空間直角坐標(biāo)系

空間直角坐標(biāo)系預(yù)備知識數(shù)軸Ox上的點(diǎn)M

直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)MxOyAOxxM(x,y)xy實數(shù)x實數(shù)對(x，y)右手直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系—Oxyz橫軸縱軸豎軸

右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．空間的點(diǎn)有序數(shù)組空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)C'D'B'A'COAByzxxoy平面上的點(diǎn)豎坐標(biāo)為0yoz平面上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0xoz平面上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)豎坐標(biāo)為0z軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)為0y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)豎坐標(biāo)為0一、坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)二、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)C'D'B'A'COABzyx例1：如圖變式與相交于點(diǎn)P寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。平面：的中點(diǎn)類比猜想中點(diǎn)坐標(biāo)公式空間：的中點(diǎn)練習(xí)C'D'B'A'COAByzx棱長為a，OB’與BD’交于點(diǎn)Q寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。類比猜想兩點(diǎn)間距離公式例2在空間中，已知點(diǎn)A(1,0,-1)，B(4,3,-1)，求A、B兩點(diǎn)之間的距離.

例3已知兩點(diǎn)A(-4,1,7)和B(3,5,-2)，點(diǎn)P在z軸上，若|PA|=|PB|，求點(diǎn)P的坐標(biāo).空間向量及其運(yùn)算3.1平面向量空間向量具有大小和方向的量幾何表示：有向線段

字母表示:

向量的大小

模為0的向量，與任何向量共線模為1的向量，沒有規(guī)定方向長度相等且方向相反的向量長度相等且方向相同的向量定義表示法向量的模零向量單位向量相反向量相等向量一、空間向量的基本概念ababOABb空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量。O′1.空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣．2.凡是只涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。平面向量空間向量二、空間向量的加法與減法運(yùn)算加法法則運(yùn)算律減法法則加法交換律加法結(jié)合律OAB三角形法則OABC平行四邊形法則OAB三角形法則三、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算例如:空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律三、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算ABCDA’B’C’D’例1解：ABCDA’B’C’D’⑶設(shè)M是線段CC’的中點(diǎn)，則解：ABCDA’B’C’D’M⑷設(shè)G是線段AC’靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則GABCDA’B’C’D’M解：例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1四、共線向量零向量與任意向量共線.1.空間共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作2.與平面向量一樣，對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數(shù)使2.中線性質(zhì)：

若P為AB中點(diǎn),則OABP1.A、B、P三點(diǎn)共線四、共線向量補(bǔ)充知識1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量既可能共面，也可能不共面dbac五、共面向量平面向量基本定理：【溫故知新】2.如果兩個向量

不共線，

則向量與向量共面的充要條件是存在唯一實數(shù)對x,y使C五、共面向量實數(shù)對3.空間四點(diǎn)P、A、B、C共面五、共面向量

共線向量

共面向量定義向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量定理推論運(yùn)用判斷三點(diǎn)共線，或兩直線平行判斷四點(diǎn)共面，或直線平行于平面共面共線向量與共面向量的區(qū)別1.下列命題中正確的有：A.1個B.2個C.3個D.4個B2.對于空間中的三個向量它們一定是：A.共面向量B.共線向量C.不共面向量D.既不共線又不共面向量A3.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點(diǎn)O，,則x的值為：D4.已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對平面外一點(diǎn)O，在下列條件下，點(diǎn)P是否與A、B、C共面？兩個向量的夾角的定義OAB六、向量的數(shù)量積注意1.向量的夾角：平移到同起點(diǎn)2.注意：

①兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.

②零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。六、向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a,b，則|a||b|cos叫做向量a,b的數(shù)量積，記作即并規(guī)定01.空間向量的數(shù)量積性質(zhì)注意：

①性質(zhì)2）是證明兩向量垂直的依據(jù)；

②性質(zhì)3）是求向量的長度（模）的依據(jù)；對于非零向量，有：2.空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：90頁思考注意：1.數(shù)量積不滿足結(jié)合律2.數(shù)量積不滿足除法3.數(shù)量積不滿足消去律1.下列命題成立嗎?①若,則②若,則③3.設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn),且滿足則△BCD是()三角形A.鈍角B.直角C.銳角C練習(xí)第92頁1,2,3ABA1C1B1C1.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,則AB1與C1B所成角的大小為2.已知在平行六面體中，課堂練習(xí)求對角線的長。通過學(xué)習(xí),我們可以利用向量數(shù)量積解決立體幾何中的以下問題：

1、證明兩直線垂直;2、求兩點(diǎn)之間的距離或線段長度;3、求兩直線所成角.

1.已知空間四邊形OABC中,M,N,P,Q分別為BC,AC,OA,OB的中點(diǎn),若AB=OC,求證：PM⊥QN．2.在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求BD3.如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn)。求下列向量的數(shù)量積：ABCDEFG任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。六、空間向量基本定理

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使都叫做基向量注意基向量是非零向量；三個基向量是不共面的已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N，分別是對邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是線段MN三等分點(diǎn)，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ例題練習(xí)平行六面體中,點(diǎn)MC=2AM,A1N=2ND,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要結(jié)合圖形,充分運(yùn)用空間向量加法和數(shù)乘的運(yùn)算律即可.ABCDA1B1D1C1MN練習(xí).空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點(diǎn),則MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－

a+b+c

122312(C)a+b

－

c

122312(D)a+b

－c

122323B練習(xí)e1e2e3單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底

如圖建立了一個空間直角坐標(biāo)系O--xyzxyzO七、空間直角坐標(biāo)系

給定一個空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數(shù)組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中的坐標(biāo)，記作P(x,y,z)xyzOe1e2e3七、空間直角坐標(biāo)系【新知探究】

平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：類比推廣空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：例1．已知

解:【應(yīng)用舉例】

【新知探究】

平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：類比推廣空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則空間兩點(diǎn)間的距離公式練習(xí)23例2.正方體ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分別是A1B1、C1D1的一個四等分點(diǎn)，求：BE1與DF1所成角的余弦值.

(1)建立直角坐標(biāo)系，(2)把點(diǎn)、向量坐標(biāo)化，(3)對向量計算或證明。ABA1C1B1C1.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,求AB1與C1B所成角的大小課本92頁練習(xí)第1題xyz(09廣東理)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是正方形BCC1B1的中心，點(diǎn)F、G分別是棱C1D1,AA1的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)E1,G1分別是點(diǎn)E,G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影(2)證明：直線FG1⊥平面FEE1；(3)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值