2022年北京高考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

絕密★本科目考試啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，

在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,

選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<xW1},則4A=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)(J[1,3)C.1-2,1)D.

(-3,-2]U(1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】由補(bǔ)集定義可知：6，A={x|-3<xK-2或1<X<3},即

dA=(T-2]U(1,3),

故選：D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=3—4i,則忖=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出z,再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.

【詳解】由題意有z=三曳=°=_4_3i,故|z|=J(—4,+(—3)2=5.

故選：B.

3.若直線2x+y-l=0是圓(x—〃)2+y2=i的一條對(duì)稱軸，則。=()

11

A.~B.---C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】

【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解.

【詳解】由題可知圓心為(a,0),因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即

2^+0-1=0,解得〃=’.

2

故選：A.

4-己知函數(shù)2）=￡,則對(duì)任意實(shí)數(shù)為有（）

A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=O

D./(-x)-/(x)=1

C./(-x)+/(x)=l

【答案】C

【解析】

【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.

11>1

【詳解】/(—x)+/(x)=」一+一一二」一十—1—=1,故A錯(cuò)誤，C正確;

八)八)l+2-r1+2l1+2"1+2V

2T]_2

f（-x]-f（x]=-------------------=------------------不常數(shù)，故BD

八，八）1+2力1+2*1+2*1+2、2'+1--2,+1

錯(cuò)誤；

故選：C.

5.已知函數(shù)/（xXcos2x-sin。，則（）

（TC7t\（7171\

A./⑶在一],一%?上單調(diào)遞減B.〃x）在一1,五上單調(diào)遞增

（717萬(wàn)、

C./（X）在上單調(diào)遞減D.7（x）在|一,—上單調(diào)遞增

（412；

【答案】C

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)得出/（x）=cos2x,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?f(x)=cos2x-sin2x=cos2x.

JTjrTT則/（X）在[一、菅）上單調(diào)遞

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)---<X<---時(shí)，—"<2x<---

263

增，A錯(cuò);

R4冗冗/jr7T\

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)一一時(shí)，一一<2x<一則/（X）在卜W，丘J上不單調(diào)，B

41226

錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<?時(shí)，0<2x〈子，則/（x）在（（）,5]

上單調(diào)遞減，C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)工（龍<Z工時(shí)，-<2x<—,則/（x）在二）上不單調(diào)，D錯(cuò).

41226'，（412J

故選：C.

6.設(shè)｛%｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“｛a,,｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N。，當(dāng)

〃>N0時(shí)，an>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%,｝的公差為d，則。。（），利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條

件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d，則〃￥（）,記［同為不超過x的最大整數(shù).

若｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0,

若q20,則當(dāng)“22時(shí)，??>?,>0；若4<0,則a“=4,

由a“=q+（〃-1）4>0可得〃>1一號(hào)，取N0=1一號(hào)+1,則當(dāng)〃>此時(shí)，an>0,

所以，"｛a'｝是遞增數(shù)列”="存在正整數(shù)No，當(dāng)"〉No時(shí)，?！?gt;0”；

若存在正整數(shù)M）,當(dāng)〃>或時(shí)，an>Q,取上eN.且人>乂，ak>Q,

假設(shè)d<0,令a.=4+（〃一女）d<0可得〃>上一號(hào)，旦k-號(hào)）k,

當(dāng)“〉k*+1時(shí)，a?<0,與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則。>0,即數(shù)列｛a,,｝是遞增

數(shù)列.

所以，”｛《,｝是遞增數(shù)列存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃>乂時(shí)，％〉?！?

所以，”｛%｝是遞增數(shù)歹『'是"存在正整數(shù)N0,當(dāng)〃>N0時(shí)，%>0”的充分必要條件.

故選：C.

7.在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，

為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和IgP的關(guān)

系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,。=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)T與IgP的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)T=220,。=1026時(shí)，lgP>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)T=270,P=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)T=300,Q=9987時(shí)，IgP與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，

另一方面，T=300時(shí)對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.

當(dāng)7=360,尸=729時(shí)，因2<lgP<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

4432

8.(2x-1)=a4x+?3x+a2x+atx+a0,則/+4+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】

［分析］利用賦值法可求%+。2+?4的值.

【詳解】令X=1,則4+。3+4+4+“0=1，

令x=_1,則2-q+凡—G+4=(—3)=81,

1+81

故+40=41,

2

故選：B.

9.已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是AABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集

合7={。65|75。45},則7'表示的區(qū)域的面積為（）

37t

A.——B.冗C.2〃D.3萬(wàn)

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以尸為球心，5為半徑的球與底面A3C的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

設(shè)頂點(diǎn)P在底面上的投影為。，連接80,則。為三角形A8C的中心，

且80=2x6x3=26，故P0=J36-12=2而

32

因?yàn)镻Q=5,故。。=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

而三角形ABC內(nèi)切圓的圓心為。，半徑為2.乎乂36二],

故S的軌跡圓在三角形ABC內(nèi)部，故其面積為萬(wàn)

故選：B

10.在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且

PC=1,則麗?麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.i,6]

【答案】D

【解析】

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cosO,sin。），表示出再，PB，根據(jù)數(shù)量積

的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0,0）,A（3,0）,8（0,4）,

因?yàn)镻C=1,所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)P(cos3,sin。),6w[0,2司,

所以PA=(3-cos。,-sin,PB=(-cos4-sinO'),

所以24.QB=(—cos)9)x(3-cose)+(4-sine)x(-sin。)

=cos2夕一3cos夕一4sinS+sin?0

=l-3cos8-4sin（9

=1—5sin（e+0）,其中sin夕=[,cose=1,

因?yàn)橐籰〈sin（e+e）〈l,所以-4Wl-5sin（e+0）W6,即可.麗e[T,6]；

故選：D

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/（x）='+J二7的定義域是.

X

【答案】（，》,（））。（0』

【解析】

【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可;

【詳解】解：因?yàn)?/⑺、工1+心/----'-所以J[1—ox0'解得XVI且

故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

故答案為：(F,0)D(0,l]

12.已知雙曲線V+工=1的漸近線方程為y=±且X，則加=.

m3

【答案】-3

【解析】

【分析】首先可得加＜0,即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到“、b,再跟漸近線方

程得到方程，解得即可；

2

【詳解】解：對(duì)于雙曲線^+三=1,所以加＜0,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

m

則夕=1,b=又雙曲線/+工=1的漸近線方程為y=±五X,

m3

所以@=正，即_==也，解得根=一3；

b3J-m3

故答案為：-3

I~~兀

13.若函數(shù)/(x)=Asinx-石cos尤的一個(gè)零點(diǎn)為則從=—

【答案】①.1②.-y/2

【解析】

7T

【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡(jiǎn)為/(x)=2sin(x—1),代入自變量

TT

x=—,計(jì)算即可.

12

【詳解】?.?/(1)=*A—*=0,，A=1

/(x)=sinx-6cosx=2sin(x--)

/(3=2sin(M/)=_2sin之-垃

121234

故答案為：1,—>J2

[-ax+\,x<a,

14.設(shè)函數(shù)/(x)=若/(x)存在最小值，則a的一個(gè)取值為________；,

(x-2)2,x>a.

的最大值為.

【答案】①.0(答案不唯一)②.1

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)>=-如+1的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，a=0符合條

件，不符合條件，。>0時(shí)函數(shù)y=-?+1沒有最小值，故/a)的最小值只能取

y=(x-2)2的最小值，根據(jù)定義域討論可知-"+120或——2六解得

0<6Z<l.

1,x<0

【詳解】解：若a=0時(shí)，fM={.\/(x)=0

(x-2),x>0min;

若a<0時(shí)，當(dāng)x<a時(shí)，/(x)=-"+1單調(diào)遞增，當(dāng)x--8時(shí)，/(x)f-oo,故f(x)

沒有最小值，不符合題目要求;

若a>0時(shí),

當(dāng)x<a時(shí)，/(x)=-ax+l單調(diào)遞減，f(x)>f(a)=-a2+\,

0(0<a<2)

當(dāng)時(shí)，/(x)={

min(a-2)(a>2)

??—a~+1N0或—a~+12(a—2)">

解得Oca,

綜上可得OWaWl；

故答案為：0(答案不唯一)，1

15.己知數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前“項(xiàng)和S”滿足ajS“=9(〃=l,2-.).給出下列四

個(gè)結(jié)論：

①｛a,,｝的第2項(xiàng)小于3；②｛a.｝為等比數(shù)列；

③｛??｝為遞減數(shù)列；④｛凡｝中存在小于焉的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】

99

【分析】推導(dǎo)出％=--------，求出/、小的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；

4%

利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.

【詳解】由題意可知，V〃eN*，?！埃?，

當(dāng)〃=1時(shí)，a：=9,可得q=3；

。9。999

當(dāng)時(shí)，由S“=一可得S“_|=---,兩式作差可得?！?--------,

an%anan-X

999

所以，---=----a”，則----4=3,整理可得。；+3°2-9=(),

4ai'

因?yàn)椤?,解得外=之年曰＜3,①對(duì)；

AQVO1

假設(shè)數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為9,則代=G%，即—=-.

所以，S；=S§,可得a；(l+q『=4(1+4+42),解得q=o,不合乎題意，

故數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列,②錯(cuò)；

999(Q_ci)

當(dāng)〃22時(shí)，??=--------=-^—〃＞0,可得見〈%t，所以，數(shù)列｛4｝為遞減

a?a,,-\anan-\

數(shù)列，③對(duì)；

假設(shè)對(duì)任意的〃eN*,可?看，則，ooooo2100000x^=1000,

9,91

所以，%xxw=^—?17肅＜痂，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì)?

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證

法來進(jìn)行推導(dǎo).

三、解答題共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在AABC中，sin2C=V3sinC.

(1)求NC；

(2)若8=6,且AABC的面積為6百，求AABC的周長(zhǎng).

7T

【答案】(1)7

O

⑵6+66

【解析】

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角

C的值；

（2）利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得AABC的

周長(zhǎng).

【小問1詳解】

解：因?yàn)镃e（O,乃）,則sinC>0,由已知可得GsinC=2sinCcosC，

可得cosC=2叵，因此，C=~.

26

【小問2詳解】

解：由三角形的面積公式可得LBc=g"sinC=|a=6G，解得a=4jL

由余弦定理司,得c2=a2+/-2a8cosC=48+36-2*47jx6xJ=12，

2

c=2#）,

所以，AABC的周長(zhǎng)為a+b+c=6G+6.

17.如圖，在三棱柱ABC—4B|G中，側(cè)面BCC4為正方形，平面BCCg,平面

ABB|A，A3=3C=2,M,N分別為AC的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面BCGB］；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面8MN所成

角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）取AB的中點(diǎn)為K，連接MK,NK,可證平面〃平面,從而可

證MN〃平面C88C.

（2）選①②均可證明8月，平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空

間向量可求線面角的正弦值.

【小問1詳解】

取AB的中點(diǎn)為K，連接MK,NK,

由三棱柱ABC-44cl可得四邊形ABB,A,為平行四邊形，

而gM=AM,，BK=必，則MKHBB、,

而平面C8BC，84匚平面。8旦6；,故MK〃平面C88C，

而CN=NA,BK=KA,則NK//BC,同理可得NK〃平面，

而NKAMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面0BBC,而M?Vu平面MKN,故的V〃平面CBBg,

小問2詳解】

因?yàn)閭?cè)面CBB?為正方形，故CB，BB,,

而CBu平面CBB?,平面CBB￡_L平面ABB.A,,

平面CBgGc平面A=6與，故C8_L平面ABB,A,,

因?yàn)镹K//BC,故NK_L平面ABB,人，

因?yàn)锳Bi平面A881A，故NKLA8,

若選①，則而NK工AB,NK^MN=N,

故AB_L平面肱VK,而MKu平面MNK,故ABLMK，

所以A6D3-而C8_L84，CBcAB=B,故84_L平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,"（0,l,2）,

故麗=（0,2,0）,麗=（1/,0）,麗=（0,1,2）,

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

nBN=0x+y=O-/、

則______,從而，），+2z=0'取z=T'則〃=（一2,2,-1）,

n-BM=Q

設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為。，則

/-----\42.

sin6=cos(n,AB)=----=—.

\/2x33

若選②，因NK//BC,故NKL平面46片4,而KMu平面MKN,

&NKLKM,而4〃=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B1B=MK=2,MB=MN,故,ABB[M*MKN,

所以NBB]M=NMKN=90°,故耳耳，BB,,

而C8L34，CBcAB=3,故平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故麗=(0,2,0),麗=(1,1,0),麗:=((),1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為3=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0

則＜從而，取z=T，則3=(-2,2,-1),

n-BM=0y+2z=0

設(shè)直線A6與平面BMW所成的角為。，則

sin0=jcos^n,印有，=g-

18.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上

（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、

乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E

(X)；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證

明)

7

【答案】(1)0.4(2)y

(3)丙

【解析】

【分析】(1)由頻率估計(jì)概率即可

(2)求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.

(3)計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估

計(jì)值最大.

【小問1詳解】

由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為04

【小問2詳解】

設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件4，丙獲得優(yōu)秀為事件4

--------3

P(X=O)=P(AA2A3)=O.6XO.5XO.5J,

P(X=I)=尸(AA4)+A)+P(A可A)

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——，

20

P(X=2)=P(AAA)+P(AAA,)+)

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——，

20

2

p(X=3)=尸(444)=0.4x0.5x0.5=——.

；.x的分布列為

X0123

3872

p

20202020

32727

E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=-

202020205

【小問3詳解】

丙奪冠概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為1，甲獲得

4

9.80的概率為,，乙獲得9.78的概率為并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽

106

次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.

22

19.已知橢圓：E:「+當(dāng)=l（a>b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)為4（0,1）,焦距為26-

a~b"

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)P（-2,1）作斜率為4的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB,AC分別與

x軸交于點(diǎn)N,當(dāng)|例N|=2時(shí)，求上的值.

2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）k=-4

【解析】

b=]

【分析】⑴依題意可得（2c=2g,即可求出“，從而求出橢圓方程;

c2=a2-b2

（2）首先表示出直線方程，設(shè)5（玉,M）、C（Z，%）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋

達(dá)定理，由直線AB、4C的方程，表示出與、/，根據(jù)|MN|=|乙一得到方程，

解得即可；

【小問1詳解】

解：依題意可得b=l,2c=2日又。2=儲(chǔ)一〃，

所以4=2,所以橢圓方程為L(zhǎng)+y2=i；

4-

【小問2詳解】

解：依題意過點(diǎn)網(wǎng)―2,1）的直線為y-l=Z（x+2）,設(shè)3（X|,y）、CH，%）,不妨令

-2<%]<x2<2,

y-1=k(x+2)

由“22，消去y整理得(1+4公)d+06&2+8左卜+儂2+啾=0,

[4+y=1

所以△=(16公+8攵『—40+4k2)(16%2+16攵)>0,解得&<0,

16k2+SkI6k2+16k

所以％+々=

1+4左21+4公

V.-1x

直線AB的方程為曠一1="一X,令y=o,解得%=4

玉1-X

直線AC的方程為、-1=乙一X,令y=o,解得A=L

41-當(dāng)

所以|MN|=%一%|一一丁匚

I—%―y

即x+x_=網(wǎng)[龍

\(i2)_4XIX22%+2(/+%)+4]

HI1If16/+8左丫“16左2+16%1/16攵？+16ZJ16公+8八/

即』........--4x-------=k------—+2--------+4

出1+4二)1+4/111+422(1+軟2J

即

，(2火2+左)2_(]+4.2)(氏2+1)=H[16%2+1一2(1642+84)+4(1+442)]

整理得8G=4網(wǎng)，解得左=T

20.已知函數(shù)f\x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程;

(2)設(shè)g(x)=7'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s/e(0,+8),有/(s+f)>/($)+/?).

【答案】(1)丁=%

(2)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；

(2)在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；

(3)令加0)=/*+0―/0),(13>0),即證加(x)>機(jī)(0),由第二問結(jié)論可知啾x)

在［0,+8)上單調(diào)遞增，即得證.

【小問1詳解】

解：因?yàn)?(x)=e'ln(l+x),所以/(0)=0,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

又尸(x)=e，(ln(l+x)+J-),

...切線斜率左=r(o)=i

切線方程為：y=x

【小問2詳解】

解：因?yàn)間(x)=y'(x)=e*(ln(l+x)+—!一),

1+x

21

所以g'(x)=e*(ln(l+x)+-------b)，

1+x(1+x)

21

令h(x)=ln(l+x)+----------；■,

1+x(1+x)

.,122+1

則h(X)=------------+-----=-----r>0,

1+x(1+X)一(1+x)73(1+x)3

.?"(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

h(x)>/z(0)=l>0

...g'(X)>0在［0,+8)上恒成立，

g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

解：原不等式等價(jià)于f(S+0-/(5)>/(/)-/(0),

4m(x)=f(x+t)-f(x),(x,t>0),

即證加(x)>加(0),

m(x)-f(x+t')-f(x)=ex+'ln(l+x+r)-evln(l+x),

mr(x)=ex+,ln(l+x+r)+--------eAln(l+x)------=g(x+/)-g(x),

l+x+rl+x

由(2)知g(x)=/'(x)=e'(ln(l+x)+占)在［0,”)上單調(diào)遞增，

/.g(x+，)>g(x),

/.m(x)>0

在(0,+oo)上單調(diào)遞增,又因?yàn)閤,/>0,

m(x)>m(0),所以命題得證.

21.已知。：4，々，…，%為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)〃?，若對(duì)任意的“e{1,2,…，間，

在。中存在4，《+1，4+2，…,4+)(/20),使得q+aM+?,+2+…+4+)=〃，則稱。為

帆一連續(xù)可表數(shù)列.

(1)判斷Q：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(2)若。：4,%，…，4為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：上的最小值為4；

(3)若。嗎,。2,…,%為20-連續(xù)可表數(shù)列，且q+4+…+%<20,求證：k>7.

【答案】(1)是5-連續(xù)可表數(shù)列；不是6-連續(xù)可表數(shù)列.

(2)證明見解析.(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)直接利用定義驗(yàn)證即可；

(2)先考慮左<3不符合，再列舉一個(gè)k=4合題即可；

(3)攵<5時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論％=6時(shí)，由6+々+…+&<20可

知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是-1,然后分類討論驗(yàn)證不行即可.

小問1詳解】

4=1,4=2,4+。2=3,4=4,生+。3=5，所以。是5-連續(xù)可表數(shù)列；易

知，不存在使得。,+。卬+…+。3=6,所以。不是6-連續(xù)可表數(shù)列.

【小問2詳解】

若左<3,設(shè)為Q：仇c,則至多a+6,/?+cM+6+c,a,6,c,6個(gè)數(shù)字，沒有8個(gè)，矛盾：

當(dāng)出=4時(shí),數(shù)列。：1,4,1,2,滿足q=l,%=2,a3+a4=3,4=4,4+4=5,

q+%+%=6,%+。3+%=7,q+/+%+%=8,km.n=4.

【小問3詳解】

Q:4,4一?,%，若，=/最多有％種，若，打，最多有C；種，所以最多有

=也由種，

k2

若左W5,則4,。,,…,見至多可表‘（5+1）=15個(gè)數(shù),矛盾，

2

從而若女<7,則A=6,a/,c,d,e,/至多可表嗎a=21個(gè)數(shù)，

^a+b+c+d+e+f<20,所以其中有負(fù)的，從而a,"c,d,e,/可表卜20及那個(gè)負(fù)數(shù)

（恰21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒有0,且這個(gè)負(fù)的在/中絕對(duì)值最小，同

時(shí)中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為,

則所有數(shù)之和>m+l+m+2-^---\-m+5-m-4/n+15,4m+15<19=>m=l,

:.{a,b,c,d,e,f}={-WA,5,6},再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足20個(gè),

?.?1=一1+2（僅一種方式），

.?.—1與2相鄰，

若-1不在兩端，則？，-1,2,____，—"形式，

若尤=6,則5=6+（-1）（有2種結(jié)果相同,方式矛盾），

：.xx6,同理x#5,4,3,故—1在一端，不妨為7,2,A旦￡,旦"形式，

若4=3,則5=2+3（有2種結(jié)果相同，矛盾），A=4同理不行，

A=5,貝ij6=-l+2+5（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而A=6,

由于7=—1+2+6,由表法唯一知3,4不相鄰,、

故只能T,2,6,3,5,4,①或—1,2,6,45,3,②

這2種情形，

對(duì)①：9=6+3=5+4,矛盾，

對(duì)②：8=2+6=5+3,也矛盾，綜上左。6

:.k>7.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛，先理解題意，是否為機(jī)-可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項(xiàng)（可

以是一項(xiàng)）之和能表示從1到"?中間的任意一個(gè)值.本題第二問ZW3時(shí)，通過和值可能個(gè)

數(shù)否定后43；第三問先通過和值的可能個(gè)數(shù)否定左<5,再驗(yàn)證后=6時(shí)，數(shù)列中的幾項(xiàng)如

果符合必然是{-1,2,3,4,5,6}的一個(gè)排序，可驗(yàn)證這組數(shù)不合題.

供您練習(xí)用：

高考成語(yǔ)填空題專項(xiàng)訓(xùn)練（一）I001-030

1.雖然沒有名角親自傳授指點(diǎn)，但他長(zhǎng)年在戲園子里做事，（），各

種戲路子都熟悉了。

2.每當(dāng)夜幕降臨，飯店里（），熱鬧非常。

3.宇文強(qiáng)縣長(zhǎng)說："全縣就你一個(gè)人當(dāng)上了全國(guó)勞模，無論怎么說也是

（）了！"

4.關(guān)于金字塔和獅身人面像的種種天真的、（）的神話和傳說，說

明古埃及人有著極為豐富的想象力。

5.這次選舉，本來他是最有希望的，但由于他近來的所作所為（），

結(jié)果落選。

6.北京大學(xué)“五四劇社”為百年校慶排練的話劇《蔡元培》是否會(huì)以全新

的風(fēng)格出現(xiàn)在舞臺(tái)上，大家都（）。

7.五十年來，我國(guó)取得了一批批舉世矚目的科研成果，這同幾代科技工作

者（），忘我工作是密不可分的。

8."崇尚科學(xué)文明，反對(duì)迷信愚昧"圖片展，將偽科學(xué)暴露得

（）,使觀眾深受教育。

9.二惡英成了當(dāng)今詞匯以后，各種媒體對(duì)它的“包裝"可謂（）。有

的寫成"二惡英"，有的寫成“二惡因"，有的寫作“二巫英"。

10.她從小就養(yǎng)成了自認(rèn)為高人一等的優(yōu)越感，即使在醫(yī)院里要?jiǎng)e人照

顧，也依然（），盛氣凌人。

11.本來還不錯(cuò)的一篇文章，讓你們這樣改來改去，反而改得（）

了。

12.為了這個(gè)新產(chǎn)品的問世，他可是（），辛勤的汗水終于換來了成

功的喜悅。

13.下面，就讓我們一起來欣賞古瓷的細(xì)潤(rùn)秀美、古玉的豐腴有澤和古錢

的（banboluli）吧。

14.面對(duì)（）的現(xiàn)代觀念，他們能從現(xiàn)實(shí)生活的感受出發(fā)，汲取西方

藝術(shù)的精華，積極探索新的藝術(shù)語(yǔ)言。

15.《康熙王朝》是一部以史實(shí)為依據(jù)的（），它囊括了康熙在位時(shí)

所有的重大歷史事件。

16.經(jīng)過一代代工匠們的努力，這一精湛的傳統(tǒng)制陶工藝（），并在

新的時(shí)代不斷得到發(fā)展。

17.濫挖天山雪蓮現(xiàn)象日益猖獗的原因之一是，違法者眾多且分布廣泛，

而管理部門人手不足，因此執(zhí)法時(shí)往往（）。

18.今年頭場(chǎng)雪后城市主干道上都沒有發(fā)生車輛擁堵現(xiàn)象，在這種秩序井

然的背后，包含著交通部門（）的辛勞。

19.一項(xiàng)社會(huì)調(diào)查顯示，如果丈夫的收入低于妻子，一部分男性難免會(huì)

（），甚至無端地對(duì)自己進(jìn)行心理折磨。

20.時(shí)下，田園風(fēng)光游、農(nóng)家樂等鄉(xiāng)村旅游很流行，滿足了人們走近自

然、（）的愿望。

21.本屆影展表現(xiàn)出參賽者對(duì)民俗攝影的深刻理解，參賽作品的題材從日

常生活習(xí)俗、人物服飾到節(jié)慶活動(dòng)應(yīng)有盡有，真是（）。

22.這部電視劇雖然遭到了一些人的尖銳批評(píng)和指責(zé)，但是批評(píng)者認(rèn)為，

作者的創(chuàng)作動(dòng)機(jī)是（）的。

23.這部剛獲得大獎(jiǎng)的小說深刻地揭示了新與舊、美與丑、文明與野蠻等

（）的矛盾。

24.美國(guó)作家歐?亨利具有超群的才華和豐富的想象力，其小說的結(jié)尾往往

別出心載，（）o

25.17年（），2003年中國(guó)女排終以11戰(zhàn)全勝的成績(jī)奪回世界杯

賽冠軍的稱號(hào)。

26.也許是大家都知道巴金老人對(duì)玫瑰（），一束束象征熱情與朝氣

的紅玫瑰將冬日里巴老的病房裝點(diǎn)得春意盎然。

27.他多次在千鈞一發(fā)之際逃過仇敵追殺，但百密一疏，一年前不慎泄露

行蹤，最終未能（）。

28.世界上很難再找到像巴黎這樣的城市：古典高雅的韻味和現(xiàn)代時(shí)尚的

潮流完美地融為一體，既充滿反差，又（）。

29.根據(jù)犯罪嫌疑人的供述，警方?jīng)Q定（shuntengmogua）尋找在幕后

操縱的黑手，最終全面破獲了這起產(chǎn)供銷一條龍的制販毒大案。

30.雖然中國(guó)隊(duì)小組賽初戰(zhàn)告捷，但從比賽中整個(gè)球隊(duì)在戰(zhàn)術(shù)意識(shí)、進(jìn)攻

手段和體能上的表現(xiàn)來看，也只能說是（）。

參考答案：

1.耳濡目染：耳聽眼見，不知不覺受到影響。

2.燈紅酒綠：雙義兩可成語(yǔ)，既形容尋歡作樂的腐化生活（貶義詞），也

形容都市或娛樂場(chǎng)所夜晚的繁華景象。

3.鳳毛麟角：比喻罕見而珍貴的人才或事物。

4.想入非非：雙意兩可成語(yǔ)，既指思想進(jìn)入虛幻境界，完全脫離實(shí)際（中

性詞）；又指胡思亂想（貶義詞）。此處用作中性詞，可以理解為“一般人的

認(rèn)識(shí)力達(dá)不到的玄妙境界"。

5.不孚眾望:不使人們信服。孚，使人信服。

6.拭目以待：擦亮眼睛等待，形容殷切期望或等待某件事情的實(shí)現(xiàn)（多指

好的事）。

7.彈精竭慮：用盡精力，費(fèi)盡心思（褒義詞）。

8.淋漓盡致：形容文章或談話詳盡透徹，也可指暴露得很徹底。

9.五花八門：比喻花樣繁多或變幻多端。

10.頤指氣使：不說話而用面部表情來示意，指有權(quán)勢(shì)的人傲慢的神氣

（貶義詞）。

11.不三不四：雙義兩可成語(yǔ)，一是指人不正派，二是指事物不像樣子。

句中取第二個(gè)意思。

12.不遺余力：用盡全部力量，一點(diǎn)也不保留。

13.斑駁陸離：形容色彩繁雜。

14.光怪陸離：光彩奇異，色澤繁雜，形容奇形怪狀，各式各樣。

15.鴻篇巨制：規(guī)模宏大的著作（大部頭）。

16.薪盡火傳：前一根火柴剛燒完，后一根火柴已經(jīng)燒著，火永遠(yuǎn)不熄；

比喻師生傳授，學(xué)問一代代地繼承下去。

17.捉襟見肘：拉一下衣服襟就露出胳膊肘兒，形容衣服破爛；也比喻困

難重重，應(yīng)付不過來。

18.未雨綢繆：趁著天沒有下雨，先修繕好房屋門窗；比喻事先做好準(zhǔn)

備。

19.自慚形穢：因自己容貌舉止不如別人而感到慚愧，后來泛指自愧不如

別人。

20.返璞歸真：去其外飾，恢復(fù)其本真。

21.蔚為大觀：豐富多彩，成為盛大的景象（多指文物等）。

22.無可厚非：不可以過分責(zé)難。

23.錯(cuò)綜復(fù)雜：形容頭緒繁多，情況復(fù)雜。

24.匪夷所思：事物怪異或人的言行離奇，不是一般人按照常理所能想象

的。夷，平常。

25.臥薪嘗膽：形容人刻苦自勵(lì)，立志為國(guó)家報(bào)仇雪恥（語(yǔ)文匠注：褒義

詞）。

26.情有獨(dú)鐘：因?qū)δ橙嘶蚰呈挛锾貏e喜爰而感情專注。

27.幸免于難：僥幸地避免了災(zāi)難。

28.相得益彰：兩者相互幫助，互相補(bǔ)充，更能顯出好處。

29.順藤摸瓜：比喻沿著發(fā)現(xiàn)的線索追究根底。

30.差強(qiáng)人意：大體上使人滿意。

高考成語(yǔ)填空題專項(xiàng)訓(xùn)練（二）I031-060

31.和煦的春風(fēng)帶來生機(jī)盎然的季節(jié)，學(xué)校社團(tuán)的招新活動(dòng)再次成為一道

亮麗的風(fēng)景線，男女學(xué)生（），踴躍報(bào)名。

32.東方大學(xué)城在短短四年內(nèi)就以2.1億元自有資金獲取了13.7億元巨

額利潤(rùn)，這種驚人的財(cái)富增長(zhǎng)速度確實(shí)（）。

33.很多教師和學(xué)生都有這樣的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，在考試前一定要保持輕松的

心態(tài)，采用疲勞戰(zhàn)術(shù)和題海戰(zhàn)術(shù)只能（）。

34.這次巴勒斯坦人士遭暗殺的事件，使得中東和平的前景再一次成為

（）。

35.美元近期在外匯市場(chǎng)的疲軟走勢(shì)，使長(zhǎng)期處于低迷狀態(tài)的歐洲經(jīng)濟(jì)

（）。

36.歐洲一些國(guó)家從自身利益考慮，在許多重大國(guó)際問題上不再惟美國(guó)

37.這些年每聽到親友去世的消息，總令我無比傷感，尤其是這回

（）的老伴遠(yuǎn)行，對(duì)于我這個(gè)年已九十且神經(jīng)衰弱的老人，真像天塌了一

樣。

38.從我國(guó)目前的實(shí)際情況看，"高薪”不一定能收到"養(yǎng)廉”的效果，

因?yàn)樨澒傥劾舯緛砭褪牵ǎ⒉皇且驗(yàn)槭杖刖S持不了生計(jì)才搞腐敗的。

39.一項(xiàng)社會(huì)調(diào)查顯示，現(xiàn)在很多中學(xué)生在學(xué)校里見到老師都能親切問

好，而見到燒鍋爐的、打掃廁所的和食堂打飯的工人師傅，卻都（）O

40.早在30年代，他就因創(chuàng)作長(zhǎng)篇小說《夢(mèng)之音》而（），成為京派

作家的后起之秀。

41.我始終沒來得及按照總編的要求修改這個(gè)劇本，幾年來我一直

（）,深感有負(fù)他的囑托。

42.在現(xiàn)代社會(huì)生活中，電視和電腦這一對(duì)時(shí)代的寵兒，對(duì)我們來說幾乎

是（）的。

43.老張今年65歲，（），思維敏捷，干起活來一點(diǎn)也不比年輕人

差。

44.光明村委會(huì)提出，在旅游淡季積極開展果品銷售，將旅游業(yè)和果業(yè)的

開發(fā)有效地結(jié)合起來，這與專家的意見（）。

45.個(gè)別民警認(rèn)為工作時(shí)間飲點(diǎn)酒是小事一樁，就（），結(jié)果因違犯

公安部頒布的"五條禁令"而受到查處。

46.要真正營(yíng)造一個(gè)細(xì)胞生長(zhǎng)的（）也不是一件易事，除了要有合適

的培養(yǎng)基之外，還需要許多其他條件。

47.中央書記處書記到黨?？赐谶@里學(xué)習(xí)的紀(jì)檢監(jiān)察系統(tǒng)的學(xué)員，

（）地詢問他們?cè)诨鶎庸ぷ鞯那闆r。

48.這里有我汗水浸過的土地，這里有我患難與共的親友，這里有我

（）的妻子，這里有我生命的根。

49.為了縮短時(shí)間，突擊隊(duì)躲開樓房林立的大院，潛入瓦房（）的胡

同，出其不意，取捷徑，奔襲望海樓。

50.木船在風(fēng)浪中劇烈地?fù)u晃著，那人卻穩(wěn)穩(wěn)地站立著，就像一個(gè)身懷絕

技的騎士，騎在一匹（）的野馬上，任憑野馬狂奔，他卻泰然自若。

51.交易會(huì)展覽大廳里陳列的一件件色澤瑩潤(rùn)、（）的玉雕工藝品，

受到了來自世界各地客商的青睞。

52.他雖然很年輕，作品也不多，但在漫畫創(chuàng)作方面已是（），小有

名氣，受到同行的普遍贊賞。

53.這事你現(xiàn)在做不了,就不要（）,以后有條件再做不遲。

54.在國(guó)企改革中，某些人"（廠’，打著企業(yè)改制的幌子，侵吞

國(guó)有資產(chǎn)。

55.2008年北京奧運(yùn)會(huì)不僅要辦成體育競(jìng)技盛會(huì)，而且要辦成各國(guó)運(yùn)動(dòng)

員歡聚一堂、多元文化（）的人類文化慶典。

56.該研究所在其（）的2005年度報(bào)告《重要現(xiàn)象》中寫道，中國(guó)

在世界經(jīng)濟(jì)強(qiáng)勁增長(zhǎng)的過程中起了重要作用。

57.近日面世的《共和國(guó)萬(wàn)歲》郵票珍藏大系，版面設(shè)計(jì)（），郵票

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