福建省漳州市重點中學2023-2024學年高三上學期12月月考數(shù)學試題（含答案）

-2024學年高三年第四次月考數(shù)學科試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)集合，，1，，則A．，0， B．， C． D．，1，2．已知復數(shù)，則A． B． C． D．3．已知非零向量、滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，5．已知，為橢圓的焦點，為上頂點，則△的面積為A．6 B．15 C． D．6．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“，，成等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知，，，則A． B． C． D．8．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．某校有5名同學參加知識競賽，甲同學得知其他4名同學的成績（單位：分）分別為80，84，86，90，若這5名同學的平均成績?yōu)?7，則下列結(jié)論正確的是A．甲同學的競賽成績?yōu)?5 B．這5名同學競賽成績的方差為26.4 C．這5名同學競賽成績的第40百分位數(shù)是84 D．從這5名同學中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為0.610．關(guān)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．的定義域為 B．是奇函數(shù) C．的最小正周期是 D．11．如圖，三棱錐中，，面，則下列結(jié)論正確的是A．直線與平面所成的角為 B．二面角的正切值為 C．點到平面的距離為 D．12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 B． C． D．若函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則在區(qū)間，上有1012個零點三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種．（用數(shù)字填寫答案）14．若雙曲線經(jīng)過點，則此雙曲線的離心率為．15．設(shè)函數(shù)，的圖象在點，（1）處的切線為，則在軸上的截距為．16．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點，距離之比是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體中，點是正方體的表面（包括邊界）上的動點，若動點滿足，則點所形成的阿氏圓的半徑為；三棱錐體積的最大值是．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，的面積為，求．18．（本小題滿分12分）如圖，已知圓錐，是底面圓的直徑，，是圓上異于，的一點，，，取的中點，連接，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（本小題滿分12分）某興趣小組同學在某日隨機抽取了該市100人，并對其當天體育鍛煉時間進行了調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的體育鍛煉時間的頻率分布直方圖，鍛煉時間不少于40分鐘的人稱為“運動達人”．（1）估算這100人當天體育鍛煉時間的眾數(shù)和平均數(shù)（每組中的數(shù)據(jù)用組中值代替）；（2）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，據(jù)此判斷是否有的把握認為“運動達人”與性別有關(guān)．非“運動達人”“運動達人”合計男性1545女性合計附：，，臨界值表：0.050.013.8416.63520．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，且，，．（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．21．（本小題滿分12分）學校舉辦學生與智能機器人的圍棋比賽，現(xiàn)有來自兩個班學生報名表，分別裝入兩袋，第一袋有5名男生和4名女生的報名表，第二袋有6名男生和5名女生的報名表，現(xiàn)隨機選擇一袋，然后從中隨機抽取2名學生，讓他們參加比賽．（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；（2）比賽記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，兩人同時贏積2分，一贏一輸積0分，兩人同時輸積分．現(xiàn)抽中甲、乙兩位同學，每輪比賽甲贏概率為，乙贏概率為，求在一輪比賽中，這兩名學生得分的分布列和均值．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明：當時，；（3）如果，且，證明：．2023-2024學年高三年第四次月考數(shù)學科答案一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)集合，，1，，則A．，0， B．， C． D．，1，【答案】B【解析】由題意得，，又因為，1，，所以，．故選B．2．已知復數(shù)，則A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以．故選D．3．已知非零向量、滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】A【解析】因為非零向量，滿足，且，所以，所以，又因為，所以，因此與的夾角為．故選．4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】設(shè)，對稱軸為，拋物線開口向上，是上的增函數(shù)，要使在區(qū)間單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞減，即，即，故實數(shù)的取值范圍是，．故選C．5．已知，為橢圓的焦點，為上頂點，則△的面積為A．6 B．15 C． D．【答案】【解析】，，，，所以△的面積為．故選．6．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“，，成等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為為等比數(shù)列，則，若，則，，為常數(shù)數(shù)列，且為等差數(shù)列，所以充分性滿足；若，，成等差數(shù)列，由等差中項的性質(zhì)可得，，化簡可得，，且，則，解得或，所以必要性不滿足；所以““是“，，成等差數(shù)列”的充分不必要條件．故選．7．已知，，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】已知，則，則，又，則，即，又，，則．故選C．8．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，（1），所以．所以的取值范圍是，．故選．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．某校有5名同學參加知識競賽，甲同學得知其他4名同學的成績（單位：分）分別為80，84，86，90，若這5名同學的平均成績?yōu)?7，則下列結(jié)論正確的是A．甲同學的競賽成績?yōu)?5 B．這5名同學競賽成績的方差為26.4 C．這5名同學競賽成績的第40百分位數(shù)是84 D．從這5名同學中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為0.6【答案】【解析】對于，設(shè)甲的成績?yōu)椋瑒t有，解可得，正確；對于，甲的成績?yōu)?5，則這5名同學競賽成績的方差，正確；對于，五人的成績從小到大排列，依次為：80、84、86、90、95，而，則其第40百分位數(shù)是，錯誤；對于，五人的成績中，高于平均分的有2人，則從這5名同學中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為，錯誤．故選．10．關(guān)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．的定義域為 B．是奇函數(shù) C．的最小正周期是 D．【答案】【解析】函數(shù)的定義域與的定義域相同，即為，故正確；由及的定義域知是偶函數(shù)，故錯誤；如圖所示，由圖可知函數(shù)的最小正周期為，故正確；由于，，且根據(jù)圖象知在上單調(diào)遞增，所以，即，故錯誤．故選．11．如圖，三棱錐中，，面，則下列結(jié)論正確的是A．直線與平面所成的角為 B．二面角的正切值為 C．點到平面的距離為 D．【答案】【解析】選項，因為面，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角是，故正確；選項，取中點為，連接，，因為，平面，所以，，因為，所以平面，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故正確；選項，因為，所以，設(shè)到面的距離為，則由，可得：，解得，故正確；選項，若，又，且，則面，則有，與矛盾，故錯誤．故選．12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 B． C． D．若函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則在區(qū)間，上有1012個零點【答案】【解析】因為是偶函數(shù)，所以，的圖像關(guān)于直線對稱，故正確；因為為偶函數(shù)，所以有，函數(shù)關(guān)于直線對稱，由，因此函數(shù)關(guān)于點對稱，由，，函數(shù)的周期為4，在中，令，得（3）（1），，令，得（1），（3）（1），故錯誤；由，令，得（2），故正確；因為函數(shù)關(guān)于點對稱，且在，上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在，也單調(diào)遞減，而函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，且（3），所以當，時，函數(shù)有兩個零點，當，時，由函數(shù)的周期為4，可知函數(shù)的零點的個數(shù)為，故正確，故選．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】16【解析】方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有，共有種.方法二，間接法：種.故答案為1614．若雙曲線經(jīng)過點，則此雙曲線的離心率為．【答案】【解析】由已知，，，點，代入雙曲線的方程為：，解得．所以離心率．故答案為．15．設(shè)函數(shù)，的圖象在點，（1）處的切線為，則在軸上的截距為．【答案】1【解析】函數(shù)，可得，切線的斜率為：（1），切點坐標，切線方程為：，在軸上的截距為：．故答案為1．16．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點，距離之比是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體中，點是正方體的表面（包括邊界）上的動點，若動點滿足，則點所形成的阿氏圓的半徑為；三棱錐體積的最大值是．【答案】；【解析】以為坐標原點，為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，設(shè)，因為，所以，整理得，點所形成的阿氏圓的半徑為；則當?shù)骄嚯x最大時，三棱錐的體積最大，結(jié)合圖形可知當在上，即為三棱錐最大的高，，則三棱錐體積的最大值是．故答案為；．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，的面積為，求．【解析】（1）因為，由正弦定理可得，即，又為三角形內(nèi)角，，所以，即，又，所以．（2）因為，，的面積為，所以，可得，由余弦定理可得．18．（本小題滿分12分）如圖，已知圓錐，是底面圓的直徑，，是圓上異于，的一點，，，取的中點，連接，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：點為圓錐的頂點，平面，，又，分別為、中點，，平面，平面，．又，平面，平面，平面；（2），，，，，，，又，，在圓中，，以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，又平面，軸，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，又易知平面的一個法向量為，，又由圖可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．19．（本小題滿分12分）某興趣小組同學在某日隨機抽取了該市100人，并對其當天體育鍛煉時間進行了調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的體育鍛煉時間的頻率分布直方圖，鍛煉時間不少于40分鐘的人稱為“運動達人”．（1）估算這100人當天體育鍛煉時間的眾數(shù)和平均數(shù)（每組中的數(shù)據(jù)用組中值代替）；（2）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，據(jù)此判斷是否有的把握認為“運動達人”與性別有關(guān)．非“運動達人”“運動達人”合計男性1545女性合計附：，，臨界值表：0.050.013.8416.635【解析】（1）眾數(shù)為，平均數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖可知，“運動達人”的人數(shù)為，則非“運動達人”的人數(shù)為，完成列聯(lián)表如下：非“運動達人”“運動達人”合計男性301545女性451055合計7525100則，所以沒有的把握認為“運動達人”與性別有關(guān)．20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，且，，．（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【解析】（1），，．，，解得，，當時，，，兩式相減得，即，當時，，，滿足，，則數(shù)列是公比的等比數(shù)列，通項公式．（2），設(shè)，則，，當時，，則，此時數(shù)列的前項和，則21．（本小題滿分12分）學校舉辦學生與智能機器人的圍棋比賽，現(xiàn)有來自兩個班學生報名表，分別裝入兩袋，第一袋有5名男生和4名女生的報名表，第二袋有6名男生和5名女生的報名表，現(xiàn)隨機選擇一袋，然后從中隨機抽取2名學生，讓他們參加比賽．（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；（2）比賽記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，兩人同時贏積2分，一贏一輸積0分，兩人同時輸積分．現(xiàn)抽中甲、乙兩位同學，每輪比賽甲贏概率為，乙贏概率為，求在一輪比賽中，這兩名學生得分的分布列和均值．【解析】（1）設(shè)“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“隨機抽取2張，恰好抽到一名男生和一名女生的報名表”，，，由全概率公式得；（2）設(shè)在一輪比賽中得分為，則的可能取值為，0，2，則，，，得分為的分