新高考物理一輪復(fù)習(xí)精講精練第5章 萬有引力與宇宙航行 第2講 人造衛(wèi)星與宇宙航行（含解析）

第二講人造衛(wèi)星與宇宙航行知識(shí)梳理1．天體(衛(wèi)星)運(yùn)行問題分析將天體或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬有引力提供．2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)3．人造衛(wèi)星衛(wèi)星運(yùn)行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛(wèi)星的軌道是赤道軌道．(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．(2)同步衛(wèi)星①軌道平面與赤道平面共面，且與地球自轉(zhuǎn)的方向相同．②周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，T＝24h.③高度固定不變，h＝3.6×107m.④運(yùn)行速率均為v＝3.1km/s.(3)近地衛(wèi)星：軌道在地球表面附近的衛(wèi)星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛(wèi)星的最大圓軌道運(yùn)行速度)，T＝85min(人造地球衛(wèi)星的最小周期)．注意：近地衛(wèi)星可能為極地衛(wèi)星，也可能為赤道衛(wèi)星．4．宇宙速度(1)第一宇宙速度①第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度，其數(shù)值為7.9km/s。②第一宇宙速度是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。③第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。④第一宇宙速度的計(jì)算方法由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))；由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)．(2)第二宇宙速度：使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為11.2km/s．(3)第三宇宙速度：使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為16.7km/s．考點(diǎn)一、衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析1．公式中r指軌道半徑，是衛(wèi)星到中心天體球心的距離，R通常指中心天體的半徑，有r＝R＋h.2．同一中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量只與r有關(guān)；不同中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量與中心天體質(zhì)量M和r有關(guān)．3．地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)4．衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律例1、如圖所示，a為地球赤道上的物體，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星。關(guān)于a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的說法中正確的是()A．角速度的大小關(guān)系為ωa＝ωb>ωcB．向心加速度的大小關(guān)系為aa>ab>acC．線速度的大小關(guān)系為vb>vc>vaD．周期關(guān)系為Ta＝Tb>Tc【答案】C【解析】衛(wèi)星c為地球同步衛(wèi)星，所以Ta＝Tc，則ωa＝ωc；對(duì)于b和c，由萬有引力提供向心力，得：ω＝eq\r(\f(GM,r3))，因?yàn)閞b<rc，可知ωc<ωb，即ωb>ωc＝ωa，故A錯(cuò)誤。因a、c有相同的角速度，由a＝ω2r得：aa<ac；對(duì)b和c，由萬有引力提供向心力，得：a＝eq\f(GM,r2)，因?yàn)閞b<rc，可知ab>ac，即ab>ac>aa，故B錯(cuò)誤。因a、c有相同的角速度，由v＝ωr可知va<vc；對(duì)b和c，由萬有引力提供向心力，得：v＝eq\r(\f(GM,r))，因?yàn)閞b<rc，可知vb>vc，即vb>vc>va，故C正確。對(duì)b和c，由萬有引力提供向心力，得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因?yàn)閞b<rc，可知Tc>Tb，即Ta＝Tc>Tb，故D錯(cuò)誤。例2、(2020·江蘇高考)(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍【答案】CD【解析】衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則F＝Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。因?yàn)樵诓煌霃降能壍捞巊值不同，故不能由v＝eq\r(gR)得出甲、乙的速度關(guān)系，衛(wèi)星的線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，可得eq\f(v甲,v乙)＝eq\r(\f(r乙,r甲))＝eq\f(\r(2),2)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樵诓煌霃降能壍郎闲l(wèi)星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出兩衛(wèi)星的加速度關(guān)系，衛(wèi)星的加速度a＝eq\f(GM,r2)，可得eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(r\o\al(2,乙),r\o\al(2,甲))＝eq\f(1,4)，故B錯(cuò)誤；衛(wèi)星所受的向心力F＝Geq\f(Mm,r2)，兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，可得eq\f(F甲,F乙)＝eq\f(r\o\al(2,乙),r\o\al(2,甲))＝eq\f(1,4)，故C正確；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，可得eq\f(T甲,T乙)＝eq\r(\f(r\o\al(3,甲),r\o\al(3,乙)))＝2eq\r(2)，故D正確。例3、(多選)(2022·莆田4月模擬)2020年7月31日，北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正式建成開通，我國向世界莊嚴(yán)宣告，中國自主建設(shè)和運(yùn)營(yíng)的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全面建成，成為國際上第一個(gè)將多功能融為一體的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中三個(gè)衛(wèi)星的圓軌道示意圖如圖，其中A為地球赤道同步軌道；軌道B為傾斜同步軌道，軌道半徑與地球赤道同步軌道半徑相同；軌道C為一中地球軌道。則下列說法中正確的是()A．在軌道A、B、C上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的線速度大小關(guān)系為vA＝vB<vCB．在軌道A、B上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星需要的向心力大小一定相等C．在軌道A、C上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期關(guān)系為TA<TCD．在軌道A、B、C上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期的平方和軌道半徑三次方的比值相等【答案】AD【解析】在軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的線速度大小v＝eq\r(\f(GM,r))，在軌道A、B、C上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星半徑rA＝rB>rC，所以有vA＝vB<vC，故A正確；在軌道A、B上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的向心加速度a相同，而向心力F＝ma，由于在軌道A、B上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的質(zhì)量未知，故B錯(cuò)誤；在軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于rA>rC，所以在軌道A、C上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期關(guān)系為TA>TC，故C錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律，在軌道A、B、C上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期的平方和軌道半徑三次方的比值相等，故D正確。例4、中國繞月衛(wèi)星“龍江二號(hào)”是全球首個(gè)獨(dú)立完成地月轉(zhuǎn)移、近月制動(dòng)、環(huán)月飛行的微衛(wèi)星，2019年2月4日，“龍江二號(hào)”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龍江二號(hào)”距離月球表面h處環(huán)月做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球半徑為R，萬有引力常量為G，據(jù)此不可求的物理量是()A．“龍江二號(hào)”的質(zhì)量B．“龍江二號(hào)”的線速度大小C．月球的質(zhì)量D．月球表面的重力加速度大小【答案】A【解析】根據(jù)萬有引力提供向心力可知Geq\f(m月m,（R＋h）2)＝m(eq\f(2π,T))2(R＋h)，“龍江二號(hào)”的質(zhì)量不可求出，但月球質(zhì)量可求出，故A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)T＝eq\f(2π（R＋h）,v)可求出其運(yùn)動(dòng)的線速度，故B正確；根據(jù)Geq\f(m月m0,R2)＝m0g且m月也為已知量，可求出月球表面的重力加速度，故D正確。課堂隨練訓(xùn)練1、(2021·高考河北卷，T4)“祝融號(hào)”火星車登陸火星之前，“天問一號(hào)”探測(cè)器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個(gè)火星日。假設(shè)某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個(gè)火星日。已知一個(gè)火星日的時(shí)長(zhǎng)約為一個(gè)地球日，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約為()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】物體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，則T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，R＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，由于一個(gè)火星日的時(shí)長(zhǎng)約為一個(gè)地球日，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的0.1，則飛船的軌道半徑R飛＝eq\r(3,\f(GM火（2T）2,4π2))＝eq\r(3,\f(G×0.1M地×4×\f(4π2Req\o\al(3,同),GM地),4π2))＝eq\r(3,\f(2,5))R同，則eq\f(R飛,R同)＝eq\r(3,\f(2,5))．訓(xùn)練2、(2022·廣東省選考模擬)如圖，某中心天體的衛(wèi)星a在較低軌道1上運(yùn)行，該中心天體的同步衛(wèi)星b在軌道2上運(yùn)行。某時(shí)刻a、b在同一直線上，已知a繞中心天體運(yùn)行一個(gè)周期的時(shí)間，b第一次到達(dá)虛線所示位置。若b的軌道半徑為r，則a的軌道半徑為()A．eq\f(r,2) B．eq\f(r,4)C．eq\f(r,8) D．eq\f(r,16)【答案】B【解析】設(shè)衛(wèi)星a、b的運(yùn)行周期分別為Ta、Tb，則由題意可知eq\f(Ta,Tb)＝eq\f(1,8)，根據(jù)牛頓第二定律可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，解得T＝2πReq\r(\f(R,GM))∝Req\r(R)，設(shè)a的軌道半徑為r′，則可得eq\f(r′,r)＝eq\f(1,4)即r′＝eq\f(1,4)r．訓(xùn)練3、(2022·泰安二輪檢測(cè))2021年2月24日10時(shí)22分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征四號(hào)丙運(yùn)載火箭，成功將遙感三十一號(hào)03組衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定圓形軌道。該衛(wèi)星繞地球運(yùn)行示意圖如圖所示，測(cè)得衛(wèi)星在t時(shí)間內(nèi)沿逆時(shí)針從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，這段圓弧所對(duì)的圓心角為θ。已知地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，則這顆衛(wèi)星離地球表面的高度為()A．eq\r(3,\f(gR2t2,θ2)) B．eq\r(3,\f(gR2θ2,t2))C．eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))－R D．eq\r(3,\f(gR2θ2,t2))－R【答案】C【解析】該衛(wèi)星的角速度為ω＝eq\f(θ,t)，在地球表面有mg＝Geq\f(mM,R2)，對(duì)于衛(wèi)星，有Geq\f(mM,（R＋h）2)＝mω2(R＋h)，聯(lián)立解得h＝eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))－R，故C正確。考點(diǎn)二宇宙速度1．第一宇宙速度的推導(dǎo)方法一：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v12,R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s≈7.9×103m/s.方法二：由mg＝meq\f(v12,R)得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s≈7.9×103m/s.第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時(shí)它的運(yùn)行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(6.4×106,9.8))s≈5075s≈85min.2．宇宙速度與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系(1)v發(fā)＝7.9km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．(2)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓．(3)11.2km/s≤v發(fā)＜16.7km/s，衛(wèi)星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓．(4)v發(fā)≥16.7km/s，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間．例1、(2020·北京卷，5)我國首次火星探測(cè)任務(wù)被命名為“天問一號(hào)”。已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是()A．火星探測(cè)器的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度B．火星探測(cè)器的發(fā)射速度應(yīng)介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度【答案】A【解析】火星探測(cè)器前往火星，脫離地球引力束縛，還在太陽系內(nèi)，發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A正確，B錯(cuò)誤；萬有引力提供向心力，則有eq\f(Gm地m,R2)＝eq\f(mv12,R)，解得地球的第一宇宙速度為v1＝eq\r(\f(Gm地,R))，所以火星的第一宇宙速度為v火＝eq\r(\f(10%,50%))v地＝eq\f(\r(5),5)v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C錯(cuò)誤；萬有引力近似等于重力，則有eq\f(Gm火m,Req\o\al(2,火))＝mg火，解得火星表面的重力加速度，g火＝eq\f(Gm火,R火2)＝eq\f(10%,（50%）2)g地＝eq\f(2,5)g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D錯(cuò)誤。例2、(多選)(2021·湖南衡陽市聯(lián)考)2020年11月24日，長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭搭載“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器成功發(fā)射升空并將其送入預(yù)定軌道，11月28日，“嫦娥五號(hào)”進(jìn)入環(huán)月軌道飛行，12月17日凌晨，“嫦娥五號(hào)”返回器攜帶月壤著陸地球。假設(shè)“嫦娥五號(hào)”環(huán)繞月球飛行時(shí)，在距月球表面高度為h處，繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(不計(jì)周圍其他天體的影響)，測(cè)出飛行周期T，已知萬有引力常量G和月球半徑R。則下列說法正確的是()A．“嫦娥五號(hào)”繞月球飛行的線速度為eq\f(2π（R＋h）,T)B．月球的質(zhì)量為eq\f(4π2（R＋h）2,GT2)C．月球的第一宇宙速度為eq\f(2π（R＋h）,T)eq\r(\f(R＋h,R))D．月球表面的重力加速度為eq\f(4π2（R＋h）2,R2T2)【答案】AC【解析】“嫦娥五號(hào)”繞月球飛行的軌道半徑為(R＋h)，所以飛行的線速度為v＝eq\f(2π（R＋h）,T)，故A正確；“嫦娥五號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得Geq\f(m月m,（R＋h）2)＝m(eq\f(2π,T))2(R＋h)，解得月球的質(zhì)量為m月＝eq\f(4π2（R＋h）3,GT2)，故B錯(cuò)誤；月球第一宇宙速度為繞月球表面運(yùn)行的衛(wèi)星的速度，由牛頓第二定律得Geq\f(m月m,R2)＝meq\f(v2,R)，解得月球的第一宇宙速度為v＝eq\f(2π（R＋h）,T)eq\r(\f(R＋h,R))，故C正確；在月球表面，重力等于萬有引力mg＝Geq\f(m月m,R2)，月球表面的重力加速度為g月＝eq\f(4π2（R＋h）3,R2T2)，故D錯(cuò)誤。課堂隨練訓(xùn)練1、2019年4月10日，事件視界望遠(yuǎn)鏡(EHT)項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)發(fā)布了人類歷史上的首張黑洞照片，我國科學(xué)家也參與其中做出了巨大貢獻(xiàn)。經(jīng)典的“黑洞”理論認(rèn)為，當(dāng)恒星收縮到一定程度時(shí)，會(huì)變成密度非常大的天體，這種天體的逃逸速度非常大，大到光從旁邊經(jīng)過時(shí)都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此時(shí)該天體就變成了一個(gè)黑洞。若太陽演變成一個(gè)黑洞后的密度為ρ、半徑為R，設(shè)光速為c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，引力常量為G，則ρR2的最小值是()A.eq\f(3c2,4πG) B．eq\f(3c2,8πG)C.eq\f(4πG,3c2) D．eq\f(8πG,3c2)【答案】B【解析】根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，則第二宇宙速度v2＝eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))＝eq\r(\f(2Gρ·\f(4,3)πR3,R))≥c，所以ρR2≥eq\f(3c2,8πG)，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。訓(xùn)練2、地球的近地衛(wèi)星線速度大小約為8km/s，已知月球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,81)，地球半徑約為月球半徑的4倍，下列說法正確的是()A．在月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度約為8km/sB．月球衛(wèi)星的環(huán)繞速度可能達(dá)到4km/sC．月球的第一宇宙速度約為1.8km/sD．“近月衛(wèi)星”的線速度比“近地衛(wèi)星”的線速度大【答案】C【解析】根據(jù)第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，月球與地球的第一宇宙速度之比為eq\f(v2,v1)＝eq\r(\f(M2R1,M1R2))＝eq\r(\f(4,81))＝eq\f(2,9)，月球的第一宇宙速度約為v2＝eq\f(2,9)v1＝eq\f(2,9)×8km/s≈1.8km/s，在月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度約為1.8km/s，月球衛(wèi)星的環(huán)繞速度小于或等于1.8km/s，“近月衛(wèi)星”的速度為1.8km/s，小于“近地衛(wèi)星”的速度，故C正確．考點(diǎn)三、衛(wèi)星變軌問題1．變軌原理（從低軌道到高軌道）(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，如圖所示．(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ．(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ．從高軌道到低軌道變軌，上述過程加速變減速．2．變軌過程分析(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)速率分別為vA、vB.在A點(diǎn)加速，則vA>v1，在B點(diǎn)加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．(2)加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道Ⅱ或軌道Ⅲ上經(jīng)過B點(diǎn)的加速度也相同．(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3．(4)機(jī)械能：在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上機(jī)械能守恒．若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機(jī)械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ，從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ，都需要點(diǎn)火加速，則E1<E2<E3．例1、(多選)(2022·南平第二次質(zhì)檢)2020年11月24日，長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭托舉“嫦娥五號(hào)”向著月球飛馳而去。12月17日，在闖過月面著陸、自動(dòng)采樣、月面起飛、月軌交會(huì)對(duì)接、再入返回等多個(gè)難關(guān)后，歷經(jīng)重重考驗(yàn)的“嫦娥五號(hào)”返回器攜帶月球樣品，成功返回地面。“嫦娥五號(hào)”發(fā)射到達(dá)環(huán)月軌道的行程示意圖如圖，下列說法正確的是()A．在地月轉(zhuǎn)移軌道上無動(dòng)力奔月時(shí)，動(dòng)能不斷減小B．接近環(huán)月軌道時(shí)，需要減速才能進(jìn)入環(huán)月軌道C．“嫦娥五號(hào)”在地月轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)動(dòng)的最大速度小于11.2km/sD．“嫦娥五號(hào)”在地球表面加速升空過程中地球引力越來越小，處于失重狀態(tài)【答案】BC【解析】在地月轉(zhuǎn)移軌道上無動(dòng)力奔月時(shí)，受月球的引力作用，則動(dòng)能不斷增大，A錯(cuò)誤；接近環(huán)月軌道時(shí)，需要減速制動(dòng)，才能被月球俘獲，進(jìn)入環(huán)月軌道，B正確；“嫦娥五號(hào)”在地月轉(zhuǎn)移軌道上沒有脫離地球的引力，則運(yùn)動(dòng)的最大速度小于11.2km/s，C正確；“嫦娥五號(hào)”在地球表面加速升空過程中，加速度向上，則處于超重狀態(tài)，D錯(cuò)誤。例2、(多選)(2022·岳陽質(zhì)檢)“天問一號(hào)”火星探測(cè)器于2020年7月23日，在中國文昌航天發(fā)射場(chǎng)由長(zhǎng)征五號(hào)遙四運(yùn)載火箭發(fā)射升空。如圖所示，設(shè)地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g0，“天問一號(hào)”在半徑為R的近地圓形軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道Ⅱ的遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)，再次點(diǎn)火進(jìn)入軌道半徑為4R的圓形軌道Ⅲ，繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)“天問一號(hào)”質(zhì)量保持不變。則()A．“天問一號(hào)”在軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)行的周期之比為1∶8B．“天問一號(hào)”在軌道Ⅲ上的運(yùn)行速率大于eq\r(g0R)C．“天問一號(hào)”在軌道Ⅰ上的加速度小于在軌道Ⅲ上的加速度D．“天問一號(hào)”在軌道Ⅰ上的機(jī)械能小于在軌道Ⅲ上的機(jī)械能【答案】AD【解析】由開普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,1))＝eq\f(（4R）3,Teq\o\al(2,2))，解得eq\f(T1,T2)＝eq\f(1,8)，故A正確；“天問一號(hào)”在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)，由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,（4R）2)＝meq\f(v2,4R)，又GM＝g0R2，聯(lián)立解得v＝eq\f(\r(g0R),2)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)公式eq\f(GMm,r2)＝ma可知，半徑越大加速度越小，則“天問一號(hào)”在軌道Ⅰ上的加速度大于在軌道Ⅲ上的加速度，故C錯(cuò)誤；探測(cè)器在A、B點(diǎn)進(jìn)入高軌道時(shí)，都進(jìn)行了點(diǎn)火加速，機(jī)械能增加，則“天問一號(hào)”在軌道Ⅰ上的機(jī)械能小于在軌道Ⅲ上的機(jī)械能，故D正確。課堂隨練訓(xùn)練1、(2022·湖北八市3月聯(lián)考)2021年2月，“天問一號(hào)”探測(cè)器成功實(shí)施近火制動(dòng)，進(jìn)入環(huán)火橢圓軌道，并于2021年5月軟著陸火星表面，開展巡視探測(cè)等工作，探測(cè)器經(jīng)過多次變軌后登陸火星的軌跡示意圖如圖所示，其中軌道Ⅰ、Ⅲ為橢圓，軌道Ⅱ?yàn)閳A。探測(cè)器經(jīng)軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ運(yùn)動(dòng)后在Q點(diǎn)登陸火星，O點(diǎn)是軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切點(diǎn)，O、Q還分別是橢圓軌道Ⅲ的遠(yuǎn)火星點(diǎn)和近火星點(diǎn)。關(guān)于探測(cè)器，下列說法正確的是()A．由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需在O點(diǎn)減速B．在軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期小于在軌道Ⅲ上運(yùn)行的周期C．在軌道Ⅱ上運(yùn)行的線速度大于火星的第一宇宙速度D．在軌道Ⅲ上，探測(cè)器運(yùn)行到O點(diǎn)的線速度大于運(yùn)行到Q點(diǎn)的線速度【答案】A【解析】由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需在O點(diǎn)減速，由高軌道進(jìn)入低軌道需要點(diǎn)火減速，A正確；根據(jù)周期公式T＝2πeq\r(\f(R3,GM))可知，軌道半徑越大周期越大，所以在軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期大于在軌道Ⅲ上運(yùn)行的周期，B錯(cuò)誤；根據(jù)v＝eq\r(\f(GM,R))可知，在軌道Ⅱ上運(yùn)行的線速度小于火星的第一宇宙速度，C錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，近地點(diǎn)的線速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的線速度，所以在軌道Ⅲ上，探測(cè)器運(yùn)行到O點(diǎn)的線速度小于運(yùn)行到Q點(diǎn)的線速度，D錯(cuò)誤。訓(xùn)練2、嫦娥五號(hào)完美完成中國航天史上最復(fù)雜任務(wù)后于2020年12月17日成功返回，最終收獲1731克樣本．圖中橢圓軌道Ⅰ、100公里環(huán)月軌道Ⅱ及月地轉(zhuǎn)移軌道Ⅲ分別為嫦娥五號(hào)從月球返回地面過程中所經(jīng)過的三個(gè)軌道示意圖，下列關(guān)于嫦娥五號(hào)從月球返回過程中有關(guān)說法正確的是()A．在軌道Ⅱ上運(yùn)行時(shí)的周期小于在軌道Ⅰ上運(yùn)行時(shí)的周期B．在軌道Ⅰ上運(yùn)行時(shí)的加速度大小始終大于在軌道Ⅱ上時(shí)的加速度大小C．在N點(diǎn)時(shí)嫦娥五號(hào)經(jīng)過點(diǎn)火加速才能從Ⅱ軌道進(jìn)入Ⅲ軌道返回D．在月地轉(zhuǎn)移軌道上飛行的過程中可能存在不受萬有引力的瞬間【答案】C【解析】軌道Ⅱ的半徑大于橢圓軌道Ⅰ的半長(zhǎng)軸，根據(jù)開普勒第三定律可知，在軌道Ⅱ上運(yùn)行時(shí)的周期大于在軌道Ⅰ上運(yùn)行時(shí)的周期，故A錯(cuò)誤；在軌道Ⅰ上的N點(diǎn)和軌道Ⅱ上的N受到的萬有引力相同，所以在兩個(gè)軌道上經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的加速度相等，故B錯(cuò)誤；從軌道Ⅱ到月地轉(zhuǎn)移軌道Ⅲ做離心運(yùn)動(dòng)，在N點(diǎn)時(shí)嫦娥五號(hào)需要經(jīng)過點(diǎn)火加速才能從Ⅱ軌道進(jìn)入Ⅲ軌道返回，故C正確；在月地轉(zhuǎn)移軌道上飛行的過程中，始終在地球的引力范圍內(nèi)，不存在不受萬有引力的瞬間，故D錯(cuò)誤．訓(xùn)練3、(2022·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”二模)如圖所示為嫦娥五號(hào)著陸月球前部分軌道的簡(jiǎn)化示意圖，Ⅰ是地月轉(zhuǎn)移軌道，Ⅱ、Ⅲ是繞月球運(yùn)行的橢圓軌道，Ⅳ是繞月球運(yùn)行的圓形軌道。P、Q分別為橢圓軌道Ⅱ的遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)。已知圓軌道Ⅳ到月球表面的高度為h，月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，不考慮月球的自轉(zhuǎn)，下列關(guān)于嫦娥五號(hào)的說法正確的是()A．由Ⅰ軌道進(jìn)入Ⅱ軌道需在P點(diǎn)減速，由Ⅱ軌道進(jìn)入Ⅲ軌道需在Q點(diǎn)加速B．在Ⅱ軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)經(jīng)過P點(diǎn)的加速度大于經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度C．在Ⅲ軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度等于在Ⅳ軌道上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度D．在Ⅲ軌道上繞月運(yùn)行經(jīng)過Q點(diǎn)的速度大小為eq\r(\f(gR2,R＋h))【答案】C【解析】由Ⅰ軌道進(jìn)入Ⅱ軌道做近心運(yùn)動(dòng)，需在P點(diǎn)減速，同理由Ⅱ軌道進(jìn)入Ⅲ軌道需在Q點(diǎn)減速，故A錯(cuò)誤；在Ⅱ軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，P點(diǎn)為遠(yuǎn)月點(diǎn)，Q點(diǎn)為近月點(diǎn)，所以經(jīng)過P點(diǎn)的加速度小于經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度，故B錯(cuò)誤；由eq\f(GMm,r2)＝ma可知在Ⅲ軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度等于在Ⅳ軌道上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度，故C正確；在Ⅳ軌道上繞月運(yùn)行經(jīng)過Q點(diǎn)的速度大小為eq\r(\f(gR2,R＋h))，由Ⅲ軌道在Q點(diǎn)進(jìn)入Ⅳ軌道，做近心運(yùn)動(dòng)，需要減速，故D錯(cuò)誤?？键c(diǎn)四、天體的“追及”問題天體“相遇”指兩天體相距最近，以地球和行星“相遇”為例(“行星沖日”)，某時(shí)刻行星與地球最近，此時(shí)行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同(圖甲)，根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公轉(zhuǎn)的速度較快，從初始時(shí)刻到之后“相遇”，地球與行星距離最小，三者再次共線，有兩種方法可以解決問題：1．角度關(guān)系ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)2．圈數(shù)關(guān)系eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)解得t＝eq\f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)同理，若兩者相距最遠(yuǎn)(行星處在地球和太陽的延長(zhǎng)線上)(圖乙)，有關(guān)系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝eq\f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)例1、當(dāng)?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時(shí)，稱之為“木星沖日”，若2022年9月26日出現(xiàn)一次“木星沖日”．已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍．則下列說法正確的是()A．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2024年B．下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2023年C．木星運(yùn)行的加速度比地球的大D．木星運(yùn)行的周期比地球的小【答案】B【解析】設(shè)太陽質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T，加速度為a.對(duì)行星由牛頓第二定律可得Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(GM,r2)，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，因此，木星運(yùn)行的加速度比地球的小，木星運(yùn)行的周期比地球的大，故C、D錯(cuò)誤；地球公轉(zhuǎn)周期T1＝1年，由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知，木星公轉(zhuǎn)周期T2＝eq\r(125)T1≈11.2年．設(shè)經(jīng)時(shí)間t，再次出現(xiàn)“木星沖日”，則有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq\f(2π,T1)，ω2＝eq\f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星沖日”發(fā)生在2023年，故A錯(cuò)誤，B正確．例2、(多選)如圖，在萬有引力作用下，a、b兩衛(wèi)星在同一平面內(nèi)繞某一行星c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有()A．a(chǎn)、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8B．a(chǎn)、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4C．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線14次【答案】AD【解析】根據(jù)開普勒第三定律：半徑的三次方與周期的二次方成正比，則a、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為1∶8，A對(duì)，B錯(cuò)；設(shè)題圖所示位置ac連線與bc連線的夾角為θ<eq\f(π,2)，b轉(zhuǎn)動(dòng)一周(圓心角為2π)的時(shí)間為Tb，則a、b相距最遠(yuǎn)時(shí)：eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3…)，可知n＝0,1,2，…，6，n可取7個(gè)值；a、b相距最近時(shí)：eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3…)，可知m＝0,1,2，…6，m可取7個(gè)值，故在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線14次，C錯(cuò)，D對(duì)．課堂隨練訓(xùn)練1、如圖所示，A、B為地球的兩個(gè)軌道共面的人造衛(wèi)星，運(yùn)行方向相同，A為地球同步衛(wèi)星，A、B衛(wèi)星的軌道半徑的比值為k，地球自轉(zhuǎn)周期為T0．某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星距離達(dá)到最近，從該時(shí)刻起到A、B間距離最遠(yuǎn)所經(jīng)歷的最短時(shí)間為()A．SKIPIF1<0 B．eq\f(T0,\r(k3)－1)C．SKIPIF1<0 D．eq\f(T0,\r(k3)＋1)【答案】C【解析】由開普勒第三定律得eq\f(rA3,TA2)＝eq\f(rB3,TB2)，設(shè)兩衛(wèi)星至少經(jīng)過時(shí)間t距離最遠(yuǎn)，即B比A多轉(zhuǎn)半圈，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝nB－nA＝eq\f(1,2)，又由A是地球同步衛(wèi)星知TA＝T0，解得t＝SKIPIF1<0．故選C．訓(xùn)練2、(多選)如圖,三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c的質(zhì)量分別為m1、m2、M(M遠(yuǎn)大于m1及m2),在萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知軌道半徑之比為ra∶rb=1∶4，則下列說法中正確的是()A．a(chǎn)、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta∶Tb=1∶8B．a(chǎn)、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta∶Tb=1∶4C．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線14次【答案】AD【解析】根據(jù)開普勒第三定律，周期的平方與半徑的三次方成正比，則a、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為1∶8，A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)圖示位置夾角為θ(θ<SKIPIF1<0)，b轉(zhuǎn)動(dòng)一周(圓心角為2π)的時(shí)間為t=Tb，則a、b相距最遠(yuǎn)時(shí)，有SKIPIF1<0，可知n<6.75，n可取7個(gè)值；a、b相距最近時(shí)，有SKIPIF1<0，可知m<6.25，m可取7個(gè)值，故在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線14次，D正確，C錯(cuò)誤?？键c(diǎn)五、雙星或多星模型1．雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)．如圖所示．(2)特點(diǎn)①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.②兩顆星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1＋r2＝L.④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1).⑤雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2πSKIPIF1<0.⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G).2．多星模型(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同．(2)常見的三星模型①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)．②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)．(3)常見的四星模型①四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丙所示)．②三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丁所示)．例1、(2018·全國卷Ⅰ)(多選)2017年，人類第一次直接探測(cè)到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時(shí)，它們相距約400km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星()A．質(zhì)量之積 B．質(zhì)量之和C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速度【答案】BC【解析】依題意已知兩顆中子星的周期T、距離L，各自的自轉(zhuǎn)角速度不可求，D錯(cuò)誤；對(duì)m1：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，對(duì)m2：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，已知幾何關(guān)系：r1＋r2＝L，ω＝eq\f(2π,T)，聯(lián)立以上各式可解得：r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)，B正確；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝eq\f(2πL,T)，C正確；質(zhì)量之積m1m2＝eq\f(ω2L2r2,G)·eq\f(ω2L2r1,G)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πL,T)))4,G2)·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A錯(cuò)誤。例2、(2022·東北三省三校4月第二次聯(lián)考)太空中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的、由四顆星體組成的四星系統(tǒng)，可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。現(xiàn)有這樣一種穩(wěn)定運(yùn)行的正三角形四星系統(tǒng)，四顆星分別位于某一正三角形三個(gè)頂點(diǎn)和其幾何中心上。四顆星質(zhì)量均為m，正三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，引力常量為G。則下列說法中正確的是()A．位于頂點(diǎn)的三顆星運(yùn)動(dòng)的角速度與它們質(zhì)量的大小無關(guān)B．該四星系統(tǒng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為eq\f(\r(3),2)LC．每個(gè)處于頂點(diǎn)處的星體所受向心力大小為eq\f(\r(3)Gm2,L2)D．該四星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為2πLeq\r(\f(L,（3＋3\r(3)）Gm))【答案】D【解析】該四星系統(tǒng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝eq\f(\f(L,2),cos30°)＝eq\f(\r(3),3)L，B錯(cuò)誤；每個(gè)處于頂點(diǎn)處的星體所受向心力大小為F＝eq\f(Gm2,r2)＋2eq\f(Gm2,L2)·cos30°＝eq\f(（3＋\r(3)）Gm2,L2)，C錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律eq\f(（3＋\r(3)）Gm2,L2)＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(（3＋3\r(3)）Gm,L3))，位于頂點(diǎn)的三顆星運(yùn)動(dòng)的角速度與它們質(zhì)量的大小有關(guān)，A錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律得eq\f(（3＋\r(3)）Gm2,L2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πLeq\r(\f(L,（3＋3\r(3)）Gm))，D正確。例3、由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，其中有一種運(yùn)動(dòng)形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于一等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在等邊三角形所在的平面內(nèi)做角速度相同的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知A星體的質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，AD為BC邊的中垂線，下列說法正確的是()A．圓心O在中垂線AD的中點(diǎn)處B．A星體的軌道半徑最大C．A星體的線速度最大D．A星體的加速度最大【答案】A【解析】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，由萬有引力公式可知，A星體受到B、C兩星體的引力的大小分別為：FBA＝FCA＝Geq\f(m·2m,a2)＝eq\f(2Gm2,a2)，方向如圖，A受到的合力的大小為：FA＝2FBAcos30°＝eq\f(2\r(3)Gm2,a2)；B星體受到A、C兩星體的引力大小分別為：FAB＝eq\f(2Gm2,a2)，F(xiàn)CB＝eq\f(Gm2,a2)，方向如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，將FAB、FCB沿x軸和y軸分解，沿x軸方向：FBx＝FAB·cos60°＋FCB＝eq\f(2Gm2,a2)，沿y軸方向：FBy＝FABsin60°＝eq\f(\r(3)Gm2,a2)，則B受到的合力大小為：FB＝eq\r(F\o\al(2,Bx)＋F\o\al(2,By))＝eq\f(\r(7)Gm2,a2)；B、C的受力情況相似，則C受到的合力大小為：FC＝eq\f(\r(7)Gm2,a2)。三個(gè)星體繞共同的圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力提供向心力，則任意兩星體所受合力的交點(diǎn)即三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，由于B、C的質(zhì)量相等，則B、C對(duì)A的萬有引力的合力方向與BC的中垂線AD方向相同；通過對(duì)B的受力分析可知，由于FAB＝eq\f(2Gm2,a2)，F(xiàn)CB＝eq\f(Gm2,a2)，B所受合力的方向經(jīng)過BC的中垂線AD的中點(diǎn)O，則圓心O一定在BC的中垂線AD的中點(diǎn)處，故A正確。由幾何知識(shí)可知：AD＝asin60°＝eq\f(\r(3),2)a，圓心O是AD的中點(diǎn)，則A的軌道半徑rA＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),4)a，根據(jù)幾何關(guān)系，B、C的軌道半徑rB＝rC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(7),4)a，B、C的軌道半徑大于A的軌道半徑，故B錯(cuò)誤。由于三星體的角速度ω相等，且rB＝rC>rA，根據(jù)v＝ωr，可知vB＝vC>vA，故C錯(cuò)誤。根據(jù)a＝ω2r，可知aB＝aC>aA，故D錯(cuò)誤。課堂隨練訓(xùn)練1、(2022·南京秦淮中學(xué)檢測(cè))如圖，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。在地球上通過望遠(yuǎn)鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面。觀測(cè)發(fā)現(xiàn)每隔時(shí)間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，引力常量為G，則可推算出雙星的總質(zhì)量為()A．eq\f(π2d2,GT2) B．eq\f(π2d3,GT2)C．eq\f(2π2d2,GT2) D．eq\f(4π2d3,GT2)【答案】B【解析】設(shè)A、B兩天體的軌道半徑分別為r1、r2，兩者做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，設(shè)為T′，由于經(jīng)過時(shí)間T兩者在此連成一條直線，故T′＝2T，對(duì)兩天體，由萬有引力提供向心力可得Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T′)))eq\s\up12(2)r1，Geq\f(mAmB,d2)＝mBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T′)))eq\s\up12(2)r2，其中d＝r1＋r2，聯(lián)立解得mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，故B正確。訓(xùn)練2、(2022·梧州3月聯(lián)考)宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)。設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的某固定點(diǎn)O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。若A、B兩星球到O點(diǎn)的距離之比為3∶1，則()A．星球A與星球B所受引力大小之比為1∶3B．星球A與星球B的線速度大小之比為1∶3C．星球A與星球B的質(zhì)量之比為3∶1D．星球A與星球B的動(dòng)能之比為3∶1【答案】D【解析】星球A所受的引力與星球B所受的引力均為二者之間的萬有引力，大小是相等的，故A錯(cuò)誤；雙星系統(tǒng)中，星球A與星球B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，根據(jù)v＝ωr，則線速度大小之比為3∶1，故B錯(cuò)誤；A、B兩星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由二者之間的萬有引力提供，可得Geq\f(mAmB,L2)＝mAω2rA＝mBω2rB，則星球A與星球B的質(zhì)量之比為mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C錯(cuò)誤；星球A與星球B的動(dòng)能之比為eq\f(EkA,EkB)＝eq\f(\f(1,2)mAveq\o\al(2,A),\f(1,2)mBveq\o\al(2,B))＝eq\f(mA（ωrA）2,mB（ωrB）2)＝eq\f(3,1)，故D正確。訓(xùn)練3、(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形四個(gè)頂點(diǎn)，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是()A．星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不一定是正方形的中心B．每個(gè)星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度均為SKIPIF1<0C．若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來的兩倍D．若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變【答案】BD【解析】四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定是正方形的中心，故A錯(cuò)誤；由eq\r(2)Geq\f(m2,L2)＋GSKIPIF1<0＝(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝mω2·eq\f(\r(2),2)L，可知ω＝SKIPIF1<0，故B正確；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝ma可知，若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均為原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來的eq\f(1,2)，故C錯(cuò)誤；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝meq\f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v＝SKIPIF1<0，所以若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，故D正確．同步訓(xùn)練1、(多選)地球的某衛(wèi)星的工作軌道為圓軌道，軌道高度為h，運(yùn)行周期為T。若還知道引力常量G和地球半徑R，僅利用以上條件能求出的是()A．地球表面的重力加速度B．地球?qū)υ撔l(wèi)星的吸引力C．該衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度D．該衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的加速度【答案】ACD【解析】該衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，則有GSKIPIF1<0＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，得M＝SKIPIF1<0，故根據(jù)已知量可以求得地球的質(zhì)量M，再根據(jù)物體在地球表面時(shí)的重力與萬有引力相等，有Geq\f(mM,R2)＝mg，在已知地球質(zhì)量和半徑及引力常量的情況下可以求得地球表面的重力加速度，故A正確；由于不知道該衛(wèi)星的質(zhì)量，故無法求出地球?qū)υ撔l(wèi)星的吸引力，故B錯(cuò)誤；已知該衛(wèi)星的軌道半徑和周期，根據(jù)v＝eq\f(2πr,T)知，可以求出衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度，故C正確；該衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的加速度也就是衛(wèi)星的向心加速度，根據(jù)a＝eq\f(4π2,T2)r，已知該衛(wèi)星的軌道半徑和周期可以求出其加速度，故D正確。2、(多選)2019年9月23日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭以“一箭雙星”方式成功發(fā)射第47、48顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，兩顆衛(wèi)星均屬于“中圓地球軌道”衛(wèi)星?！爸袌A地球軌道”衛(wèi)星是指衛(wèi)星軌道距離地面高為2×103km至2×104km并且繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的地球衛(wèi)星。若第47顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星軌道距地面的高度約為1.92×104km，已知地球半徑為6400km，地球表面重力加速度取9.8m/s2，則下列說法中正確的是()A．該衛(wèi)星的發(fā)射速度應(yīng)大于7.9km/s而小于11.2km/sB．該衛(wèi)星每天環(huán)繞地球大約運(yùn)行三圈C．該衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度約為4km/sD．該衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度約為2.45m/s2【答案】AC【解析】7.9km/s即第一宇宙速度，是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，11.2km/s即第二宇宙速度，發(fā)射速度超過此速度的衛(wèi)星將脫離地球的引力，第47顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星屬于地球衛(wèi)星，其發(fā)射速度應(yīng)大于7.9km/s而小于11.2km/s，故A正確；設(shè)該衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v，周期為T，由萬有引力定律得：eq\f(GMm,R2)＝mg，SKIPIF1<0＝eq\f(mv2,R＋H)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋H)＝ma，聯(lián)立解得：v≈4km/s，T≈11h，a＝0.6125m/s2，故C正確，D錯(cuò)誤；該衛(wèi)星每天繞地球運(yùn)行的圈數(shù)大約為n＝eq\f(24,11)≈2，故B錯(cuò)誤。3、(多選)2018年12月8日發(fā)射成功的“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器經(jīng)過約110小時(shí)奔月飛行，到達(dá)月球附近，成功實(shí)施近月制動(dòng)，順利完成“太空剎車”，被月球捕獲并順利進(jìn)入環(huán)月軌道。若將整個(gè)奔月過程簡(jiǎn)化如下：“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器從地球表面發(fā)射后，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)變軌進(jìn)入距離月球表面100km的圓形軌道Ⅰ，在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)再次變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，之后將擇機(jī)在Q點(diǎn)著陸月球表面。下列說法正確的是()A．“嫦娥四號(hào)”沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)，在P點(diǎn)的加速度大于在Q點(diǎn)的加速度B．“嫦娥四號(hào)”沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期大于沿軌道Ⅰ運(yùn)行的周期C．“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速度小于月球的第一宇宙速度D．“嫦娥四號(hào)”在地月轉(zhuǎn)移軌道上M點(diǎn)的速度大于在軌道Ⅰ上M點(diǎn)的速度【答案】CD【解析】根據(jù)牛頓第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，則“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)，在P點(diǎn)的加速度小于在Q點(diǎn)的加速度，故A錯(cuò)誤；軌道Ⅱ的半長(zhǎng)軸比軌道Ⅰ的軌道半徑小，根據(jù)開普勒第三定律，“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期比在軌道Ⅰ上的小，故B錯(cuò)誤；月球的第一宇宙速度是衛(wèi)星貼近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅰ上的運(yùn)動(dòng)半徑大于月球半徑，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，可知“嫦娥四號(hào)”在軌道Ⅰ上的運(yùn)動(dòng)速度比月球的第一宇宙速度小，故C正確；“嫦娥四號(hào)”在地月轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過M點(diǎn)進(jìn)入軌道Ⅰ時(shí)，需減速，所以在地月轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過M點(diǎn)的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過M點(diǎn)的速度大，故D正確。4、(2019·全國卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金<R地<R火，由此可以判定()A．a(chǎn)金>a地>a火 B．a(chǎn)火>a地>a金C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金【答案】A【解析】行星繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)有：Geq\f(Mm,R2)＝ma，得向心加速度a＝eq\f(GM,R2)，Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得線速度v＝eq\r(\f(GM,R))，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正確。5、(2019·江蘇高考)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號(hào)”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)。如圖所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度分別為v1、v2，近地點(diǎn)到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。則()A．v1>v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1>v2，v1>eq\r(\f(GM,r))C．v1<v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1<v2，v1>eq\r(\f(GM,r))【答案】B【解析】衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，由開普勒第二定律知，近地點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，即v1>v2。若衛(wèi)星以近地點(diǎn)到地心的距離r為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，則有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,近),r)，得運(yùn)行速度v近＝eq\r(\f(GM,r))，由于衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，則v1>v近，即v1>eq\r(\f(GM,r))，B正確。6、2020年7月23日我國首顆火星探測(cè)器“天問一號(hào)”宇宙飛船發(fā)射成功，開啟火星探測(cè)之旅。假設(shè)飛船從“地—火軌道”到達(dá)火星近地點(diǎn)P短暫減速，進(jìn)入軌道Ⅲ，再經(jīng)過兩次變軌進(jìn)入圓軌道Ⅰ。軌道Ⅰ的半徑近似等于火星半徑。已知萬有引力常量為G。則下列說法正確的是()A．在P點(diǎn)進(jìn)入軌道Ⅲ時(shí)，飛船應(yīng)向后噴氣B．在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，飛船在Q點(diǎn)的機(jī)械能大于在P點(diǎn)的機(jī)械能C．飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期大于在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)的周期D．測(cè)出飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期，就可以推知火星的密度【答案】D【解析】在P點(diǎn)進(jìn)入軌道Ⅲ時(shí)，飛船應(yīng)向前噴氣制動(dòng)減速，故A錯(cuò)誤；在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有萬有引力對(duì)飛船做功，故飛船在Q點(diǎn)的機(jī)械能等于在P點(diǎn)的機(jī)械能，故B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期小于在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)的周期，故C錯(cuò)誤；飛船在軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R，火星體積為V＝eq\f(4πR3,3)，火星質(zhì)量為M＝ρV，聯(lián)立解得火星的密度為ρ＝eq\f(3π,GT2)，所以測(cè)出飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期，就可以推知火星的密度，故D正確。7、(2021·全國甲卷·18)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測(cè)任務(wù)的“天問一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m．已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m【答案】C【解析】忽略火星自轉(zhuǎn)，設(shè)火星半徑為R，則火星表面處有eq\f(GMm,R2)＝mg①可知GM＝gR2設(shè)與周期為1.8×105s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為r，由萬有引力提供向心力可知eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r②設(shè)近火點(diǎn)到火星中心的距離為R1＝R＋d1③設(shè)遠(yuǎn)火點(diǎn)到火星中心的距離為R2＝R＋d2④由開普勒第三定律可知eq\f(r3,T2)＝SKIPIF1<0⑤聯(lián)立①②③④⑤可得d2≈6×107m，故選C.8、如圖所示，我國空間站核心艙“天和”在離地高度約為h＝400km的圓軌道上運(yùn)行期間，聶海勝等三名宇航員在軌工作．假設(shè)“天和”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球半徑R＝6400km，引力常量為G，則可知()A．“天和”核心艙內(nèi)的宇航員不受地球引力作用B．聶海勝在軌觀看蘇炳添東奧百米決賽比賽時(shí)間段內(nèi)飛行路程可能超過79kmC．考慮到h遠(yuǎn)小于R，聶海勝可以記錄連續(xù)兩次經(jīng)過北京上空的時(shí)間間隔T，利用公式ρ＝eq\f(3π,GT2)估算地球密度D．“天和”核心艙軌道平面內(nèi)可能存在一顆與地球自轉(zhuǎn)周期相同的地球衛(wèi)星【答案】D【解析】“天和”核心艙內(nèi)的宇航員仍受到地球引力的作用，故A錯(cuò)誤；由公式Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得貼近地球表面飛行的衛(wèi)星的線速度v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s，“天和”號(hào)運(yùn)行的線速度v1＝eq\r(\f(GM,R＋h))<v＝7.9km/s，蘇炳添東奧百米決賽比賽時(shí)間小于10s，所以聶海勝在軌觀看蘇炳添東奧百米決賽比賽時(shí)間段內(nèi)飛行路程小于79km，故B錯(cuò)誤；北京不在赤道上，考慮到地球的自轉(zhuǎn)的因素，若聶海勝記錄連續(xù)兩次經(jīng)過北京上空的時(shí)間間隔T，該時(shí)間一定不是在較低的軌道上的“天和”號(hào)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，所以不能用ρ＝eq\f(3π,GT2)估算地球的密度，故C錯(cuò)誤；由題可知，“天和”核心艙的軌道半徑和地球同步衛(wèi)星的軌道半徑不同，但其軌道平面內(nèi)可能存在一顆與地球自轉(zhuǎn)周期相同的地球衛(wèi)星，故D正確．9、利用三顆位置