1)因為橢圓的離心率為:，片的周長為6,

2。+2c=6,

c_1

設(shè)橢圓的焦距為2c,貝！|

a~2"

b2+c2^a2,

解得a=2,c=l,b-百,

r2v2

所以橢圓方程為土+二=1.

43

(2)設(shè)則V-+°=l,且Q

43

n

所以AP的方程為y=——(x+2)①.

777+2

若優(yōu)=-1,則QF2的方程為x=l②，由對稱性不妨令點P在x軸上方,

x=1,Z

(3，。一(9

則P-1,—,聯(lián)立①，②解得〈9即ML

I27y=291

3

尸入的方程為了=-；*-1),代入橢圓方程得

.9、

3小尸-1>=12,整理得7/-613=。，

1313_9_

了二-1或1=一，：,N

7T'一瓦

19…，

S—X—x|AF2I

產(chǎn)絲=于［--------=7*4,不符合條件.

s△他Nlx—x|AF,I

214

若相。一1,則QA的方程為y=—

-m-\

n

即y=(x-1)③.

m+1

"=3〃?+4，所以加(3機+4,3〃).

聯(lián)立①，③可解得

y=3n,

因為S/XAF2M=4s△伍可，設(shè)N(*N，Mv)

所以;x|AK岡加|=4xgx|A瑪岡外|,即|yM|=4|wh

又因為M,N位于x軸異側(cè)，所以曠囚二一日

因為P,g,N三點共線，即F2P應與"N共線,

3〃

F2P=(m-\,ri),F2N=(xN-1,-y)

7-3m

4

+爐=1,

3

2

所以(§—〃228回4a1山1、13>/5

I-nr--，解得m=~9所以〃=±-----9

924

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程以及應用、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想和計算求解能力，屬于較難題.

19、(1)AO的長為4(2)立

3

【解析】

(1)分別以A8,AP,4D所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)一盯z,

設(shè)A￡)=r,根據(jù)向量垂直關(guān)系計算得到答案.

(2)計算平面的法向量為〃=(1,1,1),AB=(3,0,0)為平面PD4的一個法向量，再計算向量夾角得到答案.

【詳解】

(1)分別以A8,AP,A。所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.

設(shè)AD=f,則A(0,0,0),E(0,2,3J,C(3,0/),P(0,4,0),

所以AE=[o,2,：),PC=(3,—4,f).,因為AELPC,所以AE-PC=()，

即16—尸=0,解得。=4,所以AO的長為4.

(2)因為BM=1，所以"(3,0,1),又尸(0,4,0),。(0,0,4),

故OP=(0,4,-4),OM=(3,0,-3).

n_LDP,[4_y—4z=0,

設(shè)"=(x,y,z)為平面DA在的法向量，貝！J即..八

n1DM,[3x-3z=0,

取z=l,解得y=l,x=l.

所以/7=(1,1,1)為平面OMP的一個法向量.

顯然，AB=(3,0,0)為平面PD4的一個法向量,

n-AB_3_V3

則cos〈〃,46〉

|〃||3a+1+1-3

a

據(jù)圖可知，二面角加一尸。-4的余弦值為

3

【點睛】

本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

20、(1)m=6(2)32

【解析】

(1)利用絕對值不等式的解法求出不等式的解集，得到關(guān)于機的方程，求出〃?的值即可；

⑵由(1)知m=6可得,a+M+c=12,利用三個正數(shù)的基本不等式a+b+c>3病:，構(gòu)造和是定值即可求出

(a+l)(Hl)(c-3)的最大值.

【詳解】

(1)V/(x)=|x-;n|-|x+2|,

/(x-2)=|x—z/7—2|—|x-2+2|,

所以不等式/(工一2)20的解集為(―,4],

即為不等式\x-m-2\-\x\>0的解集為(―，4],

區(qū)的解集為(-00,4],

即不等式(X—加-2)22/的解集為(-8,4],

化簡可得,不等式(〃?+2)(加+2-2力20的解集為(7,4],

所以‘"+2=4,即m=6.

2

(2)?:m=6,a+2b+c=\2.

又丁。〉。，b>0,c>3,

(a+l)(26+2)(c-3)

:.(tz+l)(/?+l)(c-3)=

2

1(。+1)+(2〃+2)+(。-3)_1(a+2b+cV_1(12Y_

司3J=2[J}=32

當且僅當。+1=抄+2=。-3,。+力+。=12等號成立，

即。=3,6=1,c=7時，等號成立，

.?.(a+l)(b+l)(c-3)的最大值為32.

【點睛】

本題主要考查含有兩個絕對值不等式的解法和三個正數(shù)的基本不等式a+b+c>3質(zhì)的靈活運用;其中利用

a+2b+c=12構(gòu)造出和為定值即(a+1)+(?-2)+(c-3)為定值是求解本題的關(guān)鍵;基本不等式a+b>2而取最值

的條件:一正二定三相等是本題的易錯點；

屬于中檔題.

x|xK-|或xN：1；(2)證明見解析

21>(1)

【解析】

⑴將“X)化簡，分類討論即可;

⑵由⑴得"X,=1+行4*1<罰1收4、“+1)+(2"1)],展開后再利用基本不等式即可.

【詳解】