IIR切比雪夫低通數(shù)字濾波器

./數(shù)字信號處理課程設計報告課題名稱：系別：學號：姓名：班級：指導教師：.目錄1.1題目41.2目的41.3容及要求41.4論文格式42.1數(shù)字濾波器的概念62.2數(shù)字濾波器的分類62.3數(shù)字濾波器的設計要求82.4IIR數(shù)字濾波器的設計9IIR數(shù)字濾波器的設計步驟9雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器103.1設計步驟153.2MATLAB程序15.摘要[][]在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中,由于信號中經(jīng)?；煊懈鞣N復雜成分,所以很多信號分析都是基于濾波器而進行的,而數(shù)字濾波器是通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波,具有處理精度高、穩(wěn)定、靈活、不存在阻抗匹配問題,可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性,可分為兩種,即無限長沖激響應<IIR>數(shù)字濾波器和有限長沖激響應<FIR>數(shù)字濾波器。實現(xiàn)IIR濾波器的階次較低,所用的存儲單元較少,效率高,精度高,而且能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性,因此使用很廣。Matlab軟件以矩陣運算為基礎,把計算、可視化及程序設計有機融合到交互式工作環(huán)境中,并且為數(shù)字濾波的研究和使用提供了一個直觀、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信號處理工具箱使各個領域的研究人員可以直觀方便地進行科學研究和工程使用。本文首先介紹了數(shù)字濾波器的概念,分類以及設計要求。接著利用MATLAB函數(shù)語言編程,用信號處理圖形界面FDATool來設計濾波器以及Sptool界面設計的方法,并用FDATool模擬IIR數(shù)字濾波器處理信號。重點設計ChebyshevI型和ChebyshevII型數(shù)字低通濾波器,并介紹最優(yōu)化設計。關鍵字:IIR;濾波器;FDATool;Sptool;SimulinkABSTRACTInmoderncommunicationsystems,Becauseoftenmixedwithvarioussignalcomplexcomponents,Somanysignalanalysisisbasedonfilters,andthedigitalfilterisrealizedthroughnumericalcomputation,digitalfiltersfilterwithhighprecision,stabilityandflexibility,don'texist,canrealizetheimpedancematchingsimulatingthespecialfiltercannotachievefilterfunction.Digitalfilteraccordingtoitsimpulseresponsefunctionandcharacteristicsofthetimecanbedividedintotwokinds,namelytheinfiniteimpulseresponse<IIR>digitalfilterandfiniteimpulseresponse<FIRdigitalfilters>.TheorderofrealizingIIRfilterisused,lowandhighefficiencylessstorageunit,highprecision,andcankeepsomesimulationcharacteristicsoffilter,soitiswidelyused.Matlabsoftwarebasedonmatrixcomputation,thecalculation,visualizationandprogramdesignoforganicintegrationtointeractiveenvironmentfordigitalfilter,andtheresearchandapplicationofprovidesanintuitive,efficientandconvenienttool.EspeciallyintheMatlabsignalprocessingtoallareasofresearchtoolboxpersonnelcaneasilyforscientificresearchandengineeringapplication.Thispaperintroducestheconceptofdigitalfilter,classificationanddesignrequirements.ThenusingMATLABlanguageprogramming,withfunctionsofsignalprocessingFDAToolgraphicalinterfacedesignofinterfacedesignandSptoolfilter,andFDAToolanalogsignalprocessingIIRdigitalfilter.KeydesignChebyshevtypeIandIIdigitalChebyshevlowpassfilter,andintroducesoptimizationdesign.Keywords:IIR;Filter;FDATool;Sptool;Simulink任務書題目設計原型為切比雪夫型的數(shù)字IIR低通濾波器。目的學會MATLAB的使用,掌握MATLAB的程序設計方法。掌握數(shù)字信號處理的基本概念、基本理論和基本方法。掌握MATLAB設計IIR數(shù)字濾波器的方法。學會用MATLAB對信號進行分析和處理。容及要求設計原型為切比雪夫型的數(shù)字IIR低通濾波器〔本文用雙線性變換法,原型為切比雪夫I型。低通數(shù)字濾波器的技術指標：通帶截止頻率,通帶衰減,阻帶截止頻率,阻帶衰減。求出所設計濾波器的Z變換。用MATLAB畫出幅頻特性圖。論文格式任務書及摘要。目錄,中間打點號。章節(jié),如：第1章,每一章都要另起一頁,居中；二級目錄要打頭寫,如：1.1；每個圖都要有圖標和名稱,如：圖1-1++++++。課程設計總結,主要包括課程設計意義、感受、遇到的問題及解決辦法。參考文獻,格式如：[1]閻石.數(shù)字電子技術基礎.:高等教育,1998.數(shù)字濾波器的設計數(shù)字濾波器的概念濾波器是指用來對輸入信號進行濾波的硬件和軟件。數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器可以理解為是一個計算程序或算法,將代表輸入信號的數(shù)字時間序列轉化為代表輸出信號的數(shù)字時間序列,并在轉化過程中,使信號按預定的形式變化。數(shù)字濾波實質上是一種運算過程,實現(xiàn)對信號的運算處理。數(shù)字濾波器和模擬濾波器相比,因為信號的形式和實現(xiàn)濾波的方法不同,數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優(yōu)點。輸入數(shù)字信號〔數(shù)字序列通過特定的運算轉變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列,因此,數(shù)字濾波器本質上是一個完成特定運算的數(shù)字計算過程,也可以理解為是一臺計算機。描述離散系統(tǒng)輸出和輸入關系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號濾波器提供運算規(guī)則,使其按照這個規(guī)則完成對輸入數(shù)據(jù)的處理。時域離散系統(tǒng)的頻域特性：其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性〔或稱為頻譜特性,是數(shù)字濾波器的單位取樣響應的頻譜,又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此,只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的,適當選擇,使得濾波后的滿足設計的要求,這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。數(shù)字濾波器的分類按照不同的分類方法,數(shù)字濾波器有許多種類,但總起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶,通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾,得到純凈信號,達到濾波的目的。但是,如果信號和干擾的頻譜相互重疊,則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾,最大限度地恢復信號,這時就需要現(xiàn)代濾波器,例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器?，F(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機信號的一些統(tǒng)計特性,在某種最佳準則下,最大限度地抑制干擾,同時最大限度地回復信號,從而達到最佳濾波的目的。經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類,可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。圖STYLEREF2\s2.2.SEQ圖\*ARABIC\s21各種理想濾波器的幅頻特性數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性,可分為兩種,即無限長沖激響應<IIR>數(shù)字濾波器和有限長沖激響應<FIR>數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器的特征是,具有無限持續(xù)時間沖激響應,需要用遞歸模型來實現(xiàn)。其差分方程為：〔式2-2-1系統(tǒng)函數(shù)為：〔式2-2-2設計IIR濾波器的任務就是尋求一個物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H<z>,使其頻率響應H<z>滿足所希望得到的頻域指標,即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。數(shù)字濾波器的設計要求濾波器的指標常常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)一般為復函數(shù),所以通常表示為：〔式2-3-1其中,稱為幅頻特性函數(shù),Φ<w>稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況,而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時間上的延時情況。一般IIR數(shù)字濾波器,通常只用幅頻響應函數(shù)來描述設計指標,相頻特性一般不作要求。IIR濾波器指標參數(shù)如下圖所示。圖中,和分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；δ1和δ2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數(shù)表示,通帶所允許的最大衰減〔dB和阻帶允許的最小衰減〔dB分別為和表示：〔式2-3-2〔式2-3-3一般要求：當時,；圖STYLEREF2\s2.3.圖STYLEREF2\s2.3.SEQ圖\*ARABIC\s21低通濾波器的技術要求IIR數(shù)字濾波器的設計[][]丁玉美,高西全.數(shù)字信號處理[M].XX：XX電子科技大學出版社,2011.IIR數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng),其系統(tǒng)函數(shù)為假設M≤N,當M＞N時,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個IIR的子系統(tǒng)和一個<M-N>的FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數(shù)和,它是數(shù)學上的一種逼近問題,即在規(guī)定意義上〔通常采用最小均方誤差準則去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近,就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近,就得到數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器的設計步驟IIR數(shù)字濾波器的設計一般有兩種方法：一個是借助模擬濾波器的設計方法進行。其設計步驟是,先設計模擬濾波器,再按照某種方法轉換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些,因為模擬濾波器的設計方法已經(jīng)非常成熟,不僅有完整的設計公式,還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時域進行,由于需要解聯(lián)立方程,設計時需要計算機做輔助設計。為了保證轉換后的穩(wěn)定且滿足技術指標要求,對轉換關系提出兩點要求:因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器,仍是因果穩(wěn)定的。數(shù)字濾波器的頻率相應模仿模擬濾波器的頻響特性,s平面的虛軸映射為z平面的單位圓,相應的頻率之間呈線性關系。利用模擬濾波器成熟的理論設計IIR數(shù)字濾波器的過程是：確定數(shù)字低通濾波器的技術指標：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。將數(shù)字低通濾波器的技術指標轉換成相應的模擬低通濾波器的技術指標。按照模擬低通濾波器的技術指標設計過渡模擬低通濾波器。用所選的轉換方法,將模擬濾波器轉換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。IIR數(shù)字濾波器的設計流程圖如下：圖STYLEREF2\s2.4.SEQ圖_\*ARABIC\s21IIR數(shù)字濾波器的設計步驟流程圖雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器如前所述,IIR數(shù)字濾波器的設計方法有間接法和直接法。間接法有兩種：脈沖響應不變法和雙線性變換法。這兩種方法已經(jīng)是很成熟的模擬濾波器設計方法,此處僅討論雙線性變換法。設計原理[][]脈沖響應不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點,可以采用非線性頻率壓縮方法,將整個頻率軸上的頻率圍壓縮到之間,再用轉換到Z平面上。也就是說,第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面和Z平面建立了一一對應的單值關系,消除了多值變換性,也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象,映射關系如REF_Ref344331489\h圖2.4.2所示。圖STYLEREF2\s2.4.SEQ圖\*ARABIC\s22雙線性變換的映射關系為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的段上,可以通過以下的正切變換實現(xiàn)〔式2-6式中,T仍是采樣間隔。當Ω1由經(jīng)過0變化到時,Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞,也即映射了整個jΩ軸。將式〔2-6寫成〔式2-7將此關系分析延拓到整個S平面和S1平面,令jΩ=s,jΩ1=s1,則得〔式2-8再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面〔式2-9從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為：〔式2-10〔式2-11式〔2-10和式〔2-11是S平面和Z平面之間的單值映射關系,這種變換都是兩個線性函數(shù)之比,因此稱為雙線性變換式〔2-6和式〔2-10的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。首先,把,可得〔式2-12即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次,將代入式〔2-12,得〔式2-13因此〔式2-14由此看出,當時,;當時,.也就是說,S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓,S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外,S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此,穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點雙線性變換法和脈沖響應不變法相比,其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面和Z平面是單值的一一對應關系。S平面整個jΩ軸單值地對應于Z平面單位圓一周,即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式〔2-10所示,重寫如下：〔式2-15上式表明,S平面上Ω和Z平面的ω成非線性的正切關系,如REF_Ref344334040\h圖2.4.2。由REF_Ref344334040\h圖2.4.2看出,在零頻率附近,模擬角頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的變換關系接近于線性關系；但當Ω進一步增加時,ω增長得越來越慢,最后當Ω→∞時,ω終止在折疊頻率ω=π處,因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象,從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖STYLEREF2\s2.4.SEQ圖\*ARABIC\s23雙線性變換法的頻率變換關系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的,如式〔2-12及REF_Ref344334040\h圖2.4.3所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系,就產(chǎn)生了新的問題。首先,一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器,不再保持原有的線性相位了；其次,這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的,即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)〔這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性,不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變,如REF_Ref344334166\h圖2.4.4所示。圖STYLEREF2\s2.4.SEQ圖\*ARABIC\s24雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器,雙線性變換后,仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器,但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變,這種頻率的畸變,可以通過頻率的預畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變,然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。切比雪夫低通數(shù)字濾波器的MATLAB設計設計步驟[][]劉舒帆,費諾,陸輝.數(shù)字信號處理實驗<MATLAB版>[M].XX：XX電子科技大學出版社,2008.176-183.這里采用MTALAB雙線性變換法設計IIR切比雪夫低通濾波器,其步驟為：輸入給定的數(shù)字濾波器設計指標根據(jù)公式進行修正,將數(shù)字濾波器設計指標轉換成模擬濾波器設計指標；確定模擬濾波器的最小結束和截止頻率；計算模擬低通切比雪夫原型濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)；用雙線性變換法將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器。MATLAB程序低通數(shù)字濾波器的技術指標：通帶截止頻率,通帶衰減,阻帶截止頻率,阻帶衰減。程序如下：wp=0.2*pi;ws=0.6*pi;rp=3;rs=40;%數(shù)字濾波器指標Omgp=tan<wp/2>Omgs=tan<ws/2>%轉化為模擬濾波器指標〔K=1Fs=0.5;%模擬原型濾波器計算[N,wo]=cheb1ord<Omgp,Omgs,rp,rs,'s'>%計算階數(shù)N和截止頻率wo[b,a]=cheby1<N,rp,wo,'s'>%求原型濾波器系數(shù)b,a[Ha,Omg]=freqs<b,a>;%求模擬系統(tǒng)頻率特性dbHa=20*log<<abs<Ha>+eps>/max<abs<Ha>>>;%求分貝值,加eps以避開0點%計算數(shù)字濾波器[bd,ad]=bilinear<b,a,0.5>;%用雙線性變換法求數(shù)字濾波器系數(shù)bd,ad[H,w]=freqz<bd,ad>;%求數(shù)字系統(tǒng)頻率特性dbH=20*log10<abs<H>/max<abs<H>>>;%化為分貝值%畫圖subplot<3,2,1>,plot<Omg*Omgp/2/pi,dbHa>,gridtitle<'a模擬幅度響應〔dB>'>;ylabel<'幅度/dB'>;xlabel<'f/Hz'>;subplot<3,2,2>,plot<w/pi,abs<H>>title<'b幅度響應'>;axis<[0,1,0,1]>;subplot<3,2,3>,plot<w/pi,dbH>,gridtitle<'c幅度響應<dB'>;axis<[0,1,-300,100]>;subplot<3,2,4>,plot<w/pi,dbH>,gridtitle<'d幅度響應<dB'>;axis<[0,0.7,-60,5]>;subplot<3,2,5>,plot<w/pi,angle<H>/pi>title<'e相位響應'>;axis<[0,1,-1,1]>;subplot<3,2,6>,zplane<bd,ad>title<'f零極圖'>