1.1.1集合的表示方法第2課時(shí)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法第2課時(shí)集合的表示方法基礎(chǔ)知識(shí)列舉法把集合中的元素一一列舉出來(lái)(相鄰元素之間用逗號(hào)分隔)，并寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)，以此來(lái)表示集合的方法稱為列舉法。思考1：用列舉法可以表示無(wú)限集嗎？提示：可以。但構(gòu)成集合的元素必須具有明顯的規(guī)律，并且表示時(shí)要把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)清楚，如正整數(shù)集N＋可表示為{1,2,3,4,5,6，…}．例如，由兩個(gè)元素0，1組成的集合可用列舉法表示為{0，1};又如，24的所有正因數(shù)1，2，3，4，6，8，12，24組成的集合可用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24

};再如，中國(guó)古典長(zhǎng)篇小說(shuō)四大名著組成的集合可以表示為{《紅樓夢(mèng)》，《三國(guó)演義》，《水滸傳》，《西游記》}.用列舉法表示集合時(shí)，一般不考慮元素的順序，例如，{1，2}與{2，1}表示同一個(gè)集合。但是，如果一個(gè)集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不至于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示。例如，不大于100的自然數(shù)組成的集合，可表示為{0，1，2，3，...，100}，無(wú)限集有時(shí)也可用列舉法表示。例如，自然數(shù)集N可表示為

{0，1，2，3，...，n，…}，值得注意的是，只含一個(gè)元素的集合{a}也是一個(gè)集合，要將這個(gè)集合與它的元素a

加以區(qū)別，事實(shí)上，a∈{a}描述法嘗試與發(fā)現(xiàn)以下集合用列舉法表示方便嗎?如果不方便，你覺(jué)得可以怎樣表示?滿足x>3的所有數(shù)組成的集合A;(2)所有有理數(shù)組成的集合Q.顯然，用列舉法表示上述集合并不方便，但因?yàn)榧螦中的元素x都具有性質(zhì)“x是大于3的數(shù)”，而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)所以可以把集合A表示為{x

|x

是大于3的數(shù)}或{x|

x>3},即A=

{x|x是大于3的數(shù))或A={x|x>3}.類似地，Q中的每一個(gè)元素都具有性質(zhì)“是兩個(gè)整數(shù)的商”，而不屬于Q的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，因此可以把Q表示為Q＝{x

|x是兩個(gè)整數(shù)的商}

上述表示集合的方法中，大括號(hào)內(nèi)豎線的左邊是元素的形式，豎線的右邊是只有這個(gè)集合中的元素才滿足的性質(zhì)。一般地，如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個(gè)特征性質(zhì)。此時(shí)，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為{x|p(x)}這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡(jiǎn)稱為描述法。例如，“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形”是平行四邊形的一個(gè)特征性質(zhì)，因此所有平行四邊形組成的集合可以表示為{x|x

是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形}又如，所有能被3整除的整數(shù)組成的集合，可以用描述法表示為{x|x=3n，n∈Z}類似地，所有被3除余1的自然數(shù)組成的集合可以表示為{x|x=3n+1，n∈N}不過(guò)這一集合通常也表示為{x∈N|x=3n+1，n∈Z}這就是說(shuō)，集合{x|p(x)}中所有在另一個(gè)集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x∈I

|p(x)}典例精析用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希悍匠蘹(x－1)=0的所有解組成的集合A；平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合B.(1)因?yàn)?和1是方程x(x－1)0的解，而且這個(gè)方程只有兩個(gè)解，所以A={0，1}.(2)因?yàn)榧螧的特征性質(zhì)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都大于零，因此B={(x，y)|x>0，y>0)}.思考2：用列舉法與描述法表示集合的區(qū)別是什么？提示：列舉法描述法一般形式{a1，a2，a3，…，an}{x∈I|p(x)}適用范圍有限集或規(guī)律性較強(qiáng)的無(wú)限集有限集、無(wú)限集均可特點(diǎn)直觀、明了抽象、概括習(xí)慣上，如果a<b，則集合{x|

a≤x

≤b}可簡(jiǎn)寫(xiě)為[a，b]，并稱為閉區(qū)間，例如，集合{x

|1≤x≤2)可簡(jiǎn)寫(xiě)為閉區(qū)間[1，2]。類似地，如果a<b;集合{x|

a＜

x＜

b}可簡(jiǎn)寫(xiě)為(a，b)，并稱為開(kāi)區(qū)間；集合{x|

a

≤x＜b}可簡(jiǎn)寫(xiě)為[a，b)，集合{x|

a＜x≤b}可簡(jiǎn)寫(xiě)為(a，b]，并都稱為半開(kāi)半閉區(qū)間。上述區(qū)間中，a，b分別稱為區(qū)間的左、右端點(diǎn)，b－a

稱為區(qū)間的長(zhǎng)度，區(qū)間可以用數(shù)軸形象地表示。例如，區(qū)間[-2，1)可用下圖表示，注意圖中-2處的點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)，而1處的點(diǎn)是空心點(diǎn)。如果用“+∞”表示“正無(wú)窮大”，用“－∞”表示“負(fù)無(wú)窮大”，則：實(shí)數(shù)集R可表示為區(qū)間(－∞，+∞);集合{x|x≥a}可表示為區(qū)間[a，+∞);集合{x|x＞a}可表示為區(qū)間____________；集合{x|x≤a}可表示為區(qū)間____________；集合{x|x＜a}可表示為區(qū)間____________；(a，+∞)(－∞，a](－∞，a)類似地，上述區(qū)間也可用數(shù)軸來(lái)形象地表示。例如，區(qū)間[7，+∞)可以用下圖表示。7x思考3：區(qū)間與數(shù)集有何關(guān)系？提示：(1)聯(lián)系：區(qū)間實(shí)際上是一類特殊的數(shù)集(連續(xù)的)的符號(hào)表示，是集合的另一種表達(dá)形式；(2)區(qū)別：不連續(xù)的數(shù)集不能用區(qū)間表示，如整數(shù)集、自然數(shù)集等；(3)區(qū)間與區(qū)間之間可以用集合的運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)，表示兩個(gè)集合之間的運(yùn)算。典例精析

基礎(chǔ)自測(cè)1．用列舉法表示集合{x∈N*|x－3≤2}為(

)A．{0,1,2,3,4}

B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4}

D．{1,2,3,4,5}解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素為小于等于5的全部正整數(shù)，則{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．D

2．第一象限的點(diǎn)組成的集合可以表示為(

)A．{(x，y)|xy>0}

B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0}

D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都大于0，所以第一象限的點(diǎn)組成的集合可以表示為{(x，y)|x>0且y>0}．C

3.能被2整除的正整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為_(kāi)___________________.4.下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全體實(shí)數(shù)}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集為{x－5>0}．其中，集合表示方法正確的是_____(填序號(hào))．5.(1){x|－1≤x≤2)}可用區(qū)間表示為_(kāi)__________；(2){x|1<x≤3}可用區(qū)間表示為_(kāi)________；(3){x|x>2}可用區(qū)間表示為_(kāi)___________；(4){x|x≤－2}可用區(qū)間表示為_(kāi)_____________.{x|x＝2n，n∈N*}

③

[－1,2]

(1,3]

(2，＋∞)

(－∞，－2]

典例剖析用列舉法表示集合用列舉法表示下列集合：(1)36與60的公約數(shù)構(gòu)成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根構(gòu)成的集合；

思路探究：(1)要明確公約數(shù)的含義；(2)注意4是重根；

(3)要寫(xiě)成點(diǎn)集形式。

x－y=12x+3y=4的解是

歸納提升：1.用列舉法表示集合的三個(gè)步驟(1)求出集合的元素。(2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次。(3)用花括號(hào)括起來(lái)。2．在用列舉法表示集合時(shí)的關(guān)注點(diǎn)(1)用列舉法書(shū)寫(xiě)集合時(shí)，先應(yīng)明確集合中的元素是什么．如本題(4)是點(diǎn)集，而非數(shù)集．集合的所有元素用有序數(shù)對(duì)表示，并用“{}”括起來(lái)，元素間用分隔號(hào)“，”。(2)元素不重復(fù)，元素?zé)o順序，所以本題(1)中，{1,1,2}為錯(cuò)誤表示。又如集合{1,2,3,4}與{2,1,4,3}表示同一集合。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

用描述法表示集合

思路探究：用描述法表示集合時(shí)，關(guān)鍵要先弄清元素的屬性是什么，再給出其滿足的性質(zhì)，注意不要漏掉類似“x∈N”等條件。解析：(1)集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿足x<0，且y>0，故集合可表示為{(x，y)|x<0且y>0}．(3)要使該式有意義，需有解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示為{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0}．x≠02－x≥0，歸納提升：用描述法表示集合應(yīng)注意的問(wèn)題1．寫(xiě)清楚該集合中的代表元素，即弄清代表元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他形式。2．準(zhǔn)確說(shuō)明集合中元素所滿足的特征。3．所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在集合符號(hào)內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的符號(hào)。4．用于描述的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確，多層描述時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語(yǔ)句之間的關(guān)系。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2．給出下列說(shuō)法：①在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為{(x，y)|xy>0}；②所有奇數(shù)組成的集合為{x|x＝2n＋1}；③集合{(x，y)|y＝1－x}與{x|y＝1－x}是同一集合．其中正確的有(

)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)A

解析：①正確；②不正確，應(yīng)為{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③不正確，{(x，y)|y＝1－x}表示的是點(diǎn)集，而{x|y＝1－x}表示的為數(shù)集．集合與方程的綜合問(wèn)題(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個(gè)元素，則a＝(

)A．1

B．2 C．0

D．0或1D

思路探究：(1)集合只有一個(gè)元素，即方程ax2＋2x＋1＝0只有一根；

(2)先求出a的值，再求元素之積。

歸納提升：集合與方程綜合問(wèn)題的解題策略(1)對(duì)于一些已知某個(gè)集合(此集合中涉及方程)中的元素個(gè)數(shù)，求參數(shù)的問(wèn)題，常把集合的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的問(wèn)題．如對(duì)于方程ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)a≠0時(shí)，若Δ＝0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若Δ<0，則方程無(wú)解；若Δ>0，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。(2)集合與方程的綜合問(wèn)題，一般要求對(duì)方程中最高次項(xiàng)的系數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，確定方程實(shí)數(shù)根的情況，進(jìn)而求得結(jié)果．需特別注意判別式在一元二次方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的討論中的作用。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值。

(2)若本例(1)中“只有一個(gè)元素”變?yōu)椤爸辽儆幸粋€(gè)元素”，

求a的取值范圍。解析：(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的兩根為2,3，∴4－2a+b=0，9－3a+b=0，解得a=5，b=6，因此a=5，b=6(2)A中至少有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)或兩個(gè)元素。由例題解析可知，當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，A中有一個(gè)元素；當(dāng)A中有兩個(gè)元素時(shí)，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0.所以A中至少有一個(gè)元素時(shí)，a的取值范圍為(－∞，1]。對(duì)集合中的代表元素認(rèn)識(shí)不到位用列舉法表示下列集合：(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(3)C={方程組的解}.x＋y=3x－y=－1錯(cuò)因探究：(1)本題容易忽略集合的代表元素是y，習(xí)慣認(rèn)為是x，誤認(rèn)為A＝{0,1,2}．(2)本題容易忽略代表元素，把點(diǎn)集誤認(rèn)為數(shù)集，導(dǎo)致錯(cuò)誤答案B＝{0,6,1,5,2}．(3)本題容易對(duì)“方程組的解為有序?qū)崝?shù)對(duì)”認(rèn)識(shí)不到位，導(dǎo)致錯(cuò)誤答案C＝{1,2}．解析：(1)因?yàn)閥＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，所以當(dāng)x＝0,1,2時(shí)，y＝6,5,2，符合題意，所以用列舉法表示為A＝{2,5,6}．(2)(x，y)滿足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，則有

滿足條件，所以用列舉法表示為B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．x=0,y=6,x=1,y=5,x=2,y=2,(3)方程組

的解是有序?qū)崝?shù)對(duì)，其解的集合可以表示為

，用列舉法表示為{(1,2)}．x＋y=3,x－y=－1,(x，y)|x=1,y=2,誤區(qū)警示：當(dāng)用描述法表示集合時(shí)，要注意其表達(dá)符號(hào)(花括號(hào)、豎線)，豎線前表示代表元素，豎線后為元素的特征性質(zhì)．看一個(gè)集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性質(zhì)是什么。集合中的“新定義”問(wèn)題“新定義”型集合問(wèn)題就是在已有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，結(jié)合