第4章 實數(shù)【單元提升卷】（解析版）

第4章實數(shù)【單元提升卷】（測試時間：120分鐘滿分：120分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）1．（2023秋?滕州市期中）已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．a(chǎn)＜1＜b B．1＜﹣a＜b C．1＜a＜b D．﹣b＜a＜﹣1【分析】根據(jù)實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置結(jié)合絕對值表示該點到原點的距離即可得出答案．【解答】解：根據(jù)實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置結(jié)合絕對值表示該點到原點的距離得出a＜﹣1＜0＜1＜b，且|a|＜|b|，即a＜1＜b，A選項正確，不符合題意，C選項錯誤，符合題意；1＜﹣a＜b，B選項正確，不符合題意；﹣b＜a＜﹣1，D選項正確，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的關(guān)系，熟練掌握正實數(shù)都大于0，負(fù)實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負(fù)實數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?鯉城區(qū)校級期中）下列各數(shù)：、π﹣3.14、、，是無理數(shù)的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義逐一判斷即可．【解答】解：，下列各數(shù)：、π﹣3.14、、，是無理數(shù)的有、π﹣3.14．故選：B．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，首先求出，然后根據(jù)無理數(shù)的概念求解即可．其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡得到的數(shù)；以及像0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），等有這樣規(guī)律的數(shù)．3．（2023秋?貴陽期中）正方形的面積是27，估計它的邊長大小在（）A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間【分析】首先求出正方形的邊長，進(jìn)而估算其邊長的取值范圍．【解答】解：∵一個正方形的面積為27，∴正方形的邊長為：，∵25＜27＜36，∴5＜＜6，∴它的邊長在5和6之間．故選：D．【點評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出正方形的邊長是解題關(guān)鍵．4．（2023春?東蘭縣期末）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念結(jié)合正方形的性質(zhì)得出其邊長，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，∴大正方形的面積為：9+9＝18，則大正方形的邊長為：，∵＜＜，∴4＜＜4.5，∴大正方形的邊長最接近的整數(shù)是4．故選：B．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵．5．（2023?徐州）的值介于（）A．25與30之間 B．30與35之間 C．35與40之間 D．40與45之間【分析】一個正數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大，據(jù)此進(jìn)行估算即可．【解答】解：∵1600＜2023＜2025，∴＜＜，即40＜＜45，故選：D．【點評】本題考查無理數(shù)的估算，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．6．（2023秋?錫山區(qū)期中）圓周率“π”由四舍五入得到的近似數(shù)3.14，精確到（）A．個位 B．十分位 C．百分位 D．千分位【分析】精確度由最后一位數(shù)字所在的位置確定，一般來說，近似數(shù)四舍五入到哪一位，就精確到哪一位．【解答】解：∵圓周率“π”由四舍五入得到的近似數(shù)3.14，3.14中的4在百分位，∴精確到百分位，故選：C．【點評】本題考查近似數(shù)，經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)為近似數(shù)，近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般地：近似數(shù)四舍五入到哪一位，就精確到哪一位．7．（2023秋?碑林區(qū)校級期中）如圖所示，數(shù)軸上表示1，的點分別為A，B，且C，B兩點到點A的距離相等，則點C所表示的數(shù)是（）A．2﹣ B． C． D．【分析】根據(jù)題意分別求得點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)，然后由AB＝AC來求點C所表示的數(shù)．【解答】解：設(shè)點C所表示的數(shù)是a．∵點A、B所表示的數(shù)分別是1、，∴AB＝﹣1；又∵C，B兩點到點A的距離相等，∴AC＝1﹣a＝﹣1，∴a＝2﹣．故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系．解題時，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)的思想．8．（2023秋?榆次區(qū)期中）如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，如果輸入的x為81，則輸出的y值為（）A． B． C． D．【分析】輸入81，依次求得各數(shù)的算術(shù)平方根，直到得到無理數(shù)即可．【解答】解：輸入的x為81，則＝9，它是有理數(shù)，返回繼續(xù)運算；＝3，它是有理數(shù)，返回繼續(xù)運算；它是無理數(shù)，輸出結(jié)果；故選：A．【點評】本題考查算術(shù)平方根，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）9．（2022秋?儀征市期末）全球七大洲的總面積約為149480000km2，對這個數(shù)據(jù)精確到百萬位可表示為1.49×108km2．【分析】先用科學(xué)記數(shù)法表示，然后根據(jù)近似數(shù)的精確度四舍五入即可．【解答】解：149480000km2≈1.49×108km2（精確到百萬位）．故答案為1.49×108．【點評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)叫近似數(shù)；從一個近似數(shù)左邊第一個不為0的數(shù)數(shù)起到這個數(shù)完為止，所有數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字．10．（2023秋?未央?yún)^(qū)期中）一個正數(shù)的平方根分別是x+1和4﹣2x，則這個正數(shù)是36．【分析】根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)列出關(guān)于x的方程，解之可得．【解答】解：根據(jù)題意知x+1+4﹣2x＝0，解得：x＝5，x+1＝6，∴這個正數(shù)是62＝36，故答案為：36．【點評】本題主要考查的是平方根的定義和性質(zhì)，熟練掌握平方根的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋?海曙區(qū)期中）若|n+2|＝0，則m﹣n的值為3．【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出m，n的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵|n+2|＝0，∴1﹣m＝0，n+2＝0，解得：m＝1，n＝﹣2，∴m﹣n＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出m，n的值是解題關(guān)鍵．12．（2023秋?沈河區(qū)校級期中）已知x是的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，則是9．【分析】先根據(jù)題意求出x，y的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可．【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴x＝3，y＝﹣3，∴＝（﹣3﹣）2＝（﹣3）2＝9．故答案為：9．【點評】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意估算出x、y的值是解題的關(guān)鍵．13．（2023?淮陰區(qū)三模）8的立方根是2．【分析】如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根，由此即可得到答案．【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根是2．故答案為：2．【點評】本題考查立方根，關(guān)鍵是掌握立方根的定義．14．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）比較大?。海?（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先估算2的值，然后判斷即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴2＜2＜4，∴2＜4．故答案為：＜．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根，熟練準(zhǔn)確估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋?青島期中）如圖，正方形的面積為12，則與該正方形的邊長最接近的整數(shù)是3．【分析】由于正方形的面積為12，利用算術(shù)平方根的定義可得到正方形的邊長為，根據(jù)9＜12＜16可得到與最接近的整數(shù)為3．【解答】解：∵正方形的面積為12，∴正方形的邊長為，∵9＜12＜16，∴3＜＜4，∵9＜12＜12.25，∴3＜＜3.5，∴最接近的整數(shù)為3．故答案為：3．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，算術(shù)平方根．能夠正確估算無理數(shù)的大?。豪猛耆椒綌?shù)和算術(shù)平方根對無理數(shù)的大小進(jìn)行估算是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋?濟(jì)陽區(qū)期中）如圖，矩形OABC的邊OA長為2，邊AB長為1，OA在數(shù)軸上，以原點O為圓心，對角線OB的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是．【分析】根據(jù)勾股定理，可得OB的長，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得B點坐標(biāo)．【解答】解：由勾股定理，得OB＝＝．B在原點的右側(cè)時，B點表示的數(shù)為，B在原點的左側(cè)是，B點表示的數(shù)為﹣，故答案為：．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用勾股定理得出OB的長是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．17．（2023秋?衡南縣期中）已知a2＝16，＝2，且ab＜0，則＝2．【分析】根據(jù)立方根與平方根的定義即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a＝±4，b＝8，∵ab＜0，∴a＝﹣4，b＝8，∴＝＝2故答案為：2【點評】本題考查立方根與平方根，解題的關(guān)鍵是熟練運用立方根與平方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．18．（2023秋?蘇州期中）定義：不超過實數(shù)x的最大整數(shù)成為x的整數(shù)部分，記作[x]．例如，．按此規(guī)定，＝﹣3．【分析】先估算出的值的范圍，從而估算出1﹣的值的范圍，然后根據(jù)定義的新運算，即可解答．【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3，∴﹣3＜1﹣＜﹣2，∴＝﹣3，故答案為：﹣3．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，19-24題每題8分，25-26題9分，共66分．）19．（2023秋?衡南縣期中）計算：﹣|5﹣|．【分析】利用算術(shù)平方根及立方根的定義，絕對值的性質(zhì)計算即可．【解答】解：原式＝10﹣5﹣（5﹣）＝10﹣5﹣5+＝．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋?武進(jìn)區(qū)期中）求x的值：（1）（x﹣2）2﹣16＝0；（2）（x+3）3＝﹣27．【分析】（1）先移項，然后用開平方法進(jìn)行解答；（2）根據(jù)開立方的方法即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣16＝0，（x﹣2）2＝16，∴x＝6或x＝﹣2；（2）（x+3）3＝﹣27，x+3＝﹣3，∴x＝﹣6．【點評】本題考查了平方根，立方根，熟練掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋?惠安縣期中）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）若x的算術(shù)平方根為4，求a的值；（2）如果一個正數(shù)的平方根分別為x，y，求這個正數(shù)．【分析】（1）先求出x的值，再根據(jù)x＝1﹣2a列出方程，求出a的值；（2）一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，和為0，列出方程，求出a，然后求出x，最后求出這個正數(shù)．【解答】解：（1）因為x的算術(shù)平方根為4，所以x＝42＝16，即1﹣2a＝16，所以；（2）根據(jù)題意得：x+y＝0，即：1﹣2a+3a﹣4＝0，所以a＝3，所以x＝1﹣2a＝1﹣2×3＝1﹣6＝﹣5，所以這個正數(shù)為（﹣5）2＝25．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，平方根的定義，注意二次根式與平方的聯(lián)系．22．（2023秋?碑林區(qū)校級期中）已知a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡：﹣|a+b|+．【分析】由數(shù)軸可得b＜a＜0＜c，則c﹣a＞0，a+b＜0，然后利用算術(shù)平方根及絕對值的性質(zhì)，立方根的定義進(jìn)行化簡即可．【解答】解：由數(shù)軸可得b＜a＜0＜c，則c﹣a＞0，a+b＜0，原式＝c﹣a﹣[﹣（a+b）]+b＝c﹣a+a+b+b＝2b+c．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根及絕對值的性質(zhì)，立方根的定義，結(jié)合已知條件求得c﹣a＞0，a+b＜0是解題的關(guān)鍵．23．（2023秋?碑林區(qū)校級期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整數(shù)部分，求2a+b+c的算術(shù)平方根．【分析】直接利用平方根以及立方根和估算無理數(shù)的大小得出a，b，c的值進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a+b﹣9的立方根是2，∴15+b﹣9＝8，解得：b＝2，∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴c＝4，∴2a+b+c＝10+2+4＝16，∴2a+b+c的算術(shù)平方根為4．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根、平方根以及立方根和估算無理數(shù)的大小，正確得出a，b，c的值是解題關(guān)鍵．24．（2023秋?李滄區(qū)期中）我們知道是無理數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：，即，所以的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）整數(shù)部分是5，小數(shù)部分是﹣5；（2）如果的整數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求12a+7b的立方根；（3）已知，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x+y的值．【分析】（1）估算出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間即可；（2）分別估算出及在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間后即可求得a，b的值，然后將其代入12a+7b中計算，最后根據(jù)立方根的定義即可求得答案；（3）估算出9﹣的范圍后即可確定x，y的值，然后將其代入x+y中計算即可．【解答】解：（1）∵5＜＜6，∴的整數(shù)部分是5，小數(shù)部分是﹣5．故答案為：5，﹣5；（2）∵的整數(shù)部分為a，且3＜＜4，∴a＝3，∵的整數(shù)部分為b，4＜＜5，∴b＝4，∴12a+7b＝12×3+7×4＝64，∴12a+7b的立方根是4．（3）∵2＜＜3，∴6＜9﹣＜7，∵，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，∴x＝7，y＝﹣2，∴x+y＝7+（﹣2）＝5+．則x+y的值為5+．【點評】本題考查的是無理數(shù)的計算，估算無理數(shù)的整數(shù)部分是解題關(guān)鍵．25．（2023秋?海曙區(qū)期中）如圖1，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為216cm3．（1）這個魔方的棱長為6cm．（2）圖1的側(cè)面有一個正方形ABCD，求這個正方形的面積和邊長．（3）將正方形ABCD放置在數(shù)軸上，如圖2所示，點A與數(shù)2表示的點重合，則D在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）．【分析】（1）魔方是個正方體，正方體的體積等于棱長的三次方，再利用立方根的含義求解即可；（2）這個正方形ABCD的邊長是小立方體一個面的對角線的長度，利用勾股定理求解即可；（3）由，把A往左邊平移個單位即可得到D點表示的數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)魔方的棱長為acm，根據(jù)題意得a3＝216，∴a＝6，故答案為6．（2）設(shè)小正方體的棱長為bcm，根據(jù)題意得8b3＝216，∴b＝3∴所以根據(jù)勾股定理得AD2＝32+32＝18，∴，正方形的面積為18，答：這個正方形的面積是18cm2，邊長是．（3）由（2）知，，