2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編 53立體幾何與空間向量第五講（學(xué)生版+解析版）

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題53立體幾何與空間向量第五講

1.(2021年吉林預(yù)賽】如圖,R41^ABCD,RQ//AD，四邊形A8CC為正方形,4。=AR=2RQ=2.E為

BR的中點(diǎn)，M為線段BQ上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求證:AE1CM；

(2)求MC與平面MQD所成角的正弦值的取值范圍.

2.【2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】如圖，正方體A5CD—EFG”的棱長(zhǎng)為2,在正方形4BFE的內(nèi)

切圓上任取一點(diǎn)Pi，在正方形BCGF的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)22,在正方形EFGH的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)P3.求IP1P2I+

IP2P31+IP3Pli的最小值與最大值.

3.【2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試】在正n(n23)棱錐…(中，。為底面正n邊形…L

的中心，B為棱44t的中點(diǎn).

⑴證明:PO2sir>2:+PAjCos2:=PB2;

⑵設(shè)正n棱錐P-4遇2…乙的側(cè)棱與底面所成的角為d側(cè)面與底面所成的角為0,試確定:%1cos44/8與

sina?sin夕的大小關(guān)系，并予以證明.

4.【2020年甘肅預(yù)賽】如圖1,在直角梯形ABCD中/ZV/BC58AD=1,4B=BC=1,4D=2,E為AD的

中點(diǎn),0為AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到AAiBE的位置，如圖2.

(1)證明：CD,平面&OC;

(2)若平面4BEJL平面BCDE,求二面角B-AiC-D的正弦值.

5.【2019年內(nèi)蒙古預(yù)賽】1863年法國(guó)Pmw〃々數(shù)學(xué)家將三角形的九點(diǎn)圓定理類比推廣到垂心四面體中，由此

產(chǎn)生Pm”/?々球面的概念，后又得到廣義球面的定義如下(注:以點(diǎn)。的球心，以R為半徑的球面表示

為S(O,R).設(shè)任意一個(gè)四面體為44心的外接球面為S(O,R),對(duì)于空間中異于點(diǎn)。任意一個(gè)點(diǎn)，，以線段OH

的第二個(gè)三等分點(diǎn)P為球心《為半徑的球面稱為四面體為&44的廣義球面記為S(P,§,其中球心尸滿足

OP=-OH.

3

根據(jù)上述定義證明如下結(jié)論:設(shè)四面體4出力34的外接球面為5(0,R),對(duì)于空間中異于點(diǎn)o的任意一個(gè)點(diǎn)H,

記線段OH的中點(diǎn)為G,連接4G并延長(zhǎng)至G,使得GGj=1^6,1=1,2,3,4.

6.【2018年湖南預(yù)賽】在四面體ABCD中，過棱AB的上一點(diǎn)E作平行于AD,BC的平面分別交四面體的

棱BD,DC,CA于點(diǎn)F,G,H

(1)求證：截面EFGH為平行四邊形

(2)若P、Q在線段BD、AC±,黑=禁=$且P、F不重合，證明：PQ〃截面EFGH

7.[2018年湖南預(yù)賽】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形,NDAB=60。，PD_L平面ABCD,

PD=AD=1,點(diǎn)E,F分別為AB和PD中點(diǎn)。

(1)求直線AF與EC所成角的正弦值;

(2)求PE與平面PDB所成角的正弦值。

8.【2018年湖南預(yù)賽】如圖,多面體ABCDE中，四邊形ABED是直角梯形，NBAD=90。，DE〃AB,AACD

是的正三角形，CD=AB=|DE=1,BC=V2

(1)求證：4CDE是直角三角形

(2)F是CE的中點(diǎn)，證明：BF_L平面CDE

9.【2018年廣東預(yù)賽】如圖①，已知矩形ABCD滿足AB=5,AC=yf34,沿平行于AD的線段EF向上翻

折(點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng))，得到如圖②所示的三棱柱4BE-DCF.

⑴若圖②中4ABG是直角三角形，這里G是線段EF上的點(diǎn)，試求線段EG的長(zhǎng)度x的取值范圍；

⑵若⑴中EG的長(zhǎng)度為取值范圍內(nèi)的最大整數(shù)，且線段AB的長(zhǎng)度取得最小值，求二面角C-EF-C的

值：

⑶在⑴與⑵的條件都滿足的情況下，求三棱錐A-BFG的體積.

10.【2018年甘肅預(yù)賽】已知四邊形ABCD滿足A。//5C,84=A。=。C=g3C=a,E是BC的中點(diǎn),

WABAE沿AE翻折成AE,使面耳AE±面AECO,F為耳。的中點(diǎn).

(1)求四棱錐AECD的體積；

(2)求面AO旦與面EC4所成銳二面角的余弦值.

11.【2018年河北預(yù)賽】已知三棱錐S-ABC中側(cè)棱SA、SB、SC互相垂直，M是底面三角形ABC內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn).直線MS與SA、SB、SC所成的角分別是%0、Y.

(1)證明：a、0、y不可能是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角；

(2)設(shè)s=3+f+至呻02,證明：S>3.

cos2acos2pcoszycosacos0cosy

12.【2018年湖南預(yù)賽】(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD_L底面ABC。，AB//DC,ADVDC,AB=AD=\,DC=SD=2,E為棱SB上的一

點(diǎn)，平面EQCJ.平面SBC.

(I)證明：SE=2EB；

(II)求二面角A-DE-C的大小.

13.【2017年甘肅預(yù)賽】如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形4BC沿與邊BC平行的直線EF折起，使得平面4EF，平

面BCFE,。為EF的中點(diǎn).

A

(1)求二面角尸-AE-B的余弦值；

⑵若BEJL平面ZOC,試求折痕EF的長(zhǎng).

14.(2017年黑龍江預(yù)賽】如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中/B=4C=5,D、E分別為BC、BB1的中點(diǎn)，四

邊形/BCG是邊長(zhǎng)為6的正方形.

⑴求證〃平面4G。：

(2)求證：CE1平面4Ci。；

(3)求二面角C-4cl一。的余弦值.

15.[2016年天津預(yù)賽】已知正三棱錐P-4BC的體積為9百,側(cè)面PAB與底面4BC所成二面角的平面角為

60°,D為線段AB上一點(diǎn)，AD=〃B,E為線段AC上一點(diǎn)，AE=)C,F為線段PC的中點(diǎn)，平面DEF與線段

66

PB交于點(diǎn)G.求四邊形DEFG的面積.

16.(2016年甘肅預(yù)賽】如圖，在四棱錐P-ABCD中，P41底面ABCD,BC=CD=2,AC=A,^ACB=

/-ACD=pF為PC的中點(diǎn)，AF1PB.

求（1）PA的長(zhǎng)；

（2）二面角B-AF-D的正弦值.

17.【2015年上海預(yù)賽】求上底邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為1的正四棱臺(tái)的體積的最大值（精確到0.001）.注：若正

四棱臺(tái)的上底面積為S”下底面積為S2,高為h,則其體積V=；/i（Si+S2+V^>

18.【2015年安徽預(yù)賽】在圖1的多面體4BCDEF中，己知4。、BE、CF均與平面ABC垂直.設(shè)力。=a,BE=

b,CF=c,48=4。=8。=1.求四面體力8。片與四面體8?！晔膊糠值捏w積（用a、b、c表示）.

AD

19.[2015年黑龍江預(yù)賽】如圖，已知PD垂直于梯形4BCD所在的平面，/.ADC=/.BAD=90°,F為P4的中

點(diǎn)，PD=五,AB-AD=\CD=1.若四邊形PDCE為矩形，線段PC與。E交于點(diǎn)M

「B

（1）證明：4c〃平面OEF.

（2）求二面角4—BC-P的大小。

（3）在線段EF上是否存在一點(diǎn)Q,使得BQ與平面BCP所成角的大小為勺若存在，請(qǐng)求出FQ的長(zhǎng)；若不存

6

在，請(qǐng)說明理由。

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題53立體幾何與空間向量第五講

1.[2021年吉林預(yù)賽】如圖,R41平面ABCDRQ//4。，四邊形ABC。為正方形,4。=AR=

2RQ=2.E為8R的中點(diǎn)，M為線段BQ上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求證:AE1CM；

（2）求MC與平面MQD所成角的正弦值的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】⑺因?yàn)镽Q//4D,4D//8C

所以RQ//BC.故8、c、。、R共面.

因?yàn)镃B_L平面群B,PL4EU平面RA8

所以C81AE.

又RB1AE,RRBClCB=B.

所以4E_L平面8CQR.

又CMu平面BCQR.

所以4E1CM.

（//）如圖.以4為坐標(biāo)原點(diǎn).建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz

?z

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),R(0,0,2),Q(0,1,2).

平面MQD某為平面DBQ.

DF=(2,-2,0),DQ=(0,-l,2),

—

設(shè)平面DBQ的法向量為n=(x,y,z),

X-2

nDB=O令2

則y-,所以泥=(2,2,1)

nDQ=O

因?yàn)镸為線段BQ上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè).=ACQ+(1-共中04入41).

又,=((),-2,0),麗=(-2,-1,2),

所以而=(-22,2-2,2X),MC=(22,-2+2,-22)

設(shè)MC與平面MQ。所成角為6.

m2

則S.\MC\.\n\~3xj9/-"+4.3xJ9(A_2)+32[§，2]，

即MC與平面MQD所成角的正弦值的取值范圍是東爭(zhēng).

2.【2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】如圖，正方體ABCD—EFGH的棱長(zhǎng)為2,在正方形ABFE的內(nèi)

切圓上任取一點(diǎn)匕,在正方形BCGF的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)P2,在正方形EFGH的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)「3.求伊也1+

IP2P31+IP3Pli的最小值與最大值.

【答案】最小值為3四-3,最大值為3遍.

【解析】以正方體的中心為原點(diǎn)，礪、DC.而的方向分別為%軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐

標(biāo)系.

根據(jù)條件，可設(shè)Pi(l,c6sQi，sinai),P2(sin%l,cosa2)1P3(cosa31sina31根

約定”=Pi,a4=%.記4=EB+iia=1,2,3),

222

則#=(1—sinaz+1)+(1—cosaj)+(sin/—cosaj+1)①

記f=|P$2l+|P2P31+忸3「11.

先求/的最小值.對(duì)i=1,2,3，根據(jù)①與平均值不等式得片2(1-日叫+1)2+(1-cosa；)2>i((l-

2

sin?i+1)4-(1-cosaj),

故山>y(2-sinaz+1-cosaj.

于是f=d.1-Vd2+d3>-yX?=i(2—sinai+1—cosa。=3A/2—-ySf=i(sinaf+cos/)

=3V2-Sf=isin+^>3V2-3.

當(dāng)/==1,2,3)時(shí)/可取到最小值3或-3.

4-

再求/的最大值.由①知力=4-2cos-2sina/+1-2sinazcosaj+1.

注意到sinQi>-Leos%>-l(i=1,2,3),有

Xf=i=12-2。乙sinaj+i+^f=1cosat+^f=1sinttjcosai+1)=12-2(^f=1sinat+^f=1cosai+1+

￡；=isina￡cosa￡+1)=18—2Jf=1(l+sin%)(1+cosai+1)<18.

由柯西不等式知產(chǎn)<3(青+啰+退)=54,故/<3V6.

當(dāng)g=7r(i=1,2,3)時(shí)/可取到最大值3份.

綜上所述，/的最小值為3a-3,最大值為3遍.

3.【2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試】在正71(/133)棱錐P—&4…4n中，。為底面正幾邊形…4n

的中心，B為棱力14的中點(diǎn).

⑴證明:PO?sin2:+PAlcos2?=PB2\

⑵設(shè)正n棱錐P-“4的側(cè)棱與底面所成的角為a，側(cè)面與底面所成的角為仇試確定霽卻cos乙”B與

sina?sin/7的大小關(guān)系,并予以證明.

【答案】證明見解析

【解析】⑴由于P。1底面…4n，故4P0%=乙POB=90".

設(shè)041=r,則OB=0Ar-cos/-A10B=rcos*

于是有N+PO2=PAir2cos2^+P02=PB2.

消去N得P02(1-COS2=PB2—P41COS2

BPPO2sin2-+PAjcos2-=PB2.

nAn

(2)由條件知而,可=o(i=1,2,-,n),pdOB=0.

設(shè)正n棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，，

則/?|PB|N%cos"[PB=￡Li|P4|?\PB\'cos^PB=X匕西?麗=2憶式麗+西)?(而+0B)=

優(yōu)式而2+的.而)=nPO2+OB-Xili西=n?|P0『，

最后一步用到了8=2占兩=6(這是因?yàn)?，。為正n邊形…4t的中心，各刃g(shù)=12…,⑶在逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)生后仍為這些向量的排列，故它們的和向量6逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)生后仍為6,所以S只能為零向量).

nn

于是kiCOs"liPB==Y-=sin"4i。-sinzPSO①

易知/P4i。是側(cè)棱與底面所成的角，又由OB1Ai4n，PB，知4P8。是側(cè)面與底面所成的角.于是

Z-PAAO=a,Z-PBO=/?.

從而由①得(JXICOS乙4jPB與sina?sin/?相等.

TT

4.[2020年甘肅預(yù)賽】如圖1,在直角梯形ABCD中,4D//BC,=-,AB=BC=

1,2,E為AD的中點(diǎn),0為AC與BE的交點(diǎn).將△沿BE折起到△的位置,

AD=ABEA±BE

如圖2.

(1)證明：CDJ_平面410c；

⑵若平面41BE1平面BCDE,求二面角3-41c-D的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)等.

7T

【解析】(1)在圖1中，因?yàn)?8=BC=1,AD=2,E為AD的中點(diǎn)=萬，所

以,，即在圖2中,BE11，且久。與oc交于點(diǎn)o.從而.BE1平

BE_LACOAlfBEOC

面A]OC.

1

^AD//BC,BC=-AD,E為AD的中點(diǎn)，則BC//EO.

于是,四邊形BCDE為平行四邊形.故CD//3E.從而,C。_L平面410C.

⑵由平面_L平面結(jié)合(1)，知BE11

BCDE,0AltBEOC.

于是/410C為二面角A1一BE-C的平面角.

TT

從而,乙41。。=—.

如圖6,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

圖6

—A1E—BC=ED-1,BC//ED，知

B（凈,0,0）,E（一號(hào),0,0）,公（0,0,C（0,y,0）.

則前=（一孚",0）.砧=（o*,_孝）CD=BE=（-72,0,0）

設(shè)平面41BC的法向量"1=（Xi，yi，Zi）,

平面41co的法向量ri?=（x2,y2,z2）.

Jn1-BC=0（-x1+y1=0,

（zii4^=0l%-Zi=0

取%=（1,14）；

n2-CD=0,今（x2=0

n2'A±C=0（為-Z2=°

取兀2=（0,1,1）.

故|COSV%,%>1=島=手.

設(shè)二面角3—41。一。為夕則

.八V3

sind=—,

即二面角3-AtC-D的正弦值為等.

5.【2019年內(nèi)蒙古預(yù)賽】1863年法國(guó)尸〃浦々數(shù)學(xué)家將三角形的九點(diǎn)圓定理類比推廣到垂心四面體中，由此

產(chǎn)生P/wMa球面的概念,后又得到廣義尸廠。油々球面的定義如下（注:以點(diǎn)。的球心，以R為半徑的球面表示

為S（O,R）.設(shè)任意一個(gè)四面體41424344的外接球面為S（。,7?）,對(duì)于空間中異于點(diǎn)O任意一個(gè)點(diǎn)H,以線

段OH的第二個(gè)三等分點(diǎn)P為球心，號(hào)為半徑的球面稱為四面體41424344的廣義球面記為$（P，g），

其中球心P滿足加=河

根據(jù)上述定義證明如下結(jié)論:設(shè)四面體41424344的外接球面為s（o，R），對(duì)于空間中異于點(diǎn)O的任意一個(gè)

點(diǎn)H,記線段OH的中點(diǎn)為G,連接AjG并延長(zhǎng)至G,使得GGi=i=1,2,3,4

【答案】證明見解析

【解析】???OP=|OH,OG=：OH,OP=]OG,BGOG+GP=

GP=^OG,而GGj=^AtG,1=1,2,3,4

:"AiGO?gGP,即PGj=；R,i=1,2,3,4

3

,球面S（P,必經(jīng)過點(diǎn)G?

6.【2018年湖南預(yù)賽】在四面體ABCD中，過棱AB的上一點(diǎn)E作平行于AD,BC的平面分別交四面體的

棱BD,DC,CA于點(diǎn)F,G,H

（1）求證：截面EFGH為平行四邊形

（2）若P、Q在線段BD、AC上，飪=鋁=二，且P、F不重合，證明：PQ〃截面EFGH

BDAC4

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）證明：；AD〃平面EFGH,平面ADBCI平面EHGH=EF,ADu平面ABD,

，AD〃EF：AD〃平面EHGH,平面ADCn平面EHGH=GH,ADu平面ADC,.AD〃GH

由平行公理可得EF〃GH

同理可得EH〃FG

...四邊形EFGH為平行四邊形.

⑵如圖在CD上取點(diǎn)M,使饕=器=；,連接MQ

BDDC4

則PM〃BC〃FG,筆=翳=$則QM〃AD〃HG

PMnQM=M,平面PMQ〃平面EHGH

：PQu平面PMQ

.?.PQ〃截面EFGH

7.(2018年湖南預(yù)賽】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形,/DAB=60。，PDJ_平面ABCD,

PD=AD=I,點(diǎn)E,F分別為AB和PD中點(diǎn)。

(1)求直線AF與EC所成角的正弦值；

(2)求PE與平面PDB所成角的正弦值。

【答案】(1)~(2)經(jīng)

714

【解析】

(1)作FM〃CD交PC于M.

:點(diǎn)F為PD中點(diǎn),FM=|CD.

.,.AE=-AB=FM,

2

/.AEMF為平行四邊形,二AF〃EM,

ZMEC為直線AF與EC所成角或其補(bǔ)角。

EM=AF—，MC=—,EC=—,.?.△MEC為RtAMEC

222

sinZMEC=—=1-=—

EC三7

2

(2)連接AC,BD交于O,連接EG

?.?點(diǎn)E,O分別為AB和AC中點(diǎn)。

AAOEG,

：AC_L平面PBD,

.,.EGJ_平面PBD,

根據(jù)直線與平面所成角的定義可得：ZEPG為PE與平面PDB所成角,

RSEGP中,A。］,EG當(dāng)

DE=y,PE=J12+(§2=

叵pzr

二卷=—

..?sinNEPGV714

2

8.【2018年湖南預(yù)賽】如圖,多面體ABCDE中，四邊形ABED是直角梯形，ZBAD=90°,DE〃AB,AACD

是的正三角形，CD=AB=|DE=I,BC=V2

(1)求證：ACDE是直角三角形

(2)F是CE的中點(diǎn)，證明：BF_L平面CDE

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)證明：?.?NBAD=9(T，ABJ_AD

△ACD是的正三角形，CD=AB=1,BC=V2,

...△ABC是直角三角形，AB±AC

，AB_L平面ACD

VDE/7AB

，DE_L平面ACD

...△CDE是直角三角形

(2)證明:取CD中點(diǎn)M,連接AM、MF.

「F是CE的中點(diǎn)

AAMFB是平行四邊形

；.MF〃AB,AM〃BF

.?.MF_L平面ACD

：MF在平面ECD內(nèi)

平面CDE_L平面ACD

1?△ACD是的正三角形，M是CD中點(diǎn)

AAM±CD

平面CEDD平面ACD=CD,；.AMJ_面CDE,

：AM〃BF,

；.BF_L平面CDE

9.【2018年廣東預(yù)賽】如圖①，已知矩形ABCD滿足AB=5,4C=內(nèi)，沿平行于AD的線段EF向上翻

折(點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng))，得到如圖②所示的三棱柱ABE-CCF.

⑴若圖②中4ABG是直角三角形，這里G是線段EF上的點(diǎn)，試求線段EG的長(zhǎng)度x的取值范圍;

⑵若⑴中EG的長(zhǎng)度為取值范圍內(nèi)的最大整數(shù)，且線段AB的長(zhǎng)度取得最小值，求二面角C-EF-D的

值；

⑶在⑴與⑵的條件都滿足的情況下，求三棱錐A-BFG的體積.

【答案】⑴[0,2.5)⑵/.AEB=TI-arccos(3)

【解析】

⑴由題設(shè)條件可知AAEG、ABEG均為直角三角形，

Hltt/IG2=AE2+x2,EG2=BE2+X2.

由余弦定理48?=AE2+BE2_2AE.BEcos^AEB.

于是2/+AE2+BE2=AB2=AE2+BE2-2AE-BEcaAEB.

x2=—AE-BEcos乙AEB<AE-BE=t(5—t)=-t2+5t<2.52.

所以，x￡[0,2.5).

又對(duì)任意ke[0,2.5),AE=EB=2.5,乙4EB=n-arccos持.

則x=yl-AE-BEcos^AEB=k，故x的取值范圍為[0,2.5).

⑵因?yàn)锳ELEF,BE±EF,所以NAEB就是二面角C-EF-D的平面角

又由⑴知EG的長(zhǎng)度x為[0,2.5)的最大整數(shù)，因此x=2.

于是AB?=t2+(5-t)2+4=2t2-10t+29,t6(0,5).

因此t=2.5時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度取得最小值.

由此得2=——COSZ.AEB,/.AEB=n—arccos—.

425

(3)由(I)、(2)知4AEB=兀-arccos且，AE=EB=-,AG=BG=—,EG=2

2522

S.EF=yjAC2-AB2=434-25=3.

因?yàn)锳EJ_EF,BE±EF,AEnBE=E.

所以EF_L平面EAB,故以YFG=VA-BEF-%-BEG="(ZAEB-EF-S6ACB-EG)

=I(4E2sinNAEB)EF-^BG2EG

一但絲X3，x2)=且空

614U6254I24

10.【2018年甘肅預(yù)賽】已知四邊形ABCD滿足AO//5C,6A=A。=DC=」8C=a,E是BC的中點(diǎn),

2

將ZiBAE沿AE翻折成AgAE,使面gAE±面AECZ),F為BQ的中點(diǎn).

(1)求四棱錐用一AECD的體積;

(2)求面AOg與面ECg所成銳二面角的余弦值.

5o

【答案】(1)—;(2)-

45

【解析】

?C

試題分析：(1)取AE的中點(diǎn)M,連結(jié)B.M，因?yàn)锽A=AD=DC=-BC=a,AABE為等邊三角形，則與Ma,

又因?yàn)槊嫫珹EJ_面AECD,所以B|M上面AECD,

所以V--x^-axaxaxsin-=-

3234

、

(2)連結(jié)MD,貝U/AMD=90。，分別以ME,MD,M5|為x,y,z軸建系，則E信O,o1,Ca,5石a,0

2

，應(yīng)［f亭。\

A--,0,0,D0,6a,0,B,0,0,—a所以麗;=--,0,

【2JI2)2

T77

~x+-ay=0

aGa、22-

,設(shè)面ECB］的法向量為〃=(x,y,z),<

AB.(22J

a

I——2x+——2az=Q

令x=l,5J1,一旦正\h一走一

,同理面AD4的法向量為丫=I」，

33

7

3

故而ADB1與向ECB,所成銳二面角的余弦值為-.

5

考點(diǎn)：本題考查求棱錐的體積和二面角的求法

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是應(yīng)用空間向量求二面角，建立合適的空間坐標(biāo)系

11.【2018年河北預(yù)賽】已知三棱錐S-ABC中側(cè)棱SA、SB、SC互相垂直，M是底面三角形ABC內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn).直線MS與SA、SB、SC所成的角分別是a、/?.y.

(1)證明：a、0、y不可能是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角；

(2)設(shè)s=3+f一%』誓"少，證明：S>3.

cos2acos2pcoszycosacos0cosy

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)以線段MS為體對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體，則?/?、y恰好為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱

所成的角，因此cos2a+cos2^?+cos2y=1.

因?yàn)閏os2a+cos2/?+cos2y=1—cos2y,

22

所以］(cos2a+cos2￡)=-cosytcos(a+/?)xcos(a-￡)=-cosy<0,

故cos(a+0)V0.所以］<a+￡V7E

下面證明a+￡+y<TT.

要證a+￡+y<兀，只需證a+/?<〃-/,只需證COS(TT-y)<cos(a+￡)<0,只需證cos?(兀-y)>

cos2(a+0).

因?yàn)閏os2(a+5)—cos2y=cos2(a+3)+|(cos2a+cos2^?)

=cos2(a+6)+cos(a+/?)-cos(a—3)=2cos(a+/?)?cosa?cosp<0,

所以a+S+y<7r,故a、0、y不可能是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角.

(2)因?yàn)?-3=++$+二■-2(絲s」t△一3

coszacoszpcoszycosa-cospcosy

cos2a+cos2/?+cos2ycos2a+cos?。+cos2ycos2a+cos2/?+cos2y

cos2acos2jBcos2y

22

+cos/?(―-------—)>o,

\cosacosy/+cos2y(￡一點(diǎn))

所以S>3.

12.【2018年湖南預(yù)賽】(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

如圖，四棱錐S-ABCD中，SO1.底面ABC。，AB//DC,ADA.DC,AB=AD=\,DC=SD^2,E為棱SB上的一

點(diǎn)，平面￡￡)C1平面SBC.

(I)證明：SE=2EB；

(II)求二面角A-DE-C的大小.

【答案】(I)證明見解析

(II)120°

【解析】本題主要考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理、平面與平面垂直的性質(zhì)，二面角的求解，以及考

查邏輯思維能力、空間想象力與簡(jiǎn)單運(yùn)算能力、同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

解法一:

(1)連接8?取DC的中點(diǎn)G,連接BG,

由此知。6=6。=36=1,即八。8。為直角三角形，故5C_L5￡>.

乂SO_L平面4BC。,故8C±SD.

所以，5c_L平面5DS,BC_LDE.

作BKLEC,K為垂足，因平面EDC，平面SBC,

故8KL平面EDC,BK，DE,DE與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線3K、BC都垂直.

DE1平面SBC,DE±EC,DE1SB

SB=yjSDr+DB1=瓜

DE=迎些；

SB石

EB=yjDB2*-DE2=-,SE^SB-EB=

33

所以，SE=2EB.

(II)由SA=JsrP+AD：=6,AB=l,SE=2EB,ABJ_5?l，知

2

1

AE=-SA\+(-AB|=1,又AD=1.

313

故AAPE為等腰：:角形.

取ED中點(diǎn)凡連接A/7,則A/工DE,AP7AD?一DF?="

3

連接FG,則FG//EC,EG，￡>E.

所以，NAFG是二面角A-DE—C的平面角.

連接AG,AG=VLFG=VDG2-DF2=—,

3

cos"/尸+…G?1

2.Z1F.FG2

所以，二面角A—OE—C的大小為120。.

解法二:

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線。A為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-A>'z,

設(shè)A(1,O,O),則8(1,1,0).C(0,2,0).5(0,0,2).

(I反=(0,2,-2),=(-1,1,0)

設(shè)平面SBC的法向量為〃=(a,8,c),

由〃J,豆，〃,BCWn.SC=0,n^BC=0,

故2b—2c=0,-。+b=0.

令。=1,貝防=1,c=1,〃=(1,1,1),

又設(shè)兗=X麗(丸＞0),則

E(—l+_/_T_l_+__/_C_l+—7)，

___11*7___

DE=(—,—Z)C=(0,2,0)

1+A1+21+A

設(shè)平面CDE的法向量m=(x,y,z),

由〃zJ_DE,m±OC,得

m*DE=0,m*DC=0

..AxAy2z__八

故----+——+-----=0,2y=0.

1+21+A1+2

令x=2,則〃?=(2,0,—/1).

由平面DEC±平面S3C得m±〃，則根?〃=0,即2-4=0,4=2.

故SE=2EB.

(11)由(I)知取DE中點(diǎn)凡則=

(333jU33)(333

故麗?瓦=0,由此得，DE.

又E一C=(-2釜4,—?2,故_E_C_.__D_E_=0,由此得ECIDE,

向量瓦與比的夾角等于：面角A—DE—C的平面角.

于是cos(中,比)=產(chǎn)產(chǎn)?=

|FA||EC|2

所以，二面角A-?！暌?。的大小為120。.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)立體幾何的考查是一直解答題中比較常規(guī)、變化不大的題。但今年(I)的問題的設(shè)置由證明空間

位置關(guān)系變?yōu)樽C明西安段之間的相等關(guān)系，在力求創(chuàng)新考查，但實(shí)際還是考查空間直線、平面之間的位置的

關(guān)系的證明及應(yīng)用.

13.【2017年甘肅預(yù)賽】如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形4BC沿與邊BC平行的直線E尸折起，使得平面ZEFJL平

面BCFE,。為E『的中點(diǎn).

(1)求二面角F-AE-B的余弦值；

(2)若BE_L平面AOC,試求折痕EF的長(zhǎng).

【答案】(1)一日；(2)*

【解析】(1)取BC的中點(diǎn)G,連結(jié)0G.由題設(shè)知四邊形EFCB是等腰梯形，所以0G1EF.

由己知4。1平面EFCB.又OGu平面EFC8,所以。A10G.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z,設(shè)EF=2a,則E(a,0,0),4(0,0,V5a),8(2,百(2-a),0)瓦？=

(-a,0,V3a),BE={a-2,V3(a-2),0)

元.更=0,,即—ax+V3az=0

設(shè)平面4EB的法向量為元=(x,y,z),則

n-BE=0,(a—2)x+V3a-2y=0

令z=i,則工=V3,y=—1,于是元=平面的法向量為力=(o,i,o).

所以cos伍，中=晶=一'由題知二面角凡4EB為鈍角，所以它的余弦值為一日.

(2)因?yàn)锽E，平面40C,所以BE10C,即直0C=0.

因?yàn)殇?(a-2,V3(a-2),0),0C=(-2,V3(2-a),0),

所以市?OC=-2(a-2)-3(a-2)2.

由麗?OC=0且0<a<2,解得a=，所以EF=|.

14.[2017年黑龍江預(yù)賽】如圖，在直三棱柱ABC-4181cl中,AB=AC=5,0、E分別為BC、BB1的中點(diǎn)，四

邊形BiBCCi是邊長(zhǎng)為6的正方形.

⑴求證48〃平面4GD;

(2)求證：CE1平面AC1。；

(3)求二面角C一4G-。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）詈.

【解析】（1）如圖1,連結(jié)為C,與4cl交于。點(diǎn)，連結(jié)0D.

因?yàn)?。、。分別為4c和BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D〃4B.

又。0u平面AG。//C平面AQD,所以4遇〃平面4GD

又ADu平面ABC,所以1AD.

因?yàn)?8=4C,。為BC的中點(diǎn)，所以4。1BC.

又BC0BBi=B,所以4。，平面8鳳的.

又CEu平面&BCG，所以4。1CE.

因?yàn)樗倪呅螢锽CG為正方形刀、E分別為的中點(diǎn)，所以Rt△CBEmRt△GCD/CC'D=乙BCE.

所以NBCE+乙QDC=90。.所以6。1CE.

又4DnC±D=。，所以CE1平面4GD.

（3）如圖2,以BiG的中點(diǎn)G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

則4(0,6,4),￡(3,3,0),C(-3,6,0),G(-3,0,0)

由(2)知CE，平面AG。,所以方=(6,-3,0)為平面4cle的一個(gè)法向量.

設(shè)元=(x,y,z)為平面的一個(gè)法向量，前=(-3,0,-4),CG=(0,-6,0).

令x=1,則y=0,z=一*所以元=(1,0,一[J

從it血右cos(/7CME^,nF)=演CE麗n=玄3\[S,

因?yàn)槎娼荂—4C]—。為銳角，所以二面角C—4c1—。的余弦值為與"

15.【2016年天津預(yù)賽】已知正三棱錐尸-48c的體積為9遮，側(cè)面P48與底面48C所成二面角的平面角為

60°,D為線段AB上一點(diǎn)，AD=〃B,E為線段AC上一點(diǎn)，AE=)C,F為線段PC的中點(diǎn)，平面DEF與線段

66

PB交于點(diǎn)G.求四邊形DEFG的面積.

【答案】V57

【解析】

設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為X,中心為O,線段BC的中點(diǎn)為M,聯(lián)結(jié)力M、PM、PO.

由4M1BC.PM1BC,知N4MP為正三棱錐P-4BC的側(cè)面與底面所成二面角的平面角.

于是，乙4Mp=60°.

故P。=OMtan^AMP=-AMtan60°=-x—xxy/3=-,

3322

=v=8c.P。=gXX|=(/=9^/3nx=6.

因?yàn)槿A=祭=!，所以，

DE〃BD,DE=；BC=1.

由DE〃"，知BC〃平面DEF,

從而,BC〃FG,

再由F為線段PC的中點(diǎn)，知G為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)G=\BC=3.

由BD=CE,BG=CF.^ABP=乙4cP,

=△BDg=△CEF=>DG=EF,

由。E〃BC〃FG,知四邊形。EFG為等腰梯形，其底邊長(zhǎng)分別為DE=1,FG=3.

設(shè)DE的中點(diǎn)為K,FG的中點(diǎn)為L(zhǎng).則KL為等腰梯形DEFG的高.

于是，點(diǎn)K在AM上，且4K=有KM==沃=??；

點(diǎn)L在PM上，且PL=：PM,有LM=|PM=0M=^AM=|x3V3=V3.

在^KLM中，由余弦定理得：

KL=>JKM2+LM2-2KM-LMcos60°=Jy+3-y=^p.

(DE+FG)KL

因又、榜形DEFG=2=Vb/-

16.[2016年甘肅預(yù)賽】如圖，在四棱錐P-ABCD中，P41底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,^ACB=

AACD=pF為PC的中點(diǎn)，AF1PB.

求(1)PA的長(zhǎng);

(2)二面角B-AF-D的正弦值.

【答案】⑴2V3(2)—

【解析】

(1)如圖，連結(jié)BD交AC于O,因?yàn)锽C=CD,即ABCD為等腰三角形，乂AC平分NBCD,

j嗓N7

H

故ACJ_BD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,而的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

Oxyz,則OC=CDcosg=l,而AC=4,得A0=AC-0C=3.又OD=CDsing=b，故A(0,—3,0),B(V3,

0,0),C(0,1,0),D(-V3,0,0).

因?yàn)镻A_L底面ABCD,可設(shè)P(0,-3,z),由F為PC邊中點(diǎn)，得F(O.-lJ),乂而=(0.2,|),而=(遮,

3,-z),因AF_LPB,故而?兩=0,即6—9=0,z=2百(舍去一2次)，所以|丙|=2百.

(2)由(1)知而=(一我，3,0),荏=(b，3,0),而=(0,2,V3).設(shè)平面FAD的法向量為,〃=(xi，yi，

Z|),平面FAB的法向量為〃2=(X2,丫2，Z2).

由”/?而=0,mAF=0,得(一遍/；3月一°’因此可取小=(3,V3,-2).

I2yl+>J3Z1=0，

由“2?都=0，rt2-AF=0,得2*?2=0'故可取"2=(3,-V3,2).

12y2V-V3Z2=0,

從而向量〃/,〃2的夾角的余弦值為COS",小〉=5

|ni||n2|8

故二面角B-AF-D的正弦值為尊.

17.【2015年上海預(yù)賽】求上底邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為1的正四棱臺(tái)的體積的最大值(精確到0.001).注：若正

四棱臺(tái)的上底面積為S”下底面積為S