概率論全套課件

概率論:研究隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的一個數學分支.評價:生活的真正指南.例:親子鑒定.若鑒定為無血親關係,正確率100%.若第一章隨機事件與概率鑒定為有,則為99.93%.確定性現象:有確定的變化規(guī)律,重複一組相同的條件,其結果是肯定的,事前是可以預言的.如:拋擲一枚硬幣必定下落.隨機現象:事前不可預言,重複一組相同的條件,每次結果未必相同,事前不能預言將出現哪一個結果.就一次試驗而言,時而出現這個結果,時而出現那個結果,呈現出一種偶然性.如:硬幣落下後哪一面向上？如:多次重複拋擲,某一面向上出現一半左右.統(tǒng)計規(guī)律性:由於隨機現象事先無法判定將會出現哪種結果,人們就以為它是不可捉摸的.其實通過大量的實踐可以發(fā)現隨機現象呈現出某種規(guī)律性.

歷史上,有很多學者為了考察某些問題的概率而做了大量的試驗,以觀察一些問題的實質.例如在拋硬幣試驗中,有這樣三組數據:試驗者試驗次數正面出現次數頻率蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005§1.1隨機事件一隨機試驗randomtest1可重複性;2具體結果的未知性;3所有結果的可預測性.滿足如下條件的試驗稱為隨機試驗例1拋擲一枚硬幣.例2

擲一枚均勻骰子,觀察出現的點數.例3

機器人投籃,直到投中為止.例4

射箭,觀察箭離靶心的距離.例5燈泡壽命.二樣本空間samplespace樣本空間(基本事件空間):試驗每一個可能出現的結果稱為樣本點,用表示.樣本點(基本事件):全體樣本點構成的集合,稱為樣本空間.用表示.例4

射箭例5燈泡壽命例3投籃={1,2,3,……}例2

擲骰子={1,2,3,4,5,6}例1

拋硬幣={面值,圖案}三隨機事件randomevent僅含一個樣本點的隨機事件稱作基本事件.樣本空間的某個子集即由若干個樣本點構成的集合稱為隨機事件,簡稱事件.一般用大寫字母A,B,C,D等表示.例1

拋出面值A={面值}例2

可以起飛A={5,6}例3投籃優(yōu)秀A={1,2,3}例4

射箭10環(huán)A=[0,a]例5燈泡長命A=[3,)顯然隨機事件是由部分樣本點(基本事件)構成的.每次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生.在所有的事件中,有兩個特殊的事件,分別稱為必然必然事件certainevent不可能事件impossibleevent事件和不可能事件.注:嚴格來講,必然事件與不可能事件反映了確定性現象,可以說它們不是隨機事件.但是把它們作為隨機事件的兩個極端情形而加以考慮,則不但合理,也為今後的研究提供了方便.從集合論角度理解,全集與空集也是子集.

為了用簡單的事件來表達較為複雜的事件,有必要討1.關係

若事件發(fā)生必然導致事件發(fā)生,則稱事件包含事件記為論事件間的關係和運算.四事件的關係和運算顯然,對任意事件A,有若則

若事件包含在事件中,而事件又包含在事件中,則稱事件A與事件B相等,記為即A與B有相同的樣本點.顯然,互斥事件沒有公共樣本點.互斥事件(互不相容):若事件A與事件B不能在一次試驗中同時發(fā)生,則稱事件A與B是互斥的.如果一組事件中任意兩個事件都互不相容,顯然有:基本事件組兩兩互不相容.那麼稱這組事件兩兩互不相容.

關係間的圖示互斥

若事件滿足:事件發(fā)生當且僅當不發(fā)生,則稱事件為事件的對立事件,記為2.運算

設為事件,定義下列事件.

事件的和

事件的積常簡寫為顯然有:若則

事件的差

由定義容易得到下列關係是互斥事件是對立事件差事件可以表示為：

事件的運算滿足下麵性質:⑴交換律⑵結合律⑶分配律⑷對偶律事件的和,積運算可以推廣到有限個或可列個事件.相應的對偶律形象地說,是把大帽子分配成小帽子,運算符反向.例一箱產品中有95件正品和5件次品,從中取4次,每次取一件,以表示第次取到的是正品,試表達如下事件:1.取到的都是正品2.取到的恰有一件是次品3.取到的至少有一件是次品.解:1.取到的都是正品2.取到的恰有一件是次品3.取到的至少有一件是次品§1.2等可能概型對於一個隨機試驗,我們不僅要知道它可能出現哪些結果,更重要的是研究各種事件發(fā)生的可能性的大小,從而揭示其內在規(guī)律性.比如在投擲一枚均勻的骰子試驗中,擲出偶數點顯然比擲出6點發(fā)生可能性要大.概率就是隨機事件發(fā)生的可能性大小的數量表徵.對於事件A,用P(A)表示事件A發(fā)生的可能性大小,即A發(fā)生的概率probability.

例1:四貓性別B:有一只不一樣A:同品種C:兩公兩母本段我們從最古老的概率模型來探討概率的計算.一古典概率引例2:一手牌型最不可能A:同花色哪種最有可能?平均牌型B:4,3,3,3一長一短C:5,3,3,2比較平均D:

4,4,3,2古典概型classicalprobabilitymodel2每個樣本點即基本事件以相等的可能性出現,即:1試驗的樣本空間是個有限集:從而如果事件A中包含了個個樣本點,規(guī)定顯然有:在拋硬幣試驗中,由於基本結果只有兩個,而且每個結果出現的可能性是相同的,故該試驗為古典概型.擲一枚均勻骰子,則樣本空間為且每個點數出現的可能性均為,故該試驗為古典概型.例1:四貓性別A:同品種B:有一只不一樣C:兩公兩母方法一:列舉以0記公貓,1記母貓,只要列舉四位二進位數.0000,0001,0010,00110100,0101,0110,01111000,1001,1010,10111100,1101,1110,1111方法二:排列組合？？？對稱時一定要注意,如果區(qū)別性別,則0011等重複計數.正解:引例2:一手牌型最不可能A:同花色哪種最有可能？平均牌型B:4,3,3,3一長一短C:5,3,3,2比較平均D:4,4,3,2比較得:結論:“平均”往往不是可能性最大的.例3摸球模型袋中有a只黑球b只白球.隨機摸取一只,記下顏色放回,再添加c只同色球.如此重複三次.求摸出的球顏色依次為白黑黑,黑白黑,黑黑白的概率.解:記所求三事件分別為A,B,C結論:與順序無關.有放回:c=0無放回(抽籤模型):c=-1例4假設箱中共有n個球,其中m個是紅球,其餘是白球(0<m<n).現一個接一個地從箱中抽球,試求第k次抽到紅球的概率.解:對於有放回情形,顯然對於無放回情形,也即抽籤模型有同樣結果.這證明了抽籤與順序無關.解法1設想將n個球一一編號區(qū)分樣本點個數相當於全排列有利場合數為先放好第k位,共有m種其餘個n-1個位置任意排解法2仍將n個球一一編號區(qū)分從n個不同的球中接連抽出k個球相當於從n個不同元素中選k個元素的選排列共有種不同抽法有利場合的不同抽法為:第k次抽球抽到紅球的情形共有m種前k-1次抽法等於從n-1個元素中選k-1個的選排列解法3對於同顏色球不加區(qū)分設想有n個位置依次排成一列將n個球分別放進n個格子(每格一球)只考慮紅球的位置則總共有種不同放法第k個位置必須是紅球則只要再挑m-1個位置放紅球總共有種放法求個人住不同房的概率.例5（分房問題）設有個人入住個房間,解設為個人的所有可能的入住方法,則而從N個房間中選出n個房間的選法總數為故所求問題的概率為指定的n個房間中各住一個人的所有可能的住法有n!種不相同的概率就可以從上面的公式中得以計算.此時取下表給出了當取不同值時的概率反之,班中至少有兩個人同一天生日的概率為

相應的概率為應用生日問題:設一個班有n個人，則n個人的生日互20304050641000.4410.7060.8910.9700.9970.99999結論：占星術是偽科學.課堂練習：p28(1).8解答:3至少有三道題全對意味著錯誤不能分佈在四道題直接做比較麻煩,不建議死做1題錯,6種再將4道錯題往裏放最後排除放在同一格子裏的2種情況共有2題錯,先選出錯的兩題作為格子結論:幾何量之比.綠格面積圓面積圓心角周角在這類問題中,試驗的可能結果是某區(qū)域中的一個點,落在該區(qū)域任意位置都是等可能的.落在某子區(qū)域A的可能性與區(qū)域的測度Measure（長度、面積、體積等）成正比而與其位置及形狀無關.設是可度量的（區(qū)間有長度,平面情形具有面積,空可能性是相同的.事件是的一個子區(qū)域,並且也是可以度量的,則事件A發(fā)生的概率為:間情形具有體積）,並進一步地假定每個樣本點出現的例1某碼頭只能停靠一只船,現已知某日會有兩只船解設甲船到達時刻為?？?小時,乙船情形⑴:乙船先到,甲船等待,則滿足情形⑵:甲船先到,乙船等待,則滿足到達且到達時間是在中任一時刻,已知一船需要停4小時,另一只需要停6小時,求一船需等待的概率.到達時刻為停靠6小時.相應的區(qū)域如圖所示:所以若以表示某船等待另一船這一事件,則即為圖中區(qū)域的面積,容易得到:從而,事件發(fā)生的概率為例2將一單位長度的小棍隨機折成3段.求能構成三角形的概率.解:如果設截成的三段長度分別為x,y,z.則涉及三維,計算麻煩.設單位長度的小棍左右端點座標分別為0,1兩截點座標分別為x,y由對稱性不妨設則三段長度分別為由三角形兩邊之和大於第三邊得約束如下解得:比較面積得:11（,）例3蒲豐投針問題平面上畫著一些等距的平行線,間距為a.向此平面任意投擲一長度為

的針.試求此針與任一平行線相交的概率.解:以x表示針的中點到最近的平行線的距離

表示針與平行線的交角以頻率近似代替P得

可算得歷史資料,a折算為13.1415929180834080.833331901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.137382.56001.01860Morgan3.1596253250000.81850WolfπnN針線比年份實驗者貝特朗奇論:在單位圓內隨機取一條弦,問其長度超過該圓內接等邊三角形邊長的概率是多少?解法1以此端點做一個等邊三角形.顯然,只有穿過此三角形內的弦才符合要求.而符合條件的弦的另一端正好占整個圓弧的1/3.並且,不論固定的那個端點在圓上的哪個位置,情況都是一樣的.所以結果為1/3.由於弦交圓於兩點.我們先固定弦的一個端點.解法2由於弦長只和圓心到它的距離有關.所以固定圓內一條半徑.當且僅當圓心到它的距離小於1/2才滿足條件.並且,不論固定的是哪條半徑,情況都是一樣的.所以結果為1/2.弦被其中點唯一確定.當且僅當其中點在半徑為1/2的圓解法3內時才滿足條件.此小圓面積為大圓的1/4.所以結果為1/4.三個看似都有道理的解法卻得到了不同的結果,所以我們稱其為paradox.其實,這些結果都是對的.因為它們採用了不同的等可能性假定.上均勻分佈.解法一假定弦的端點在圓上均勻分佈.解法二假定半徑在圓內均勻分佈以及弦的中點在半徑解法三假定弦的中點在圓內均勻分佈.§1.3頻率與概率

設是隨機試驗,是樣本空間,是事件,設在N

次試驗中,事件出現的次數為n

次,則稱n為頻數稱為事件在次試驗中出現的頻率,記為即定義:

歷史上,有很多學者為了考察某些問題的概率而做了試驗者試驗次數正面出現次數頻率蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005大量的試驗,以觀察一些問題的實質.例如在拋硬幣試驗中,有這樣三組數據:

通過這一組數據可以看到:當試驗的次數越大,則事件在次試驗中出現的頻率越接近某一個常數,它反映了事件在大量重複試驗中出現的頻率具有一種穩(wěn)定性.由於事件發(fā)生的可能性大小與其頻率大小有如此密切的關係,加之頻率又有穩(wěn)定性,故而可通過頻率來定義概率.這就是:概率的統(tǒng)計定義:實際應用中,往往就簡單地把頻率當概率用.發(fā)生的頻率隨著的增大將穩(wěn)定到某個常數,就稱該常數為事件發(fā)生的概率,記為對於任何一個事件若事件在次重複試驗中所例1在拋硬幣試驗中，以表示出現正面朝上這一事件,則由上面的統(tǒng)計數據得到事件發(fā)生的概率為例2為了設計某路口向左拐彎的汽車侯車道.在每天交1頻率601231420164等候天數總和6543210等候車輛數通最繁忙的時間（上午9時）在該路口觀察候車數,共觀察了60天,得數據如下:試求某天上午9時在該路口至少有5輛汽車在等候左轉彎解設事件表示“至少有5輛汽車在等候左轉彎”這一故可近似地認為至少有5輛汽車在等候左轉彎的概率為的概率.事件,在60次觀察中,事件發(fā)生的頻率§1.4概率的公理化定義

概率的統(tǒng)計定義具有一定的應用價值,但在理論上有嚴重的缺陷,也不利於一般概率問題的計算.古典概型和幾何概型的計算公式雖然解決了這兩種概型中事件的概率的計算問題,但並不是普遍適用的.下麵我們引入概率的公理化定義,並導出基本的概率計算公式.先來看古典概率和幾何概率的共性:2、規(guī)範性

若為兩兩互不相容事件,則1、非負性3、有限可加性對於任一隨機事件,賦予唯一一個實數若滿足以下三條公理：設隨機試驗的樣本空間為公理3完全可加性(可列可加性)公理1非負性：公理2規(guī)範性：是一列兩兩互不相容的隨機事件則稱為事件A的概率

由定義,不難得到如下性質:性質1證明:在公理3中取則所以又所以性質2設為互不相容事件組,則有證明:在公理3中取則性質3對立事件計算公式

證明:互斥,由性質2由公理2得:且性質4若則證明:由性質2移項即得:由非負性即得:性質5減法公式:證明:由性質4注:此公式無任何條件限制.

設為任意兩個事件,則性質6加法公式

現推導三個隨機事件的加法公式證明:由可加性和減法公式即得.再用一次加法公式以及分配律得將看作一個事件,由加法公式得再用一次加法公式並注意到整理即得由此可用數學歸納法證明一般加法公式:例1、設求解由加法公式得又:所以例2從1到9九個數字中有放回地取出個數字.求取出之數的乘積能被10整除的概率解：乘積能被10整除要求有5有偶數設A取到5,B取到偶數,則所求為直接做不容易“沒有某些數字”很容易求因此從對立事件計算公式得：試證明:例3設事件概率都是,且證明:由結論的形式可想到用加法公式所以移項代入數據即得例4設事件同時發(fā)生必定導致事件A發(fā)生證明證明：由條件得則由結論形式可知要用到2次規(guī)範性先將看成一個事件，用兩次加法公式上面的例子說明:若有事件則事件的發(fā)生一般會影響到事件的發(fā)生.的概率將會有所變化.一、條件概率設為兩個事件,稱已知A發(fā)生條件下B直觀地從幾何概率看:已知A發(fā)生,相當於樣本空間縮小為A

發(fā)生的概率為B的條件概率,記為例1某袋中有紅球6個,白球4個,取二次球,每次取一解記分別表示第一、第二次取紅球的事件.由條注意到,此時且個.求在第一次取到紅球的條件下,第二次也取到紅球的概率.件在第一次取紅球的條件下第二次取紅球的概率為:一般我們有定義1.2設為事件,則稱為在已知事件發(fā)生的條件下事件的條件概率.條件概率確實是一概率,不難驗證滿足三條公理.即可以把無條件概率P(A)看作是特殊的條件概率.

即條件不能是概率為0的事件.有的書上簡單地說成條件不能是不可能事件是錯的.不可能事件概率一定為0,但概率為0的事件不一定是不可能事件.例2設有一批產品,其中95件正品,5件次品,連續(xù)取解設表示第一次取到的是正品,則

表示第二次取到的是次品,則二次,每次取一件,求在第一次取正品的條件,第二次取次品的概率.得顯然沒必要用公式做,直接可得.

設為事件,且由條件概率定義乘法定理變形後有若,互換得綜合得一般地對任意n個事件且有注:例3（機遇相等問題）解以表示第人摸到獎券這一事件,則由乘法公式得求第4個人摸到的概率.設有十人摸一張有獎的獎券,第四人摸到的事件為注:以後可直接用抽籤與順序無關得出結論.例4設一種玻璃杯,第一次落地而打破的概率為若第一次落地未打破,第二次落地打破的概率為第二次仍未打破,第三次落地打破的概率為求連續(xù)落地三次,杯子未打破的概率.解設分別是表示第一、二、三次杯子落地而被打破的事件,則由條件得所以注:解:以A表示甲勝出,以表示甲第i輪勝出,則例5兩名射手輪流向同一目標射擊,甲命中率為,乙命中率為.甲先開始.誰先命中誰得勝.問甲,乙獲勝的概率各為多少？由幾何級數求和公式時得以B表示乙勝出,直接由對立事件計算公式得由對稱性,如果乙先射擊,則顯然,先發(fā)制人有利.二隨機事件的獨立性1.獨立性的意義

問題的引出:設是隨機試驗,是相應的樣本空間,

是兩個事件.在前面的眾多例子中,我們看到,在一般情況下,事件的發(fā)生都會對事件的發(fā)生產生影響,但某些情況下,事件的發(fā)生與的發(fā)生沒有任何影響.用數學公式來反映的話即為:例6一袋中裝有個4白球,2個黑球,從中有放回取兩次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的又由條件概率公式每次取一個.求在第一次取到的是白球的條件下,第二次取到的也是白球的概率.是白球,則有即:

上式表明:事件的發(fā)生對事件的發(fā)生沒有任何影響.再由條件概率公式:實際上,由於該問題是一個放回抽樣問題,常識告訴我們,事件不應該對事件產生影響.由上式:得:由此引出相互獨立的定義定義1.3對任意事件A,B,若則稱事件A,B相互獨立.事件的相互獨立與事件的互不相容是兩個不同的概念.沒有必然聯繫.對,下列命題哪些是正確的？①若,則一定獨立②若,則有可能獨立③若,則一定獨立④若,則一定不獨立只有②是正確的.顯然:即必然事件或不可能事件與任一事件A相互獨立.定理1.1如果,那麼事件A與B相互獨立的充要條件是如果,那麼事件A與B相互獨立的充要條件是定理1.2下列四個命題等價1事件與相互獨立2事件與相互獨立3事件與相互獨立4事件與相互獨立即,這四組事件獨立性一致.證明：1→2→4→3→1,只證1→2.其餘類似證明.因為事件A與B相互獨立,所以欲證事件的獨立性可以推廣到有限個事件上,引進獨立和兩兩獨立的概念.定義:對於任意三個事件A,B,C,如果四個等式都成立,那麼稱事件A,B,C相互獨立.注:1如果只滿足前三個等式,那麼稱事件A,B,C定義設為事件組,且任取有則稱為獨立事件組.兩兩獨立2可由歸納法推廣到n個事件的相互獨立.3獨立事件組“戴若干帽子”的結論依然成立.4具體應用問題中,獨立性根據實際情況判斷.例7 某項工作交由三個人獨立完成,設這三個完成的解設分別表示第一,第二,第三人完成該工再設事件表示工作被完成,則因又概率分別為求該項工作被完成的概率.作,則所以所以例8設某臺設備由六部件組成,已知該設備出故障解設表示各部件正常,表示設備正常,又每個部件都出故障.又,每個部件工作出故障的可能性為求設備正常工作的概率.則有例9已知每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為解事件“混合後的血清中含有肝炎病毒”等價於“100個且他們是否含有肝炎病毒是相互獨立的.今混合100個人的血清,試求混合後的血清中含有肝炎病毒的概率人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.設事件表示“第個人的血清中含有肝炎病毒”,則所求概率為:即混合後的血清中含有肝炎病毒的概率為0.33.

此例說明,小概率事件在多次的重複試驗中會有較大可能出現.三獨立性在可靠性問題中的應用一個產品的可靠性用可靠度來刻劃,所謂可靠度指的是產品能正常工作的概率.說白了,就是產品是好的概率.以下討論中,假定系統(tǒng)中的各個元件能否正常工作是相互獨立的.1串聯系統(tǒng):全好才好.2並聯系統(tǒng):全壞才壞.3混聯繫統(tǒng):分解成子系統(tǒng).4橋式系統(tǒng):比較複雜,要用到後面的知識.混聯橋式課堂練習:p2918,20思考題:射擊問題

n名射手輪流向同一目標射擊,命中率均為p.誰先命中誰得勝,都不中則再比下一輪.求排位k者獲勝的概率並討論時的極限意義.解:由前面兩名射手的射擊問題可得結論：瞎貓碰到死耗子Bernoulli試驗:只關心某個事件是否發(fā)生.n重Bernoulli試驗:把Bernoulli試驗獨立地重複做n次.

在重Bernoulli試驗中,我們感興趣的是,在試驗中事件正好發(fā)生次的概率,即問題描述為:

設為重Bernoulli試驗,事件是一次試驗的一個結果,記事件在n重Bernoulli試驗中出現次則問題轉化為求概率

分析設若在前次試驗中出現的是後次試驗中出現的是則相應的概率為注意到在次試驗中出現個其餘為的組合共有個,所以原問題的概率為：由於上述問題與事件的具體內容無關,僅與試驗次數及相關,故一般我們簡記成:其中表示事件在重試驗中出現的次數.而這恰好是二項展開式中的一項,故稱為二項概率.例1:圍棋番棋比賽.見22頁,例1.23結論:多局賽制對高手有利.注:三局兩勝制實際比賽中,連贏兩局不再比三局,在貝努裏概型計算中是拆成勝勝負與勝勝勝.例2設某種杯子,摔破的概率為0.4,連續(xù)摔7個杯子,解此問題是的Bernoulli試驗,由條件求恰好摔破3個杯子的概率.由二項概率公式得相應的概率為:例3某社區(qū)有10部電梯,每部電梯發(fā)生故障的概率為解此問題是的二項概率,則問題為0.2,求在同一時刻有三部電梯發(fā)生故障的概率.求概率由二項概率公式得

該問題可以進一步延伸為:某社區(qū)有200部電梯,每部電梯發(fā)生故障的概率為0.02,電梯發(fā)生故障時,物業(yè)管理部門需要派出一名維修工人進行修理.要保證電梯發(fā)生故障時,物業(yè)管理部門一定有維修工人可以派遣,則一個最可靠的方法是,為每一部電梯都安排一個維修人員.但實際上,沒有一個物業(yè)管理部門會這樣做.現在的問題是,如果我們要求以95%的把握保證當電梯發(fā)生故障時,物業(yè)部門有維修人員可以派遣,則應該聘用多少名維修人員？

若數表示聘用的維修人員數,則發(fā)生故障的電梯臺數不超過問題為即要找到適當的使上式成立.若用公式進行計算,則問題是比較複雜的.在下一章中,我們尋找更好的方法來解決該問題.§1.6全概率公式與貝葉斯公式引例:求進校園銷售的自行車的不合格率.直接按古典概率定義,很難得到數據.如果投放學校的自行車有三種型號分別記為則表示市場佔有率.以B表示不合格的自行車則表示各型號自行車的不合格率.這兩組數據容易得到.能否由這兩組數據算出自行車的不合格率？由可加性得再由乘法定理由條件概率公式得如果,已知買到了不合格的自行車,要看是哪種型號的自行車可能性大,也就是要比較可見與兩個因素,市場佔有率和自身的不合格率有關.這種思路,就是本節(jié)要學的全概率公式與貝葉斯公式.將自行車設定為n種,很容易推到一般情況.完備事件組1設是的一組事件若滿足下列兩條件2則稱是樣本空間的一個劃分或一個完備事件組.

這是一個完備事件組.例設而注:完備事件組是樣本空間的一個劃分.圖示如下.全概公式貝葉斯公式定理1.3設是一完備事件組,且則對任一事件有證明同引例,略.解:先普及曆法.400年一週期.任取一年,求該年有53個周日的概率.若已知該年有53個周日,求該年是閏年的概率.例1曆法問題方法一古典概型每逢4的倍數閏,一共有100個每逢100的倍數不閏,一共有4個每逢400的倍數閏,一共有1個400年中共有100-4+1=97個閏年.方法二利用全概公式

表示平年,則構成一劃分

表示有53個星期天如果已知該年有53個星期天,求該年是閏年的概率.則由已知條件得例2已知肝炎發(fā)病率為萬分之四.用某法檢查肝炎.患者陽性率為95%,正常人陰性率為90%.求反應為陽性者確實得了肝炎的概率.解設A為反應為陽性,為反應為陰性,B為被診斷者患肝炎.先求陽性率反應陽性實際得病這一概率非常小.是否可以不管？事實上高危人群.倍,例3設有三箱產品,其中甲箱有產品120件,次品率⑴隨機取一箱,再取一件,取到的是次品;⑵開箱後混放,從中取一件,取到的是次品.解設表示從甲、乙、丙三箱中取產品,表⑴乙箱有100件,次品率丙箱有200件,次品率求以下概率:示取到的是次品,則由全概率公式⑵由於第二個問題是開箱後混放產品,故取到各箱產品的概率就不同了,此時產品總數為420件,所以再由全概率公式得例4某工廠有三個車間生產同一產品,第一車間的次品率為0.05,第二車間的次品率為0.03,第三車間的次品率為0.01,各車間的產品數量分別為2500,2000,1500件.出廠時,三車間的產品完全混合,現從中任取一產品,求該產品是次品的概率.若已知抽到的產品是次品,求該產品是一車間的概率.解:設為取到第i個車間的產品,B為取到次品由全概率公式得:由貝葉斯公式得:注:一定要寫清事件,公式,不得只寫算式.全概率公式和貝葉斯公式是概率論中的兩個重要公式,有著廣泛的應用.若把事件理解為‘原因’,而把B理解為‘結果’,則是原因引起結果B出現的可能性,是各種原因出現的可能性.全概率公式表明綜合引起結果的各種原因,反映了結果出現的可能性的大??；而貝葉斯公式則反映了當結果出現時,它是由原因引起的可能性的大小,故常用於可靠性問題.如:可靠性壽命檢驗,可靠性維護,可靠性設計等.例5某機器由A,B,C三類元件構成,其所占比例分別為0.1,0.4,0.5,且其發(fā)生故障的概率分別為0.7,0.1,0.2.現機器發(fā)生了故障,問應從哪個元件開始檢查？類；C為元件是C類,則解:設D為發(fā)生故障；A為元件是A類；B為元件是B由貝葉斯公式首次命中時已投籃的次數.在燈泡壽命問題中,我們關心燈泡使用的小時數.對於這類隨機現象,其試驗結果顯然可以用數值來描述,並且隨著試驗的結果不同而取不同的數值.而有些初看起來與數值無關的隨機現象,也常常能聯繫數值來描述.由此引入隨機變數的概念.§2.1

隨機變數例1設隨機試驗為拋硬幣試驗,我們以符號表示出出現正面,出現反面.現的是正面,符號表示出現的是反面,為了更好的刻畫這類隨機試驗,我們引入量化指標:例2設隨機試驗為一次打靶試驗,其基本結果是中與擊中目標,未擊中目標.不中.同樣可以引入量化指標:例3設隨機試驗為一次考試試驗,其基本結果是通過考試通過,考試未通過.與未通過.同樣可以引入量化指標:

在上面的三個例子中,對只有兩個基本結果的隨機試驗,我們可用兩個取值來加以刻畫.並且這樣的刻畫具有一種共性.例4設隨機試驗表示射擊試驗,以表示首次命中時所進行過的射擊次數.則的取值為例5設隨機試驗表示重Bernoulli試驗,以表示事

將上面的問題一般化,我們引入:件在次試驗中出現的次數,則的取值為定義2.1RandomVariable

給定一個隨機試驗,是其樣本空間,如果對中的每一個樣本點,有一個實數與它對應,那麼把稱為一維隨機變數.常用大寫字母等來表示.這個定義域為樣本空間的單值實值函數例6:擲一枚均勻骰子，其樣本空間為定義隨機變數:由於關心的角度不同，我們用不同的對應關係得到不同的隨機變數定義不涉及概率的概念,常寫為,而對實數域上任意數定義表明隨機變數是樣本點的函數,它的集,集合表示一個隨機事件,我們常簡單表示為如在擲硬幣試驗中,擲出正面這個隨機事件可表示為,,,等等.相應的概率應該記為因為不致引起混淆,我們簡記為比如:§2.2概率函數定義:設是上的隨機變數,若的全部可能取值為有限個或可列個(即的全部可能取值可一一列舉出來)注:由定義可知,若樣本空間是離散的,則定義在

上的任何單值實函數都是離散型隨機變數.反之不然.則稱為離散型隨機變數.如射箭的例子中,我們可以將離靶心的距離對應環(huán)數.設離散型隨機變數的值域為事件的概率記為根據概率的定義與性質,滿足12當滿足這兩個條件時,稱為隨機變數的概率函數或分佈律.為某離散型隨機變數的分佈律.反之,任意一個滿足以上二性質的數列,都可以作這為我們求某些特殊級數的和提供了便利.通常,我們把分佈律用如下表格表示：求的概率.假設罰球命中率為0.9,各次罰球是相互獨立的.引例:三分球犯規(guī),罰球3次.隨機事件表示得k分.上一章中有一例子我們用隨機變數來改寫一下.表達既清晰又簡單.例:三分罰籃隨機變數表示得分,則的分佈律為:顯然比寫成四個等式要簡潔直觀.如果我們需要求得分或至少得兩分的概率,那麼,用隨機變數形式表示出來就是可見,分佈律完全刻劃了離散型隨機變數取值的規(guī)律.這樣,對於離散型隨機變數,只要知道它的一切可能取值和取這些值的概率,也就是說知道了它的分佈律,就掌握了這個離散型隨機變數的統(tǒng)計規(guī)律.例1設袋中有5球,編號為從袋中隨機地解以表示取到球的編號,則的取值為因1同理,取一球,以表示取到的球的編號,求的分佈.號球只有一個,故及從而隨機變數的分佈律為

若如果隨機變數的分佈律為:§2.3常用離散型隨機變數10-1分佈則稱服從0-1分佈.記為只有成功和失敗兩種對立結局的試驗稱做貝努利試驗.的概率.例如產品抽樣驗收:抽到不合格品為成功,抽到合格品為失敗;射擊:命中為成功,脫靶為失敗;擲骰子:擲出6為成功,擲出1到5為失敗……貝努利試驗成功的次數服從0-1分佈,參數為成功2二項分佈如果隨機變數的分佈律為則稱服從參數為的二項分佈,記為:1)獨立重複試驗成功次數的分佈設是n

重貝努利試驗成功的次數,則參數p是每次試驗成功的概率．例如n次獨立重複射擊命中的次數服從二項分佈,參數p是每次射擊的命中率.2)自有限總體的還原抽樣(有放回的摸球)設總體X

含N個個體,其中M個具有某種特徵A.設X是n次還原抽樣具有特徵A的個體出現的次數,則其中如果是不還原抽樣呢?那我們有如下超幾何分佈.3超幾何分佈自有限總體的不還原抽樣（無放回的摸球）設總體X

含N個個體,其中M個具有某種特徵A.設X是n次不還原抽樣具有特徵A的個體出現的次數,則約定:當時，二項分佈來近似計算.當N很大時,實際應用時只要,可以用例1從積累的資料看,某條流水線生產的產品中,一級品率為90%.今從某天生產的1000件產品中,隨機地抽取20件作檢查.試求:(1)恰有18件一級品的概率;(2)一級品不超過18件的概率.解設X表示“20件產品中一級品的個數”.由於,因此可以近似地認為(1)所求概率為(2)所求概率為

例2設有保險公司的某保險險種有1000人投保,每個解以隨機變數表示在未來一年中這1000個投保人死人在一年內死亡的概率為0.005,且每個人在一年內是否死亡是相互獨立的.試求在未來一年中這1000個投保人死亡人數不超過10個人的概率.亡的人數,則相應的問題轉變?yōu)榍蟾怕视稍谏鲜街兄苯佑嬎闶潜容^

設當很大很小且適中時有在上例中,取則有困難的,為此我們引入一個簡便的計算方法——即二項分佈的逼近.即在未來一年中這1000個投保人死亡人數不超過10個人的概率為0.986.定理2.1:Poisson定理設,.對於任意一個非負整數k,有證由推得定理2.1中的極限值滿足:因此,它是某個隨機變數的概率函數.

設隨機變數的分佈律為則稱隨機變數服從參數為的泊松分佈,記為泊松分佈的計算:查表三p256-2574泊松分佈例3設求解查表得泊松定理告訴我們,二項概率可以用泊松分佈的概率函數值來近似.不過n應儘量地大,否則近似效果不佳.例4設某社區(qū)有電梯200部,每臺電梯發(fā)生故障的可⑴在同一時刻恰好有5部電梯發(fā)生故障的概率;⑵在同一時刻至少有3部電梯發(fā)生故障的概率;⑶配備多少維修工人,使能以95%的概率,保證當電梯解以表示在同一時刻發(fā)生故障的電梯數,則由條件則所以能性為0.02,求發(fā)生故障時,有維修工人進行維修.得⑴查表得⑵⑶記配備的維修工人數為若有維修工人能進行維修,則所以原問題由概率來反映,即為從而查表得故取即配備8名維修人員,便能以95%的概率,保證當電梯發(fā)生故障時,一定有維修工人進行維修.注:我們把源源不斷地出現在隨機時刻的質點形成的“流”稱做隨機質點流.例如,到達商店的顧客,某道口右轉車輛,打進的電話數,交通事故,重大刑事案件,設備的故障等等.以表示在長為t的時間內出現的其中是單位時間出現的隨機質點的平均個數,稱隨機質點的個數,則服從參數為的泊松分佈.作質點流的強度.五幾何分佈背景:投籃機器人（首次成功時的次數）設投籃命中率為p,各次投籃是相互獨立的.記首次命中時的投籃次數為X則則稱X服從參數為p的幾何分佈6均勻分佈7退化分佈課堂練習p52(4)2,3,88解答:設分別為X取奇數和偶數的概率,顯然解方程組得思考題:投籃機器人第二次成功時的次數為,求的分佈.解:若,則前次中只有一次成功且在任何一次.考慮箭在靶子上的位置,而這個位置是由兩個隨機變數（兩個座標）來確定的.體型主要由身高和體重兩個指標決定.等等.下麵我們先介紹二維隨機變數及其分佈,並推廣到n維.一聯合概率函數個樣本點,有一對有序實數與它對應,的變數稱為二維隨機變數.

設是隨機試驗,是相應的樣本空間,對中的每一那麼,就把這樣一個定義域為,取值為有序實數假定稱為二維隨機變數的聯合概率函數或聯合分佈律.由概率的定義不難得到:聯合概率函數常用分佈表的形式給出:注:不要轉置.一般雙下標前行後列.對平面上任意一個集合D例1設袋中有5球,編號為今從袋中取二球解由條件,隨機變數的可能取值為因號當先取號球,此時還剩4球,其中2號球有2個,故（不放回）,分別以表示第一、二次取到的球的編號,求的分佈律.球只有一個,故相仿地,有由此得到分佈表二邊緣概率函數已知二維隨機變數的聯合分佈,如何求作為一維隨機變數的或的分佈？設的聯合概率函數為:則X遍取各個值的概率因此稱為X的邊緣概率函數.驗證:確實是一個概率函數.因此同樣定義隨機變數的邊緣概率函數.著加,求列和”.如果,的聯合分佈以表格形式給出,則求的邊緣分佈即“橫著加,求行和”;求的邊緣分佈即“豎例2設二維隨機變數有概率函數求邊緣概率函數.解對上表分別作行和及列和,得:由此得邊緣概率函數分別為:及例3箱子中有10件產品,其中2件是次品,每次從箱子中任取一件產品,共取2次,定義隨機變數如下:若第一次取出正品若第一次取出次品若第二次取出正品若第二次取出次品分別就下麵2種情況下求出二維隨機變數的聯合分佈及邊緣分佈⑴放回抽樣;⑵不放回抽樣解⑴放回抽樣時,則有即有分佈表:.⑵不放回抽樣時,則有即有分佈表:.相應的邊緣分佈都為:由此可見,由聯合分佈可以得到邊緣分佈.反之不然.§2.5隨機變數的獨立性與條件分佈

一隨機變數的獨立性考察例3有放回抽樣的情形，我們發(fā)現對一切i,j有引進隨機變數獨立性的概念.這表明事件與是相互獨立的.由此定義:Independent設是二維離散型隨機變數,其聯合概率函數為如果聯合概率函數恰為兩個邊緣概率函數的乘積,即對一切成立則稱隨機變數是相互獨立的問:隨機變數的獨立性與事件的獨立有什麼聯繫?定理2.2:隨機變數相互獨立的充要條件是:對實數域上任意兩個集合,總有定義:多個隨機變數的相互獨立如果隨機變數的聯合概率函數恰為n個邊緣概率函數的乘積,就稱這n個隨機變數相互獨立.例4設是二維隨機變數,相應的分佈律為判斷是否獨立.解因隨機變數的邊緣分佈分別為因對所以隨機變數是相互獨立的.例5設是二維隨機變數,相應的分佈律為判斷是否獨立.解因隨機變數的邊緣分佈分別為因所以隨機變數是不獨立的.注:當隨機變數相互獨立時,邊緣分佈可以決定聯合分佈.反之不然.因此不獨立時,不要隨便乘.二條件概率函數一般情況下,二維隨機變數中的兩個隨機變數取值是相互影響的,比如身高和體重.現在通過條件概率來考察這種影響.比如在某個身高條件下,體重的分佈;或某個體重條件下,身高的分佈.設的聯合概率函數為:如果已知事件發(fā)生,其中j固定,那麼條件概率顯然有即是一個概率函數.定義:設的聯合概率函數為:對於任意一個固定的j,稱為已知事件發(fā)生下,X的條件概率函數.類似地,對於任意一個固定的i,稱為已知發(fā)生的條件下Y的條件概率函數.注:當X與Y取值有限且個數少的情況下，從表格計算很方便.相當於乘法公式,有即已知一個隨機變數的分佈,以及另一個隨機變數在這個隨機變數遍取各個值時的條件分佈,可以決定聯合分佈.當X與Y相互獨立時,條件分佈等於無條件分佈.例6p39例2.5幾何分佈的無記憶性證明:例7p54(6)2.19解:聯合概率函數表格如下,只要填6個空擋.由已知條件可得:從而兩個空擋處是0.由X的邊緣分佈是求行和得到，我們有最後，由Y的邊緣分佈是求列和得到，我們有一、一維隨機變數函數的概率函數一維離散型隨機變數X的函數也是一維離散型隨機變數.已知X的概率函數.如何求其函數的概率函數？設離散型隨機變數X的概率函數為即有分佈律1表格法若為一已知函數,則隨機變數的取值為：將從小到大排序如果有若干值相等,合併相應的為一項.例1設為離散型隨機變數,概率函數為求隨機變數的分佈.所以所以例2設有分佈列求的分佈.解:2公式法已知,求的分佈,並證明步驟一由求得步驟二:對中的任一值,求出概率另類方法:描述設，設則X是n重貝努利試驗中事件A出現的次數,則n-X是n重貝努利試驗中事件出現的次數.則二、二維隨機變數的函數的分佈

設是二維離散型隨機變數,其函數是一維離散型隨機變數.已知的聯合概率函數,如何求其函數的概率函數?1表格法求出諸從小到大排序如果有若干值相等,合併相應的為一項例3設是二維離散型隨機變數,分佈列為求:⑴⑵⑶的概率函數.若要求的聯合分佈,表格中將U,V的值寫成向量.定理2.3設獨立同分佈(以後記成iid)independentidenticaldistribution,

記則注:以後用的更多的是將Y拆成定理2.4:(分佈的可加性)設X與Y相互獨立1當時,2當時,1的證明方法一:利用定理2.3拆X,Y

則1的證明方法二:公式法嚴格證明需說明獨立.2公式法步驟一由求出步驟二對中的任一值,求出概率.2的證明過程與1相似定理2.5p51直觀地看,將相互獨立的隨機變數分成兩部分分別求函數,則兩新的隨機變數相互獨立.課堂練習:p5528解:先求出的分佈,由定理2.5及已知條件,它們獨立同分佈,再求思考題:設隨機變數X,Y相互獨立且都服從參數為p的幾何分佈.求X+Y的分佈.解:等式右端的事件的形式是一樣的.可見,只要對一切實數x給出概率則任何事件及它們的可列交、可列並的概率都可求得.從而並決定了隨機變數X的一切概率特徵.由此引入定義:

完全刻劃了隨機變數X的統(tǒng)計規(guī)律,為隨機變數的分佈函數.定義3.1設是隨機變數,稱定義域為的實值函數為強調是X的分佈函數，有時記成§3.1

分佈函數

求分佈函數解若則為不可能事件,因而若則所以例1設為隨機變數,取值為相應的分佈律如下若則所以同理,當有當從而的分佈函數為:離散型隨機變數的分佈律與分佈函數的互相轉換:向左看,累加;向上看,遞減.注:用概率函數來刻劃離散型隨機變數的統(tǒng)計規(guī)律性更有效,更直接.例2求區(qū)間上的亂數X的分佈函數.解:0,1將實數軸分為三部分定理3.1分佈函數的性質⑴有界⑵單調不減⑶極限性質(4)右連續(xù)定理3.2對於任意一個隨機變數X，X的分佈函數在處連續(xù)的充要條件是證明思路:必要性由夾逼性即得充分性證明要用到:定義3.2二維隨機變數的分佈函數二元實值函數給定一個二維隨機變數,稱定義在整個平面的為隨機變數的分佈函數,或稱為X與Y的聯合分佈函數.其幾何意義為:

表示隨機點落在無界區(qū)域D中的概率.定理3.3聯合分佈函數的性質1有界性2單調不減3極限性質4右連續(xù)5代數式對任意的有§3.2概率密度函數考察區(qū)間上的亂數X的分佈函數.除了兩個尖點,函數的曲線很光滑.作的導函數.改造成:由高數知識:則稱為連續(xù)型隨機變數,函數稱為相應的概率密度函數.定義3.3給定一個隨機變數,如果存在一個定義域為整個實