第48講-兩個基本計數(shù)原理(解析版)

第48講兩個基本計數(shù)原理考情分析了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.知識梳理1.分類加法計數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法.則完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法，……，做第n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.[微點(diǎn)提醒]分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.1.分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.2.分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.經(jīng)典例題考點(diǎn)一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】(1)從甲地到乙地有三種方式可以到達(dá).每天有8班汽車、2班火車和2班飛機(jī).一天一人從甲地去乙地，共有________種不同的方法.(2)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為________.解析(1)分三類：一類是乘汽車有8種方法；一類是乘火車有2種方法；一類是乘飛機(jī)有2種方法，由分類加法計數(shù)原理知，共有8＋2＋2＝12(種)方法.(2)當(dāng)a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個數(shù)為4；當(dāng)a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個數(shù)為2.由分類加法計數(shù)原理可知，(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案(1)12(2)13規(guī)律方法分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(2)中易漏a＝0這一類.考點(diǎn)二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【例2】(1)用0，1，2，3，4，5可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________.(2)五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為________.五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有______種.解析(1)可分三步給百、十、個位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字有5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個位數(shù)字有4種放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，三位數(shù)的個數(shù)為5×5×4＝100.(2)五名學(xué)生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學(xué)生落實(shí)，每個學(xué)生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法.五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實(shí)，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性.答案(1)100(2)4554規(guī)律方法1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.考點(diǎn)三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】(1)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(用數(shù)字作答).(2)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是()A.48 B.18 C.24 D.36解析(1)當(dāng)不含偶數(shù)時，有Aeq\o\al(4,5)＝120(個)，當(dāng)含有一個偶數(shù)時，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝960(個)，所以這樣的四位數(shù)共有1080個.(2)在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共構(gòu)成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角面中，每個對角面有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”.答案(1)1080(2)D規(guī)律方法1.在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.(2)對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.2.解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.[方法技巧]1.應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類還是分步.在處理具體的應(yīng)用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么.選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏.2.(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).(2)分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).3.混合問題一般是先分類再分步.4.要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律.課時作業(yè)1．（2020·云南昆明一中高三其他（理））數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀.數(shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343，12521等.兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，3，……，99共9個，則在三位數(shù)的回文數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)是（）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】A【解析】由題意，若三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù)，則末（首）位可能為，，，.如果末（首）位為，中間一位數(shù)有種可能，同理可得，如果末（首）位為或或，中間一位數(shù)均有種可能，所以有個，2．（2020·廣東霞山·湛江二十一中高三月考）某中學(xué)新招聘了3位物理老師，他們將有兩人被安排到高一級任教6個不同的班別，其中每位老師教3個班，另一人被安排到高二年級，任教3個不同的班別，則不同的安排方法有（）A．6種 B．60種 C．120種 D．1200種【答案】B【解析】首先從3位老師中選出一位任教高二，余下兩個老師中，指定其中一個從6個班選3個來任教，所以不同的安排方法有：種.3．（2020·西夏·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（理））3個班分別從5個風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法有（）A．243 B．125 C．128 D．264【答案】B【解析】解：因?yàn)榈?個班有5種選法，第2個班有5種選法，第3個班有5種選法，所以由分步計數(shù)原理可得，不同的選法有種，4．（2020·山西運(yùn)城·高三其他（文））中國象棋中棋子“馬”的走法規(guī)則是走“日”字的對角線（圖中楚河漢界處的“日”字沒有畫出），如圖，馬從點(diǎn)處走出一步，只能到達(dá)點(diǎn)，，中的一處則馬從點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對方“帥”所在的處，最少需要的步數(shù)是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】解：由題意可知，按如圖所示的走法，需要6步即可點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對方“帥”所在的處，5．已知，則方程可表示不同的圓的個數(shù)為（）A．7 B．9 C．12 D．16【答案】C【解析】得到圓的方程分兩步：第一步：確定a有3種選法；第二步：確定b有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×4＝12（個）.6．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為（）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【解析】選女同學(xué)有3種選法，選男同學(xué)有2種選法，所以共有5種選法.7．（2020·北京理工大學(xué)附屬中學(xué)通州校區(qū)高二期中）高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學(xué)習(xí)，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）A．16種 B．18種 C．37種 D．48種【答案】C【解析】根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有種情況，其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有種方案；則符合條件的有種，8．（2020·全國高三（理））某一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學(xué)只會用綜合法證明，有3位同學(xué)只會用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學(xué)證明這個問題，不同的選法種數(shù)有（）種．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，解決問題分成兩個種類，一是可以用綜合法證明，有5種方法，一是可以用分析法來證明，有3種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有3+5＝8種結(jié)果，9．（2019·全國高二課時練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()A．18個 B．15個C．12個 D．9個【答案】B【解析】四位數(shù)之和為6的共有4種情況：（0、0、2、4）,（0、1、2、3），（1、1、2、2），（0、2、2、2）．?dāng)?shù)字為0、0、2、4且首位為2的六合數(shù)有：2004,2040,2400，共3個；同理：數(shù)字為0、1、2、3且首位為2的六合數(shù)有六個；數(shù)字為1、1、2、2且首位為2的六合數(shù)有3個；數(shù)字為0、2、2、2且首位為2的六合數(shù)有3個．所以共有15個．10．某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵10000個號碼中不含4、7的有84=4096，∴“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為10000-4096=5904，故選C．11．（2020·黑龍江薩爾圖·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理））甲、乙、丙、丁四個人去旅游，可供選擇的景點(diǎn)有3個，每人只能選擇一個景點(diǎn)且甲、乙不能同去一個景點(diǎn)，則不同的選擇方案的種數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】每人只能選擇一個景點(diǎn)且甲、乙不能同去一個景點(diǎn)，甲有3種，乙有兩種，丙、丁各有3種，共54種．故選A12．（2020·江蘇省豐縣中學(xué)高二期中）將4個不同的文件發(fā)往3個不同的郵箱地址，則不同的方法種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】每一個文件都有三種不同的發(fā)法，共有34種不同方法.13．（2020·江蘇連云港·高二期末）若4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)興趣小組，每人選報1項，則不同的報名方式有（）A．34種 B．43種 C．種 D．種【答案】A【解析】4名學(xué)生，每人有三種可選方案，根據(jù)分步計數(shù)原理，4人共有34種方法.故選：A.14．（2020·福建福州·高三其他（理））數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲．如圖是數(shù)獨(dú)的一個簡化版，由3行3列9個單元格構(gòu)成．玩該游戲時，需要將數(shù)字（各3個）全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一行、每一列均有這三個數(shù)字，則不同的填法有（）A．12種 B．24種C．72種 D．216種【答案】A【解析】先填第一行，有種不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當(dāng)該單元格填好后，其它單元格唯一確定．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的填法．15．（2020·湖北宜昌·高三二模（理））四色猜想又稱四色問題、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.四色定理的內(nèi)容是“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色.”如圖，一矩形地圖被分割成了五塊，小剛打算對該地圖的五個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇（4種顏色不一定用完），滿足四色定理的不同的涂色種數(shù)為（）A．96 B．72 C．108 D．144【答案】D【解析】如圖，把五塊區(qū)域編號，第一步涂有4種可能，第二步涂有3種可能，第三步，又分類：按同色有種，不同色有種，共有方法數(shù)為．故選：D．16．（2020·浙江高三月考）從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，從1，3，5中任取2個數(shù)字，一共可以組成_____個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).【答案】198【解析】當(dāng)用0時，0只能在個位，十位，百位三個位置之一.當(dāng)個位為0時，從2,4,6中再取1個數(shù)字(3種方法），從1,3,5中任取2個數(shù)字（即排除1個，有3種不同的方法），將這取得的3個數(shù)字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3×3×6=54種方法；當(dāng)十位或百位為0時（2種不同方法），從2,4,6中再取1個數(shù)字放置在個位(3種方法），然后從1,3,5中任取2個數(shù)字（即排除1個，有3種不同的方法），在其余兩位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有2×3×3×2=36種方法；當(dāng)沒有用0時，從2，4，6中任取1個數(shù)字放置在個位(有3中不同的方法）；在從其余的2個非零偶數(shù)字中任取一個數(shù)字(2種不同方法），從1，3，5中任取2個數(shù)字（有3種不同方法)，將這3個數(shù)字在除個位之外的十百千3個位置上任意排列(有3!=6種不同的方法），由分步乘法計數(shù)原理方法數(shù)為3×2×3×6=108種．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共有沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)54+36+108=198個，故答案為：198.17．（2020·陜西新城·西安中學(xué)高三月考（理））汽車上有5名乘客，沿途有3個車站，每人在3個車站中隨機(jī)任選一個下車，直到乘客全部下車，不同的下站方法有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】243【解析】因?yàn)槊课怀丝涂梢栽谌我獾能囌鞠萝嚕悦课怀丝拖萝嚨那闆r有3種，所以5名乘客下客站的方法有種．18．（2020·浙江高三其他）現(xiàn)有三個完全相同的骰子，每個骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6.若同時擲這三個骰子，則三個骰子朝上一面的數(shù)字之和為3的倍數(shù)的情況有_________種.【答案】20【解析】根據(jù)被3除后的余