八年級數(shù)學上冊乘法公式輔導訓練 含答案

八年級數(shù)學上冊乘法公式輔導訓練

1.若(x—4)(5—x)=—8,則(x—4)~+(5—x)2=.

2.已知實數(shù)。滿足(a-2020)(a-2021)=3,貝ij(a-2020)2+(a-2021)2的值是.

3.二次三項式4x2-(k-3)x+9是完全平方式，則k的值是.

4.若/+(k-1)孫+25夕是一個完全平方式，則k的值是.

5.如果7+16x+k是一個完全平方式，那么k的值是.

6.已知多項式A=/+2X+〃2,多項式8=2_T2+4X+3〃2+3.

(1)若多項式7+2X+”2是完全平方式，則〃2=；

(2)已知x=加時，多項式W+2x+〃2的值為-1,則x=-根時，多項式A的值為多少？

(3)在第⑵問的條件下，求5A+[(3A-B)-2(4+B)]的值.

7.已知多項式A=/+2X+〃2,多項式B=2/+4X+3〃2+3.

(1)若多項式7+2X+“2是完全平方式，則〃=;

(2)已知x=?i時，多項式7+2x+〃2的值為-1,則工=-機EI寸，該多項式的值為多少？

(3)判斷多項式A與B的大小關系并說明理由.

8.如圖1所示，邊長為。的正方形中有一個邊長為6的小正方形，圖2是由圖1中陰影部

分拼成的一個長方形，設圖1中陰影部分面積為Si,圖2中陰影部分面積為S2.

(1)請直接用含a和匕的代數(shù)式表示N=,52=；寫出利用圖形

的面積關系所得到的公式：(用式子表達).

(2)應用公式計算:(咔心,(懵)a表…(],)(『蘇.

(3)應用公式計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1.

數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片邊長為a的正方形，B

種紙片是邊長為6的正方形，c種紙片長為〃、寬為b的長方形，并用A種紙片一張，B

種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.

方法1：；方法2:.

(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數(shù)式：(“+〃)2,“2+廿，ah之間的等量關

系.;

(3)根據(jù)(2)題中的等量關系，解決如下問題：

①已知：a+b=5,a2+b1=11,求M的值；

②已知(x-2019)2+(x-2021)2=34,求(x-2020)2的值.

10.某同學用如圖所示不同顏色的正方形與長方形拼成了一個如圖所示的正方形.

(1)①請用兩種不同的方法求圖中陰影總分的面積.

方法1：；方法2:.

②以上結(jié)果可以驗證的乘法公式是.

(2)根據(jù)上面的結(jié)論計算：

①已知wi+〃=5,wi2+n2=11,求W7”的值.

②已知(2019-%)(2020-Mi)=1010,求(2020-m)2+(/w-2019)2的值.

H.閱讀下列材料：

若一個正整數(shù)x能表示成匕是正整數(shù)，且的形式，則稱這個數(shù)為“明

禮崇德數(shù)“，〃與”是X的一個平方差分解.例如：因為5=32-22,所以5是“明禮崇德

數(shù)“，3與2是5的平方差分解；再如：M=xi+2xy=x1+2xy+y1-y2=(A+y)2-y2(x,y

是正整數(shù))，所以M也是“明禮崇德數(shù)”，(x+y)與y是M的一個平方差分解.

(1)判斷：9“明禮崇德數(shù)”(填"是''或"不是”)；

(2)已知(f+y)與f是P的一個平方差分解，求P；

(3)已知N=--/+4x-6)H(x,y是正整數(shù)，上是常數(shù)，且%>尹1),要使N是“明禮

崇德數(shù)”，試求出符合條件的一個左值，并說明理由.

12.閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示,

實際上還有一些等式也可以用這種方式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2.2+3〃計層就可以

用圖1或圖2來表示.

abab6a，ab

a2a2aba2ab

ab

圖1圖2圖3

(1)上述的方法體現(xiàn)了一種數(shù)學思想方法，這種數(shù)學思想方法是.

4、轉(zhuǎn)化思想

B、方程思想

C、數(shù)形結(jié)合思想

D、分類討論

(2)請寫出圖3中所表示的整式乘法的等式.

(3)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能夠表示：(a+切(〃+3份=a1+4ab+3b1.

(4)請仿照上述方法寫出另一個含有“、〃的等式，并畫出與之對應的幾何圖形.

13.如圖，將一個邊長為。+匕的正方形圖形分割成四部分(兩個正方形和兩個長方形)，請

認真觀察圖形，解答下列問題：

(1)根據(jù)圖中條件，請用兩種方法表示該圖形的總面積(用含。、〃的代數(shù)式表示出來)；

(2)如果圖中的％b(a>b)滿足/+/=57,浦=12,求(a+R2的值；

(3)已知(5+級)2+(2x+3)2=60,求(5+2x)(2x+3)的值.

14.圖1是一個長為加、寬為功的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后

按圖2的形狀拼成-一個正方形.

(1)求圖2中的陰影部分的正方形的周長；

(2)觀察圖2,請寫出下列三個代數(shù)式(。+6)2,(a-b)2,必之間的等量關系；

(3)運用你所得到的公式，計算：若，"、〃為實數(shù)，且機〃=-3,m-n=4,試求根+〃

的值.

(4)如圖3,點C是線段AB上的一點，以AC、8c為邊向兩邊作正方形，設AB=8,

兩正方形的面積和SI+S2=26,求圖中陰影部分面積.

15.數(shù)學活動課上，張老師準備了若干個如圖①的三種紙片，A種紙片是邊長為。的正方形,

B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為瓦寬為。的長方形，并用A種紙片一張,

B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖②的大正方形.

圖①圖②

(1)觀察圖②，寫出代數(shù)式(a+6)2,“2+層,ab之間的等量關系是

(2)根據(jù)(1)中的等量關系，解決下列問題；

①已知a+b=4,aW=10,求油的值；

②已知(X-2021)2+(x-2019)2=130,直接寫出x-2020的值.

16.你能求(x-1)(?9+x98+x97+...+x+l)的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下,

從簡單的情形入手.先分別計算下列各式的值：

①(x-1)(x+1)=/-1;

②(%-1)(7+x+l)-1;

③(X-1)(d+f+x+l)=/-1；

由此我們可以得到：(X-1)(x"+x98+x97+...+x+l)=.

請你利用上面的結(jié)論，再完成下面兩題的計算：

(1)(-2)50+(-2)49+(-2)48+...+(-2)+1;

(2)若f+/+x+l=0,求f°2°.

17.已知a=」-x+2020,%=」-x+2020,c=」-x+2020,求代數(shù)式2(a2+fo2+c2-

202120212021

ah-he-ac)的值.

18.回答下列問題

(1)填空：f+-^=(x+A)2-____=(%-A)2+_____

X2XX

(2)若a+_l=5,則/+4_=____；

aa2

(3)若J-3“+i=o,求。2+J的值.

a

19.閱讀下列材料:已知實數(shù)%"滿足(2」+川+下(2m2+n2-l)=80,試求2ff?+儲的

值.

解：設2切2+〃2=(,則原方程變?yōu)?r+1)(r-D=80,整理得P-1=80,即P=81,

.?./=±9.

V2m2+n2>0,

2/M2+M2=9.

上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學學習中最常用的一種思想方法，在結(jié)構較復

雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，則

能使復雜的問題簡單化.

根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程.

(1)已知實數(shù)x,y滿足(2,+2/+3)("+2)2-3)=27,求W+尸的值.

(2)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為120,求這四個連續(xù)正整數(shù).

20.先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題

例題：若〃?2+2〃?幾+2〃2-6/1+9=0,求相和〃的值

解:*/團之+2+2/-6〃+9=0

..m^+2mn+n^+n-6〃+9=0

(/%+〃)2+(77-3)2=0

???加+〃=0,n-3=0

/.m=-3,n=3

問題：(1)若7+2y2-2xy+4y+4=0,求y2的值；

(2)試探究關于x、y的代數(shù)式57+9/-12孫-6X+2028是否有最小值，若存在，求出

最小值及此時x、y的值；若不存在，說明理由

參考答案

1.解：(1)設x-4=。，5-x=b,則(x-4)(5-x)=ab=-S,a+b=(x-4)+(5-x)

=1,

(x-4)2+(5-x)2=a1+b2=(a+b)2-2ab=\2-2x(-8)=1+16=17.

故答案為：17.

2.解：設。-2020=x,a-202\=y,

?:(a—2020)(67-2021)=3,

.??盯=3,

則x—y=(〃-2020)-(6F-2021)=1,

:.(。一2020)2+(a-2021)2=/+y2=(x-y)2+2xy=1+2x3=7.

故答案為：7.

3.解：???二次三項式47-(笈-3)x+9是完全平方式，

.?/一3=±12,

解得：氏=15或A=-9,

故答案為：15或-9

4.解：???,+(k-1)盯+25J2是一個完全平方式，

:.k-1=±10.

或%=—9.

故答案為：11或-9.

5.解：???,+16x+及是一個完全平方式，

16=2Vk,

解得出=64.

故答案是：64.

6.解：(1)???/+2x+/是一個完全平方式，

/./=1,

故答案為：1；

(2)當x=m時/n2+2zw+n2=-1,

，W+2m+1+/=0,

(6+1)2+〃2=0,

???(/n+1)2>0,n2>0,

*.x=m=-1,〃=0,

.,?%=-m時，多項式7+2X+〃2的值為ni2-2機+〃2=3；

(3)x=tn=-1,〃=0,

/.A=X2+2X+H2=-1,

B=2?+4X+3〃2+3=1,

：.5A+[(3A-B)-2(A+8)J

=5A^-3A-B-2A-2B

=6A-3B

=6x(-1)-3x1

=-9.

7.解：(1)???/+2x+〃2是一個完全平方式，

:."2=1,

?"=±1.

故答案為：1或-1；

(2)當x=m時7n2+2m+n2=-1,

/./n2+2m+1+〃2=0,

2+〃2=o,

V(zw+l)2>0,n2>0,

*^x=m=-1,n=0,

.\x=-m時,多項式x2+2x+n2的值為/n2-2m+n2=3;

(3)B>A.

理由如下：B-A=2x2+4x+3n2+3-(/+2X+M)=x^-2x+2n2+3=(x+l)2+27?2+2,

22

V(x+1)>0,2n>0,

???(x+1)24-2/?2+2>0,

：.B>A.

8.解：(1)圖1中陰影部分的面積為大正方形與小正方形的面積差，即d—序，

圖2中陰影部分是長為(a+b),寬為(D的長方形，因此面積為(a+b)(…),

由圖1和圖2中陰影部分的面積相等可得，/一/=(/切(a-b)9

2222

故答案為：a-b,(a+b)(a-b)9a-Z?=(a+b)(a-b);

2)原式

（T）（得）（T）（i+部T）（i+！）……&七）a令）&-吉）（1啥）

=><><17y19y18y20

XXXX....X

^2424343_T4T4而X至18'X而19'而19

=1乂20

7Xl9

=10.

191

(3)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(2|6+1)(232+1)+1

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1

=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)+1

=(216-1)(2|6+1)(232+1)+1

=(232-1)(232+1)+1

=2M-1+1

=264

9.解：(1)根據(jù)圖形可得圖2大正方形的面積表示為(a+b)2或a2+層+2",

故答案為：(4+6)2,a2+b2+2ab;

(2)由(1)題可得(“+b)2=a2+b1+2ab,

故答案為：(。+6)2=/+/+2岫；

222

(3))①由(a+6)2=cr+b2+2ab,可得ab=(a+b)-(a+b),

2

.?.當a+b=5,/+后=11時，

2

②設x—2019=〃，則工一2021=。-2,x-2020=a-1,

則建+(a-2)2

=〃2+Q2-4〃+4

=2(a2-2a)+4

=34,

可求得a2-2a=15,

由整體思想得，

(x-2020)2=(a-I)2=a2-2a+l=15+1=16.

10.解(1)①由題意，得兩種不同的方法求圖中陰影總分的面積為/+廿，(a+6)2-2ab,

故答案為:招+戶,(“+份2-2a供

②由①題結(jié)果可得(a+Z>)2=a1+2ab+h1;

(2)①利用(1)題中②的結(jié)果(a+6)2=〃2+24+廿，

可得.=,(a+b)2-(a2+b'),

2

/.當m+n=5,/n2+n2=11時，

mn=52-1]=7.

2

②由(1)題中②的結(jié)果(a+6)2=/+2必+戶，

可得―+4=(a+b)2-2ab,

?；(2019-m)(2020-m)=1010,

?.(2020-/?)(/M-2019)=-1010,

,?(2020-w)+(w-2019)=1,

，(2020-/n)2+(m-1019)2

=(2020-m+m-2019)2-2(2020-m)(ZM-2019)

=l2-2(-1010)

=1+2020

=2021.

11.解：(1)V9=52-42,

，9是“明禮崇德數(shù)”，

故答案為：是；

(2)???(/+>)與/是尸的一個平方差分解，

:?P=(，+y)2-(7)2

=x4+Zr2y+y2-x4

=2xLy+y2",

(3)：N=x2-y2+4x-6y+A=(/+4x+4)-(y2+6y+9)+k+5=(x+2)2-(y+3)2+k+5,

當阱5=0時,N=(x+2)2-(y+3)2為“明禮崇德數(shù)”,

此時仁-5,

故當無=-5時，N為“明禮崇德數(shù)”.

12.解析：(1)上述的方法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法;

故答案為：C;

(2)(2a+b)(a+2b)=2，？+5必+2戶；

故答案為：(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2h2;

(3)如圖(答案不唯一),

(4)如圖,等式是(a+2b)(a+b)=a1+3ab+2b2(答案不唯一);

b

bba

13.解：(1)大正方形的邊長為a+b,因此面積為(a+b)2,

大正方形的面積可以看作四個部分面積和，即a2+2ab+b2,

(2)由(I)得，(a+b)~=a^+2ab+h~,

a2+b2=51,ah=12,

(a+b)2=57+24=81；

(3)設，w=5+2x,n=2x+3,則/n-〃=2,，772+〃2=60=(5+2X)2+(2x+3)2,

由(，"-")2=/+〃2_2,"”得，

22=60-2mn,

.'.mn=2S=(5+2x)(2x+3),

即(5+2x)(2x+3)的值為28.

14.解：(1)陰影部分的正方形邊長為“-瓦故周長為4(a-b)=4a-4b,

故答案為：4a-4b;

(2)大正方形面積可以看作四個矩形面積加陰影面積，故可表示為：4必+(a-b)2,

大正方形邊長為a+瓦故面積也可以表達為：(a+b)2,

因此(a+b)2=(a-b)2+4ab,

故答案為：(a+b)M(a-b)2+4曲;

(3)由(2)可知：(m+n)2=(w-n)2+4mn,

已知HJ_”=4,mn=-3,

所以(/"+〃)2=16+4X(-3)=4,

所以m+n—±2;

故m+n的值為±2;

(4)設AC=a,BC=b,

因為45=8,SI+S2=26,

所以“+6=8,壯+〃=26,

因為(a+b)2=a2+l7+2ab,

所以64=26+2如，解得而=19,

由題意：ZACF-90°,

所以S陰影旨.

15.解：(1)???圖形②是邊長為(a+b)的正方形,

：.S=(〃+6)2.

???大正方形的面積由一個邊長為?的正方形和一個邊長為b的正方形以及兩個長為。，寬

為。的長方形組合而成，

'.S=c^+lab+lr.

(a+b)2=a1+2ab+b1.

故答案為：(a+6)2="2+2”6+序.

(2)①?.,“+6=4,

/.(a+b)2=16.

a^+lab+b2=16.

?.?/+/=10,

/.ah=3.

②設工-2020=。，5BJx-2021=a-1,x-2019=?+1.

，：(x-2021)2+(x-2019)2=130,

(a-1)2+(a+1)2=130.

二a2-2a+1+J+2a+1=130.

.,.2a2=128.

a2=64.

即(x-2020)2=64.

-2020=±8.

16.解：由此我們可以得到：(x-1)(?9+?8+x97+...+x+l)=xIOO-l;

故答案為：300-1;

(1)原式=-1(-2-1)XI(-2)50+(-2)49+(-2)48+...+(-2)+