專(zhuān)題9.7解析幾何中的定值定點(diǎn)和定線問(wèn)題

專(zhuān)題9.7解析幾何中的定值、定點(diǎn)和定線問(wèn)題【核心素養(yǎng)】通過(guò)考查解析幾何中的定值、定點(diǎn)和定線問(wèn)題，以及圓錐曲線與其它知識(shí)的交匯，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一定值問(wèn)題1.定義：定值問(wèn)題是指雖然圓錐曲線中的某些要素（通?？赏ㄟ^(guò)變量進(jìn)行體現(xiàn)）有所變化，但在變化過(guò)程中，某個(gè)量的值保持不變即為定值.(1)求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡(jiǎn)即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；(3)求某線段長(zhǎng)度為定值：利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得．3.常見(jiàn)定值問(wèn)題的處理方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).4.定值問(wèn)題的處理技巧：（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向.（2）在運(yùn)算過(guò)程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二定點(diǎn)問(wèn)題1.求解圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題的兩種思路：(1)特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).(2)直接推理法：①選擇一個(gè)參數(shù)建立直線系方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常量當(dāng)成變量，將變量x，y當(dāng)成常量，將原方程轉(zhuǎn)化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒(méi)有關(guān)系(即直線系方程對(duì)任意參數(shù)都成立)，得到方程組；③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過(guò)的定點(diǎn)，若定點(diǎn)具備一定的限制條件，則可以特殊解決.2.求解圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題的方法（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為）（2）利用條件找到與過(guò)定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無(wú)論的值如何變化，等式恒成立.此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至易于找到.常見(jiàn)的變形方向如下：①若等式的形式為整式，則考慮將含的項(xiàng)歸在一組，變形為“”的形式，從而只需要先讓括號(hào)內(nèi)的部分為零即可②若等式為含的分式，的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無(wú)關(guān)；或者考慮讓分子分母消去的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過(guò)分離常數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）3.一些技巧與注意事項(xiàng)：（1）面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，可從特殊情況入手，以確定可能的定點(diǎn)（或定直線）.然后再驗(yàn)證該點(diǎn)（或該直線）對(duì)一般情況是否符合.屬于“先猜再證”.（2）有些題目所求與定值無(wú)關(guān)，但是在條件中會(huì)隱藏定點(diǎn)，且該定點(diǎn)通常是解題的關(guān)鍵條件.所以當(dāng)遇到含參數(shù)的方程時(shí)，要清楚該方程為一類(lèi)曲線（或直線），從而觀察這一類(lèi)曲線是否過(guò)定點(diǎn).尤其在含參數(shù)的直線方程中，要能夠找到定點(diǎn)，抓住關(guān)鍵條件.例如：直線，就應(yīng)該能夠意識(shí)到，進(jìn)而直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn).知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三定直線問(wèn)題探求圓錐曲線中的定直線問(wèn)題的兩種方法：方法一是參數(shù)法，即先利用題設(shè)條件探求出動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)(包含參數(shù))，再消去參數(shù)，即得動(dòng)點(diǎn)T在定直線上；方法二是相關(guān)點(diǎn)法，即先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題設(shè)條件得到已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)，再將動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)代入已知的曲線方程，即得動(dòng)點(diǎn)T在定直線上．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四圓錐曲線綜合問(wèn)題處理策略解析幾何研究的問(wèn)題是幾何問(wèn)題，研究的方法是代數(shù)法(坐標(biāo)法)．因此，求解解析幾何問(wèn)題最大的思維難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化，即幾何條件代數(shù)化．在幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題后，為避免運(yùn)算量、計(jì)算繁瑣問(wèn)題，可注意以下幾種常用策略：1.借助“定義”，化繁為簡(jiǎn)；2.設(shè)而不求，巧搭“跳板”；3.借用參數(shù)，變更“主元”；4.形形“相惜”，向量助攻；5.“韋達(dá)”助力，事半功倍.?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題【典例分析】例11．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)椋瑒t直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).例12.（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，則在軸上一定存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，試求出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓的定義可求得的值，結(jié)合橢圓的離心率可求得的值，可求出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線直線與橢圓的方程聯(lián)立，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線與直線聯(lián)立即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，即可知，對(duì)等式變形可求得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）解：由橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為，即，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以，，故橢圓的方程為：.（2）解：聯(lián)立可得，因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，，所以，，此時(shí)，，故點(diǎn)，由可得，即點(diǎn)，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，設(shè)，則，且，，所以，，整理得對(duì)任意實(shí)數(shù)、恒成立，則，故在軸上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).【總結(jié)提升】1.動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)思路（1）設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(－m,0)．（2）設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)；2.動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】變式11．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.變式12.（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，再過(guò)作直線，證明：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓的方程，再由橢圓的離心率為，求得的值，即可求解；（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得，結(jié)合，得到，得出直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得到直線為軸，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，可得，解得，又因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，可設(shè)，且，①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為軸，也過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn).題型二：橢圓中的定值問(wèn)題【典例分析】例21.（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長(zhǎng)度的比值.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(Ⅱ)[方法一]：設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且，注意到，，而，故.從而.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何含義法①當(dāng)直線l與x軸重合，不妨設(shè)，由平面幾何知識(shí)得，所以．②當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線，由題意，直線l不過(guò)和點(diǎn)，所以．設(shè)，聯(lián)立得．由題意知，所以．且．由題意知直線的斜率存在．．當(dāng)時(shí)，．同理，．所以．因?yàn)?，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一直接設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程消去y，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解；方法二先對(duì)斜率為零的情況進(jìn)行特例研究，在斜率不為零的情況下設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程消去x，直接利用韋達(dá)定理求得P,Q的縱坐標(biāo)，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，應(yīng)為最優(yōu)解法.例22.（2023秋·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓過(guò)，直線與橢圓交于、.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分析可得，可得出，則橢圓的方程可表示為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)直角三角形為等腰直角三角形，腰長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為，則，可得，所以，，所以，橢圓的方程可表示為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，解得，顯然，否則直線過(guò)點(diǎn)，由韋達(dá)定理可得，，所以，，因此，.【總結(jié)提升】1.定值問(wèn)題一般有兩種類(lèi)型，一是所求為定值；二是證明某式為定值；2.求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．【變式訓(xùn)練】變式21.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過(guò)定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)椋?，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過(guò)A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡(jiǎn)得，即．故直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因?yàn)?，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因?yàn)?，所以，即或．?dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過(guò)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過(guò)．綜上，直線恒過(guò)，所以．又因?yàn)?，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取線段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)題目條件可知直線過(guò)定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識(shí)可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；方法二：通過(guò)坐標(biāo)系平移，將原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線的方程為，再通過(guò)與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線過(guò)定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；方法三：設(shè)直線，再利用過(guò)點(diǎn)的曲線系，根據(jù)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過(guò)定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；方法四：同方法一，只不過(guò)中間運(yùn)算時(shí)采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡(jiǎn)化了求解以及的計(jì)算．變式22.（2023秋·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的離心率；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為A，求直線與直線的斜率之積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知得到，從而求出離心率；（2）分直線斜率存在與不存在，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立直接求出的坐標(biāo)，從而求出結(jié)果；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）由于橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以橢圓的離心率.（2）由（1）可知橢圓方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立可求得（不妨設(shè)M在第一象限），又，所以，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去得，，由韋達(dá)定理得，所以.綜上，直線與直線的斜率之積為.題型三：橢圓中的定直線問(wèn)題【典例分析】例31.（安徽·高考真題（理））設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上（Ⅰ）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸與點(diǎn)，并且，證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，得，而，所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，直線的直線方程為，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)坐標(biāo)，由題意得即解得又點(diǎn)在曲線上，，解得則點(diǎn)在定直線.例32（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓右焦點(diǎn)分別為，是上一點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，的面積為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線，且交于點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn).證明：①直線與的斜率乘積為定值；②點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)為，根據(jù)，解得；點(diǎn)在曲線上，可得，解得，，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①設(shè)，，直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，，利用斜率計(jì)算公式、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出為定值．②直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線方程，，化簡(jiǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得為定值．【詳解】（1）設(shè)為，，則，即，又點(diǎn)在曲線上，∴，將代入，整理得，，解得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①設(shè)，，直線方程為：，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，當(dāng)，即且時(shí)，，，∴，，∴，.②直線方程為：，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線方程得，∴，，∴.∴，即點(diǎn)在定直線上.【變式訓(xùn)練】變式31.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)在某條定直線上．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】解法一：設(shè)，即，，設(shè)，，，由于，，又，兩式相減得③①②式代入③式，④又由于，，⑤⑥式代入④式，，即點(diǎn)在定直線上．解法二：設(shè)，即，，設(shè)，，，則，于是有由點(diǎn)在橢圓上，則于是有，即，故點(diǎn)在定直線上．變式32.（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮阎獧E圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)，，，，設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，再結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可求出關(guān)于的方程，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因?yàn)椋越獾?，．所以所求橢圓的方程為（2）設(shè)，，，，直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則的方程為．因?yàn)?，，，四點(diǎn)共線，不妨設(shè)，則，，，，由，可得，化簡(jiǎn)得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達(dá)定理，得，．代入（*）化簡(jiǎn)得，即．又，代入上式，得，化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)總在一條定直線上．題型四：雙曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題【典例分析】例41.（2023秋·江蘇連云港·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)，為C的左，右頂點(diǎn)．P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．(1)求C的方程；(2)證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，求得，即可得到C的方程；（2）根據(jù)題意，分別得到的坐標(biāo)，然后分直線的斜率存在以及不存在分別討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線方程為，左焦點(diǎn)為，則，離心率為，則，則，，則C的方程為.（2）

因?yàn)辄c(diǎn)，為C的左，右頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以，設(shè)，，則直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，消去可得，方程兩根為，由韋達(dá)定理可得，所以，，即；設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，消去可得，方程兩根為，由韋達(dá)定理可得，則，，即；由對(duì)稱(chēng)性可知，若直線過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)在軸上，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，可得，此時(shí)，，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，所以三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).綜上，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).例42.（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，C的一條漸近線斜率為，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上.(1)若直線l過(guò)C的右焦點(diǎn)，且斜率為，求的面積；(2)設(shè)P，Q為雙曲線C上異于點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線MP，MQ的斜率分別為，，若，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率公式，結(jié)合雙曲線焦距定義求出雙曲線的方程聯(lián)立進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）如圖：因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，即.又因?yàn)镃的一條漸近線斜率為，所以，所以，故雙曲線.則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€l過(guò)C的右焦點(diǎn)，且斜率為，所以直線l的方程為：，設(shè)，.聯(lián)立得：，所以由韋達(dá)定理得：，.所以，點(diǎn)到直線l的距離為：.所以.（2）證明：如圖設(shè)直線PQ的方程為：，設(shè)，.聯(lián)立得：.，即所以：，.而，則，.因?yàn)?，所以整理的：，所以，所以：，所以，整理得：，代入韋達(dá)定理得：，所以，整理得：，即，則或.當(dāng)時(shí)，直線線PQ的方程為：，所以過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線線PQ的方程為：，所以過(guò)定點(diǎn).即為，因?yàn)镻，Q為雙曲線C上異于點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，所以不符合題意.故直線PQ過(guò)的定點(diǎn)為.【變式訓(xùn)練】變式41.（2023秋·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，左焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程求，由此可得雙曲線方程；（2）設(shè)，分別聯(lián)立直線，與雙曲線方程，結(jié)合關(guān)于系數(shù)關(guān)系求點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式表示直線的方程，再證明直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，由已知，故，即，所以漸近線方程為．又到雙曲線的漸近線的距離為，則，所以．所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)，若，則，故，直線的方程為，若，設(shè)直線的方程為，直線的方程與雙曲線聯(lián)立，．又，則所以，即．同理，則，則直線方程為，令，則，即所以直線過(guò)定點(diǎn)．變式42．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的離心率為2，在C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l與C相交于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線上過(guò)的點(diǎn)及離心率列出方程組，求出雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，分斜率不存在和斜率存在兩種情況，特別是當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)題干中條件，列出方程，找到和的關(guān)系，求出過(guò)的定點(diǎn)，記得檢驗(yàn)是否滿足斜率不存在的情況.【詳解】（1）由已知得：，則，又因?yàn)樵贑上，則，解得，，所以雙曲線C的方程為.（2）若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立方程，消去y得，由已知，則，且，可得，，又因?yàn)?，由可得：，整理得：，則，可得，則，由已知l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，所以，即，可得l：，過(guò)定點(diǎn)；若直線l的斜率不存在，設(shè)，，可得，由可得：，又因?yàn)?，解得，滿足條件，綜上所述：故直線l過(guò)定點(diǎn).題型五：雙曲線中的定值問(wèn)題【典例分析】例51.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P為該曲線上不同于A，B的任意一點(diǎn)，設(shè)，，的面積為S，則（

）A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值【答案】C【分析】利用三角換元得到，利用斜率公式可求與的關(guān)系，化簡(jiǎn)后可得的關(guān)系，故可判斷AB的正誤，根據(jù)面積公式可求（用表示），故可判斷CD的正誤.【詳解】由于雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè),由雙曲線可得，則,因此,其中，對(duì)于不是定值，故不正確；對(duì)于,由于,即，若為定值,則為定值,從而和是確定的值,于是均為定值,這是不可能的,故B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng),因此是定值,不是定值，故選：C.例52.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上．(1)點(diǎn)，為的左右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于，的點(diǎn)，求的值；(2)點(diǎn)，在上，且，，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）代入點(diǎn)，得，從而得雙曲線方程及，的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，結(jié)合在雙曲線上，即可得答案；（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理及，得，舍去，從而得，直線過(guò)定點(diǎn)，為直角三角形，為直角，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證.【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線，則．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，所以，所以的值為．（2）證明：依題意，直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，設(shè)，聯(lián)立，消得，顯然，否則不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以，所以，即，所以有，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得，而當(dāng)，此時(shí)直線為，易知恒過(guò)定點(diǎn)，故舍去，所以，此時(shí)滿足且直線過(guò)定點(diǎn)，（如圖所示）又因?yàn)闉榇棺?，所以為直角三角形，為直角，所以?dāng)點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)時(shí)，為定值．綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值．【變式訓(xùn)練】變式51.（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）古希臘人從一對(duì)對(duì)頂圓錐的截痕中發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，并研究了它的一些幾何性質(zhì)．比如，雙曲線有如下性質(zhì)：A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，從C上一點(diǎn)P（異于A，B）向?qū)嵼S引垂線，垂足為Q，則為常數(shù)．若C的離心率為2，則該常數(shù)為（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】設(shè)，由題結(jié)合可得.則，后由離心率結(jié)合可得答案.【詳解】設(shè)，則，又由題得.則.則.故選：D變式52.（2023春·福建廈門(mén)·高二廈門(mén)一中?？计谥校┮阎p曲線：實(shí)軸長(zhǎng)為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率為，，請(qǐng)從下列的結(jié)論中選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值【答案】(1)(2)③正確，證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先求雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求雙曲線方程；（2）首先設(shè)直線：，與雙曲線方程聯(lián)立，得到，，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，，以及，判斷定值.【詳解】（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，與是的兩條漸近線，到兩條漸近線的距離之積，依題意，，故，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）正確結(jié)論：③為定值.證明如下：由（1）知，，設(shè)，，因?yàn)?，不與，重合，所以可設(shè)直線：，與聯(lián)立：，消去整理可得：故，，，所以，，，①，，不是定值，②，，不是定值，③，所以是定值.題型六：雙曲線中的定直線問(wèn)題【典例分析】例61.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).例62.（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【變式訓(xùn)練】變式61.（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且焦距為.(1)求的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交的右支于兩點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，記，則，，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合點(diǎn)差法求出點(diǎn)Q的軌跡方程，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、、，因?yàn)?，即，記，又A、P、B、Q四點(diǎn)共線，則，，即，，有，，得，，又因?yàn)?，則，作差可得，即，得，即，故點(diǎn)Q總在定直線上.變式62.（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上．(1)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積是定值；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)恒在一條定直線上．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求出雙曲線方程，設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立與兩條漸近線方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用求出面積為定值；（2）考慮直線斜率不存在，不合題意，故直線斜率存在，設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)出，得到兩根之和，兩根之積，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由得到，，消去參數(shù)得到點(diǎn)恒在一條定直線上.【詳解】（1）將代入雙曲線中，，解得，故雙曲線方程為，下面證明上一點(diǎn)的切線方程為，理由如下：當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，，由化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋肷鲜降?，整理得，同除以得，，即，因?yàn)?，，所以，?lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)為，切線方程為，滿足，綜上：上一點(diǎn)的切線方程為，設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，故為過(guò)點(diǎn)的切線方程，雙曲線的兩條漸近線方程為，聯(lián)立與，解得,聯(lián)立與，解得,直線方程為，即，故點(diǎn)到直線的距離為，且，故的面積為，為定值；（2）若直線斜率不存在，此時(shí)直線與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn)，不合題意，不滿足條件，故直線斜率存在，設(shè)直線方程，與聯(lián)立得，由，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，故，解?設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由得，，變形得到，將代入，解得，將代入中，解得，則，故點(diǎn)恒在一條定直線上.題型七：拋物線中的定點(diǎn)問(wèn)題【典例分析】例71.（2019·北京·高考真題（理））已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)見(jiàn)解析.【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：，，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).例72.（2023秋·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為?軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)?.(1)求拋物線方程;(2)若直線?與拋物線交于?兩點(diǎn)，且滿足?，求證:直線?恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，代入即可求出結(jié)果;（2）由題意直線方程可設(shè)為，將其與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)求解，即可求出定點(diǎn).【詳解】（1）由題可知，拋物線的開(kāi)口向右，設(shè)拋物線方程為?，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)?，所以?，解得?所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:?.（2）如圖，設(shè)直線?的方程為:?，聯(lián)立方程?消?有：?由于交于?兩點(diǎn)，設(shè)?，則?，即?，?，由?.則?.解得:?，驗(yàn)證滿足條件.所以直線?的方程為?，即證直線?恒過(guò)定點(diǎn).【變式訓(xùn)練】變式71.（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C：焦點(diǎn)為，直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，且，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求拋物線C的方程；(2)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)有求參數(shù)，即可得拋物線方程；（2）設(shè)l：，，，聯(lián)立拋物線消去x，應(yīng)用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)，并寫(xiě)出直線方程，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，則，所以拋物線方程為.（2）令l：，，，聯(lián)立得：，則，，，解得或，由得：，故，∴l(xiāng)：過(guò)定點(diǎn).變式72.（2023秋·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為C的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程；(2)已知及曲線E上的兩點(diǎn)B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意列出圓心滿足的方程結(jié)合弦長(zhǎng)得出的方程，化簡(jiǎn)即可得答案.（2）設(shè)直線：，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)，，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合化簡(jiǎn)可得參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而利用直線方程求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，所以，所以，即，所以曲線E是拋物線.（2）證明：由題意點(diǎn)坐標(biāo)適合，即點(diǎn)A在E上，由題意可知BD斜率不會(huì)為0，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去并整理得，需滿足，即，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經(jīng)過(guò)定點(diǎn).題型八：拋物線中的定值問(wèn)題【典例分析】例81.（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中垂線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可得解；（2）不妨取拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，、，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式表示出，再求出中垂線方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，根據(jù)建系方案的不同，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種可能，分別是，，，.（2）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的位置并不影響的取值，因此不妨取拋物線的方程為，此時(shí)焦點(diǎn)，根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為，因此設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程，則，設(shè)、，則，，，，則，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中垂線方程為，令，解得，即中垂線與軸交于，所以，則.例82（2023秋·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，且．(1)求的值；(2)若直線l與交于M，N兩點(diǎn)，與交于P，Q兩點(diǎn)，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可得，，進(jìn)而結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；（2）由（1）知，，設(shè)直線，，，，，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知，且，聯(lián)立直線與拋物線和的方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，，由結(jié)合向量知識(shí)可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到，聯(lián)立，可得，，，，進(jìn)而求證即可.【詳解】（1）由題意知，，所以，解得．（2）由（1）知，．設(shè)直線，，，，，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知，且．聯(lián)立，得，則，同理聯(lián)立，得，則．由可得，，又，，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，又因?yàn)?，，所以，再由，得．?lián)立，解得，所以，，．故，所以為定值.【變式訓(xùn)練】變式81.（四川·高考真題（理））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，在軸的上方，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)為拋物線上異于，的點(diǎn)，直線與分別交拋物線的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，求證：為定值，并求出定值.【答案】（1）（2）見(jiàn)證明【分析】（1）先由題意得到，，根據(jù)的斜率為，求出，即可得出拋物線方程；（2）先由（1）的結(jié)果，得到點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合題意，求出與，計(jì)算其乘積，即可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意得：，因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，且在軸的上方，所以，因?yàn)榈男甭蕿?，所以，整理得：，即，得，拋物線的方程為：.（2）由（1）得：，，淮線方程，直線的方程：，由解得或，于是得.設(shè)點(diǎn)，又題意且,所以直線：，令，得，即，同理可得：，.變式82.（2018·北京·高考真題（理））已知拋物線C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．【答案】(1)取值范圍是（∞，3）∪（3，0）∪（0，1）(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【詳解】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)可得結(jié)論.詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過(guò)點(diǎn)（1，2）．從而k≠3．所以直線l斜率的取值范圍是（∞，3）∪（3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直線PA的方程為．令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為．由，得，．所以．所以為定值．題型九：拋物線中的定直線問(wèn)題【典例分析】例91.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線分別交拋物線于兩點(diǎn)．（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的切線，證明：的交點(diǎn)在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義可求圓心到準(zhǔn)線的距離為，從而可求拋物線的方程．（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出兩點(diǎn)處的切線方程，從而可求的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線和拋物線的方程可得，從而可得的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，故的交點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，則且.由拋物線的定義可知，，所以，由梯形中位線可得，所以，可得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，由，得，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，解得，即直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)，由題可知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為，代入拋物線中，得，所以，故，所以的交點(diǎn)在定直線上．例92．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線，，是C上兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求證：直線與C相切；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，C在A，B處的切線交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，利用證明即可；（2）設(shè)，由（1）可得出兩條切線的方程，然后聯(lián)立可得，然后由可得，即可證明.【詳解】（1）聯(lián)立得，因?yàn)樵贑上，則，所以，因此直線與C相切．（2）由（1）知，設(shè)，切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立得，因?yàn)?，，所以．又因?yàn)椋?，解得，所以．故點(diǎn)P在定直線上．【變式訓(xùn)練】變式91.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過(guò)的焦點(diǎn)且與相切．(1)求p的值：(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定直線方程為.【分析】（1）設(shè)直線l1的方程為，再根據(jù)直線和圓相切求出的值得解；（2）依題意設(shè)，求出切線l2的方程和B點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，即得證.【詳解】（1）由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線l1的方程為，由已知得圓的圓心，半徑，因?yàn)橹本€l1與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以.（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)A，），則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為所以切線l2的方程為．令，即l2交y軸于B點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，∴，∴．設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則，所以點(diǎn)N在定直線上．變式92.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準(zhǔn)線截得的弦長(zhǎng)為8．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的兩條直線分別與曲線交于點(diǎn)A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點(diǎn)在直線上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)到的距離為，由題意可得：，可解得，即可求出拋物線的方程.（2）設(shè)，，由，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的方程結(jié)合題意可得，同理可得：，又因?yàn)?，是關(guān)于的方程的兩根，則，即可證明.【詳解】（1）：的準(zhǔn)線：設(shè)到的距離為，由已知得，∴，∴，∴∴的方程為（2）設(shè)，∵，∴∴，∴代入得∴∴∵點(diǎn)N在拋物線內(nèi)部，∴，，∴同理∴，是關(guān)于的方程的兩根，∴，∴∴的中點(diǎn)在直線上．.1.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)D．且,設(shè)直線QA，QD，QB的斜率分別為，，，若，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切滿足的幾何關(guān)系，即可得，結(jié)合橢圓的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可代入求解.【詳解】（1）由已知圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，，經(jīng)分析可得，，則.由題意可知，兩式相加得，，所以，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，可設(shè)方程為，則，，，，，所以，軌跡的方程為.（2）由題意直線AB的斜率一定存在，由（1）知，，則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線AB方程為：，D坐標(biāo)為．所以，設(shè)，，將直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立得．恒成立，由韋達(dá)定理知，且，，則．故（定值）．2.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，直接列出方程求解，可得答案.（2）根據(jù)題意，分類(lèi)討論當(dāng)垂直于軸和不垂直于軸時(shí)的情況，對(duì)于垂直于軸的情況，直接列方程計(jì)算；對(duì)于不垂直于軸時(shí)的情況，直線與雙曲線聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算化簡(jiǎn)可證明成立.【詳解】（1）根據(jù)題意有，C的一條漸近線方程為，將代入C的方程有，，所以M，N到直線的距離之和為，所以，C的方程為.（2）

方法1：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由雙曲線的定義可知，，故.設(shè)，代入C的方程有：，設(shè)，，則，，所以，所以.綜上，的值為6.方法2：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，代入C的方程有：.設(shè)，，則，，所以.綜上，的值為6.3.（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點(diǎn).(1)已知為拋物線的焦點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.【答案】(1)2(2)證明見(jiàn)解析，定值為0【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可直接求解；（2）先聯(lián)立兩拋物線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，再設(shè)出直線的方程，然后分別與拋物線和聯(lián)立，從而根據(jù)直線與拋物線和均相切求出，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】（1）由得，設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得.（2）

聯(lián)立，解得或，所以，所以直線的斜率.設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即，若，則，不符合題意，所以，即，①聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即，②由①②可得，所以，故為定值，該定值為0.4.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標(biāo)軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)4；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)A，B坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理計(jì)算作答.（2）利用（1）中信息，求出直線MN，CD的方程，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可推理作答.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)其方程為：，由消去x并整理得，，設(shè)點(diǎn)，，則，，矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，所以．（2）由（1）得，，，，于是得直線MN的方程為：，直線CD的方程為：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直線MN與直線CD交點(diǎn)在直線上.所以線MN與直線CD交點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及用過(guò)定點(diǎn)的直線l解決問(wèn)題，若直線l不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：；若直線l不垂直于y軸，可設(shè)其方程為：.5．（2022春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAB的垂心為原點(diǎn)O.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時(shí)，.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：點(diǎn)P在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義及韋達(dá)定理可求解；（2）根據(jù)垂心建立斜率之間的關(guān)系，從而得到直線，兩直線聯(lián)立得到點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理，從而可得點(diǎn)P在定直線上.【詳解】（1）設(shè)直線l的方程為，，.由得.所以，.由拋物線定義，得.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時(shí)，，.所以，即拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1），得，.因?yàn)榈拇剐臑樵c(diǎn)O，所以，.因?yàn)?，所?所以直線AP的方程為，即.同理可得，直線BP的方程為.聯(lián)立方程解得即.所以點(diǎn)P在定直線上.6.（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問(wèn)題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)．故直線CD過(guò)定點(diǎn)．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過(guò)直線和直線的方程可寫(xiě)為．可化為．④易知A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)滿足上述方程，同時(shí)A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過(guò)點(diǎn)．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問(wèn)的方法一最直接，但對(duì)運(yùn)算能力要求嚴(yán)格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單.

7.

（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為.點(diǎn)是橢圓上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線分別與橢圓交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，的面積分別為.求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合離心率，得到，進(jìn)而求得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，則，設(shè)直線PA的方程為，聯(lián)立方程，得到，同理得到，結(jié)合三角形的面積公式，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得出定值.【詳解】（1）解：因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，即所以，可得，由橢圓的離心率，可得，從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，則，可設(shè)直線PA的方程為，其中，聯(lián)立方程，整理得，則，

同理