2024年浙江省溫州市示范名校數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024年浙江省溫州市示范名校數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將一塊邊長(zhǎng)為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．122．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位3．已知，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．函數(shù)且的圖象是（）A． B．C． D．5．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為()A． B．C． D．6．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．7．要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，只需將的圖像（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍8．已知類(lèi)產(chǎn)品共兩件，類(lèi)產(chǎn)品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分開(kāi)來(lái)，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件類(lèi)產(chǎn)品或者檢測(cè)出3件類(lèi)產(chǎn)品時(shí)，檢測(cè)結(jié)束，則第一次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率為（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A． B．1 C． D．i10．已知平面向量，，，則實(shí)數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．11．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)斜率為，則______．14．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，則的離心率為_(kāi)_________.15．已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A，B，AB=42，球心為O，若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足二面角C-AB-O的大小為60°16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓.已知過(guò)原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線(xiàn)和，其中與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn).若，則直線(xiàn)的斜率為_(kāi)____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，求四面體的體積.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）的角的對(duì)邊分別為且，，求邊上的高的最大值.19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明.20．（12分）已知橢圓（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，、、為橢圓上不同的三點(diǎn)，且滿(mǎn)足，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)、的斜率都存在，求證：為定值；（2）求的取值范圍．21．（12分）已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點(diǎn)，且，求的值.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，并證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.2、D【解析】，所以要的函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到，故選D3、D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最??；而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.4、B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除C，D.又，，在必有零點(diǎn)，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.5、A【解析】

將雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)整理即得漸近線(xiàn)方程.【詳解】雙曲線(xiàn)得，則其漸近線(xiàn)方程為，整理得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.6、A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以，故可排除B，C；當(dāng)時(shí)，，故可排除D．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．7、D【解析】

先求得，再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識(shí)，選出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以由向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍得到的圖像.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查誘導(dǎo)公式，考查三角函數(shù)圖像變換，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】類(lèi)產(chǎn)品共兩件，類(lèi)產(chǎn)品共三件，則第一次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率為；不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率為；故第一次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類(lèi)產(chǎn)品的概率為；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得，則答案可求.【詳解】解：∵，∴，，則化為，∴z的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.11、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將與對(duì)比，即可求出結(jié)論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對(duì)比，屬于基礎(chǔ)題..12、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；B：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說(shuō)法正確；D：當(dāng)時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說(shuō)法不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)圖象在（0，f（0））處切線(xiàn)的斜率為﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得，∵函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處切線(xiàn)的斜率為﹣4，，.故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線(xiàn)上在某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率求參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

設(shè)，，，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長(zhǎng)為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【詳解】解：由已知，的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，設(shè)，，，而，根據(jù)勾股定理有：，解得：，由橢圓定義知：的周長(zhǎng)為，有，，在直角中，由勾股定理，，即：，∴離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.15、4【解析】

設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，可求出OD,?O1D及OO1，然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線(xiàn)OO1上，在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60o＝O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等，所以，四面體OABC外接球的球心E在直線(xiàn)OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題．16、【解析】

設(shè)：，：，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，列出式子，求出的值即可.【詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設(shè)直線(xiàn)：，則：，圓心到直線(xiàn)的距離為，，.圓心到直線(xiàn)的距離為半徑，即，并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用，可列式得到，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用，并結(jié)合圓的方程，垂徑定理的基本知識(shí)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用全等三角形證得，由此證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，結(jié)合錐體體積公式，求得四面體的體積.【詳解】（1）證明:如圖，取中點(diǎn)，連接，由則，則，故故，平面.又平面，故平面平面（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，且.在中，，由勾股定理易知故四面體的體積【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查錐體體積計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）.（2）【解析】

（1）由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論.（2）由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值，可得邊上的高的最大值.【詳解】解：（1）∵函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，.（2）中，，∴.由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最大值為3.再根據(jù)，故當(dāng)取得最大值3時(shí)，取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查降冪公式、兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，所用公式較多，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙忸}關(guān)鍵，本題屬于中檔題．19、（1）若，則在定義域內(nèi)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1），分，討論即可；（2）由題可得到，故只需證，，即，采用換元法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.【詳解】由已知，，若，則在定義域內(nèi)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意，對(duì)求導(dǎo)可得從而，是的兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因此下證：，即證令，即證：，對(duì)求導(dǎo)可得，，，因?yàn)楣剩栽谏蠁握{(diào)遞減，而，從而所以在單調(diào)遞增，所以，即于是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式，考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，是一道有一定難度的壓軸題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）首先根據(jù)題中條件求出橢圓方程，設(shè)、、點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)利用坐標(biāo)表示出即可得證；（2）設(shè)直線(xiàn)方程，再與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示出，即可求出范圍.【詳解】（1）依題有，所以橢圓方程為．設(shè)，，，由為的重心，；又因?yàn)?，，，，?）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)：，，，代入橢圓得，，，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)：設(shè)直線(xiàn)為，這里，由，，根據(jù)韋達(dá)定理有，，，故，代入橢圓方程有，又因?yàn)椋C上，的范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的求解，三角形重心的坐標(biāo)關(guān)系，直線(xiàn)與橢圓所交弦長(zhǎng)，屬于一般題.21、（1），（2）0【解析】

（1）分別把兩曲線(xiàn)參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程；（2）把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入的普通方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解．【詳解】（1）由曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得；由曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得，即．（2）把為參數(shù)）代入，得．，．．解得：，即，滿(mǎn)足△．．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，特別是直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．22、（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出，對(duì)分類(lèi)討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得出有兩解時(shí)的范圍，以及關(guān)系，將，等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對(duì)