學(xué)生浙教版第二章特殊三角形知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)及練習(xí)

《特殊三角形》復(fù)習(xí)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)本章主要學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理、HL定理等知識(shí)，這些知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)如以下圖所示：二、重點(diǎn)回憶1．等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形兩腰_______；等腰三角形兩底角______(即在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)_____)；等腰三角形三線合一，這三線是指________________、________________、________________，也就是說(shuō)一條線段充當(dāng)三種身份；等腰三角形是________圖形，它的對(duì)稱軸有_________條。2．等腰三角形的判定：有____邊相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形〔即在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)_____〕。注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對(duì)嗎？3．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形各條邊______，各內(nèi)角_______，且都等于_____；等邊三角形是______圖形，它有____條對(duì)稱軸。4．等邊三角形的判定：有____邊相等的三角形是等邊三角形；有三個(gè)角都是______的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角都是______的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是______的______三角形是等邊三角形。5．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角_______；直角三角形斜邊上的中線等于_______；直角三角形兩直角邊的平方和等于________〔即勾股定理〕。30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的________6．直角三角形的判定：有一個(gè)角是______的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角_______的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于_______的三角形是直角三角形。一條邊上的中線等于該邊長(zhǎng)度的一半，那么該三角形是直角三角形，但不能直接拿來(lái)判斷某三角形是直角三角形，但有助于解題。7．直角三角形全等的判定：斜邊和___________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。8．角平分線的性質(zhì)：在角內(nèi)部到角兩邊___________在這個(gè)角的平分線上。三、重點(diǎn)解讀1．學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點(diǎn)分清性質(zhì)與判定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關(guān)系判斷一個(gè)圖形形狀通常用的是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系那就是性質(zhì)；2．等腰三角形的腰是在一個(gè)三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)千萬(wàn)不能將理由說(shuō)成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形〞；3．直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來(lái)證明線段之間的相等關(guān)系，而且它也是今后研究直角三角形問(wèn)題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來(lái)不少方便；4．勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“〞就認(rèn)定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4，就認(rèn)為另一邊一定是5；5．“HL〞是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在兩個(gè)三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當(dāng)然，以前學(xué)過(guò)的“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞等判定一般三角形全等的方法對(duì)于直角三角形全等的判定同樣有效。切記!!!兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒(méi)有邊邊角定理。因此在證明全等時(shí)千萬(wàn)不要這樣做。本章解題時(shí)用到的主要數(shù)學(xué)思想方法：⑴分類討論思想〔特別是在語(yǔ)言模糊的等腰三角形中〕〔留意后面的例題〕⑵方程思想：主要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長(zhǎng)〔留意后面的例題〕⑶等面積法四、典型例題〔一〕、角平分線+平行線1、在△ABC中，三內(nèi)角互不相等，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。過(guò)O點(diǎn)作EF,使EF∥BC?！?〕圖中有幾個(gè)等腰三角形？〔2〕猜測(cè)線段BE、CF、EF有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。2、在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB,過(guò)O點(diǎn)作EF，使EF∥BC，且∠EBO=30°。假設(shè)BE=5，△ABC的周長(zhǎng)為_________。〔二〕、角平分線+垂線3、如圖：AB=AC，∠1=∠2，AE⊥CD于F交BC于點(diǎn)E，求證：AB=CE。4、如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：BD=2CE(三)、直角三角形的一個(gè)銳角平分線+斜邊上的高線F5、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB于D，它們交于點(diǎn)F，△CFE是等腰三角形嗎？試說(shuō)明理由.F〔四〕、等邊三角形的幾個(gè)根本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F?！螦FE=_________。7、如圖點(diǎn)A、C、E在同一直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形，M、N分別是AD、BE的中點(diǎn)。說(shuō)明：△CMN是等邊三角形。8、等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，假設(shè)點(diǎn)P在一邊BC上〔圖1〕，此時(shí)h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h，請(qǐng)你探索以下問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)〔圖2〕和點(diǎn)P在△ABC外〔圖3〕這兩種情況時(shí)，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜測(cè)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．〔五〕、等腰直角三角形的幾個(gè)根本應(yīng)用9、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥M于E。(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，說(shuō)明△ADC≌△CEB的理由；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，說(shuō)明DE=AD－BE的理由；ABCDEMN圖2ABCDMN圖3ABCDEMN圖2ABCDMN圖3AABCDEMN圖110、如圖，在直角△ABC中，∠C=90，AC=BC，D，E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn)。求證：△MDE是等腰直角三角形。〔六〕、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程11、觀察下面表格中所給出的三個(gè)數(shù)a，b，c，其中a，b，c為正整數(shù)，且a<b<c〔1〕：試找出他們的共同點(diǎn)，并證明你的結(jié)論〔2〕：當(dāng)a=21時(shí)，求b，c的值,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41……..……21,b,c21+b=c12、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ。〔1〕觀察并猜測(cè)AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．〔2〕假設(shè)PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說(shuō)明理由．AABCD13、等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，求這個(gè)三角形的面積分析：對(duì)于沒(méi)有圖形的大題〔指需要過(guò)程的題目〕，最好自己畫圖，與人方便，與己方便。解：設(shè)這個(gè)等腰三角形為ABC，高為AD，設(shè)BD為x，那么AB為〔16-x〕，由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2∴x=6∴S?ABC=BC?AD/2=2?6?8/2=4814、矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在DC邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng)。EEGCDBA〔七〕、需要分類討論的〔主要是由語(yǔ)言的模糊造成要討論〕有一個(gè)角等于50°，另一個(gè)角等于__________的三角形是等腰三角形。有一個(gè)直角三角形的兩條直角邊為3，4，那么第三條邊長(zhǎng)為__________如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩局部，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)?！舶恕匙鲌D題如圖，求作一點(diǎn)P，使PC=PD,并且使點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等，并說(shuō)明你的理由．作圖題的根本要求：結(jié)論不能丟。格式：什么什么即為所求?！究键c(diǎn)精練】一、根底訓(xùn)練1．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD為∠ABC的平分線，那么∠BDC=_____°．〔1〕〔2〕〔3〕2．如圖2，是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，假設(shè)中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是a，那么六邊形的周長(zhǎng)是_______．3．如圖3，一個(gè)頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，那么∠1+∠2=________度．4．如圖4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△AB′C′，那么∠BAC′等于________．〔4〕〔5〕5．如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工．從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點(diǎn)E離D的距離約為_______米〔精確到1米〕．6．等腰△ABC的底邊BC=8cm，腰長(zhǎng)AB=5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為________．7．如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，那么∠CDE=________．〔7〕〔8〕〔9〕8．如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，那么∠DCB等于〔〕A．44°B．68°C．46°D．22°9．如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，假設(shè)考慮既要符合設(shè)計(jì)要求，又要節(jié)省材料，那么在庫(kù)存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用〔〕A．L1B．L2C．L3D．L10．如圖10，在△ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=BC=AD．那么∠A等于〔〕A．30°B．36°C．45°D．72°〔10〕〔11〕11．同學(xué)們都玩過(guò)蹺蹺板的游戲．如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB．當(dāng)蹺蹺板的一頭A著地時(shí)，∠OAC=25°，那么當(dāng)蹺蹺板的另一頭B著地時(shí)，∠AOA′等于〔〕A．25°B．50°C．60°D．130°12、直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊上的高為h,那么以下各式中總能成立的是()A.ab=h2B.a+b=2hC.+=D.+=13如下圖，在△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于點(diǎn)D，M為AD上任一點(diǎn)，那么MC2-MB2等于二、能力提升14．如圖，等腰三角形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩局部，求它的底邊長(zhǎng)．15．〔計(jì)算型說(shuō)理題〕如圖△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長(zhǎng)BC到E使CE=CD．試判斷DB與DE之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。16．如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上