帶電粒子在磁場中的運動經典題目

兩類典型問題1.帶電粒子在有界勻強磁場中（只受洛倫茲力）做圓弧運動；2.帶電粒子在磁場中運動時的臨界問題（或多解問題）的討論概述1、本類問題對知識考查全面，涉及到力學、電學、磁學等高中物理的主干知識，對學生的空間想象能力、分析綜合能力、應用數(shù)學知識解決物理問題能力有較高的要求，是考查學生多項能力的極好的載體，因此成為歷年高考的熱點。2、從試題的難度上看，多屬于中等難度或較難的計算題。原因有二：一是題目較長，常以科學技術的具體問題為背景，從實際問題中獲取、處理信息，把實際問題轉化成物理問題。二是涉及數(shù)學知識較多（特別是幾何知識）。3、常見的五種有界磁場：單邊界磁場、雙邊界磁場、矩形磁場、圓形磁場、三角形磁場4、解題關鍵有三點：①粒子圓軌跡的圓心O的確定②運動半徑R的確定③運動周期T的確定

帶電粒子在勻強磁場中的運動由洛倫茲力提供向心力rmv2qvB=軌道半徑：qBmvr=運動周期：vT=2rqB2m=——周期T與R和v無關僅由粒子種類（m、q）決定，和磁感應強度B決定。角速度：頻率：動能：

解題的基本過程與方法1找圓心：已知任意兩點速度方向：作垂線可找到兩條半徑，其交點是圓心。已知一點速度方向和另外一點的位置：作速度的垂線得半徑，連接兩點并作中垂線，交點是圓心。vvOvO3定半徑：

幾何法求半徑公式求半徑4算時間：先算周期，再用圓心角算時間θθαααθ=2α注意：θ應以弧度制表示2畫圓?。豪⒁徽x子,電量為q,質量為m，垂直射入磁感應強度為B、寬度為d的勻強磁場中，穿出磁場時速度方向與其原來入射方向的夾角是30°，（1）離子的運動半徑是多少？（2）離子射入磁場時速度是多少？（3）穿越磁場的時間又是多少？v30°OBθdv答案:雙邊界磁場（一定寬度的無限長磁場）附：電偏轉與磁偏轉的區(qū)別BLvyROθ注意：（1）電偏轉是類平拋運動磁偏轉是勻速圓周運動（2）這里射出速度的反向延長線與初速度延長線的交點不再是寬度線段的中點。這點與帶電粒子在勻強電場中的偏轉結論不同！yxOvvaB60o練一個質量為m電荷量為q的帶電粒子（不計重力）從x軸上的P(a，0)點以速度v，沿與x正方向成60o的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強磁場的磁感應強度B和射出點的坐標。Bqmvar32==aqmvB23=得射出點坐標為（0，）a3O′解析：

練、如圖，虛線上方存在磁感應強度為B的磁場，一帶正電的粒子質量m、電量q，若它以速度v沿與虛線成300、900、1500、1800角分別射入，1.請作出上述幾種情況下粒子的軌跡2.觀察入射速度、出射速度與虛線夾角間的關系3.求其在磁場中運動的時間。單邊界磁場入射角300時入射角900時入射角1500時入射角1800時

對稱性有用規(guī)律一：（記下書本P96，以備高三復習時查閱）過入射點和出射點作一直線，入射速度與直線的夾角等于出射速度與直線的夾角，并且如果把兩個速度移到共點時，關于直線軸對稱。強調：本規(guī)律是在單邊界磁場中總結出的，但是適用于任何類型的磁場例如圖所示，在y<

0的區(qū)域內存在勻強磁場，磁場方向如圖，磁感應強度為B。一帶正電的粒子以速度v從O點射入磁場，入射方向在xoy平面內，與x軸正向的夾角為θ。若粒子射出磁場的位置與O點的距離為L，求該粒子的比荷q/m。xyopθvθθvθ入射速度與邊界夾角=出射速度與邊界夾角

BvO邊界圓從平面幾何的角度看，是粒子軌跡圓與磁場邊界圓的兩圓相交問題。

帶電粒子在圓形磁場中的運動

特殊情形：軌跡圓O′αθθ有用規(guī)律二（請記下P96）在圓形磁場內,入射速度沿徑向,出射速度也必沿徑向.從平面幾何的角度看，是粒子軌跡圓與磁場邊界圓的兩圓相交問題。

帶電粒子在圓形磁場中的運動

一般情形：有用規(guī)律三：（記下P96）磁場圓心O和運動軌跡圓心O′都在入射點和出射點連線AB的中垂線上。或者說兩圓心連線OO′與兩個交點的連線AB垂直。BO邊界圓軌跡圓BCAO＇O1Rθ2例如圖虛線所圍圓形區(qū)域內有方向垂直紙面向里的勻強磁場B。電子束沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度v射入磁場，經過磁場區(qū)后，電子束運動的方向與原入射方向成θ角。設電子質量為m，電荷量為e，不計電子之間的相互作用力及所受的重力。求：（1）電子在磁場中運動軌跡的半徑R；（2）電子在磁場中運動的時間t；（3）圓形磁場區(qū)域的半徑r。vBOrvθ解：（1）（2）由幾何知識得：圓心角：α

=

θ（3）由如圖所示幾何關系可知，所以：BvOBqT=2

m2

t=θT練、如圖虛線所示區(qū)域內有方向垂直于紙面的勻強磁場，一束速度大小各不相同的質子正對該區(qū)域的圓心O射入這個磁場；結果，這些質子在該磁場中運動的時間有的較長，有的較短，其中運動時間較長的粒子（）

A．射入時的速度一定較大

B．在該磁場中運動的路程一定較長

C．在該磁場中偏轉的角度一定較大

D．從該磁場中飛出的速度一定較小θ1R1s1θ2R2s2BqmvR=CD練、某離子速度選擇器的原理圖如圖，在半徑為R=10cm的圓形筒內有B=1×10－4

T

的勻強磁場，方向平行于軸線。在圓柱形筒上某一直徑兩端開有小孔a、b?，F(xiàn)有一束比荷為q/m=2×1011C/kg的正離子，以不同角度α入射，其中入射角α=30o，且不經碰撞而直接從出射孔射出的離子的速度v大小是（）

A．4×105m/sB．2×105m/sC．4×106m/sD．2×106m/s解：rmv2qvB=αaObO′rr

作入射速度的垂線與ab的垂直平分線交于O′點，O′點即為軌跡圓的圓心。畫出離子在磁場中的軌跡如圖示：∠a

O′b=2

=60o，則r=2R=0.2mC練、一磁場方向垂直于xOy平面，分布在以O為中心的圓形區(qū)域內。質量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿x正方向。粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30o，P到O的距離為L。不計重力。求磁感強度B和磁場區(qū)域的半徑R?；舅悸罚築yxvOPLv30°Rr解析：2）找出有關半徑的幾何關系：1）作出運動軌跡；L=3r3）結合半徑、周期公式解。qvB=Rmv2qLmvB3=LR33=我們學了什么1.帶電粒子進入有界磁場,運動軌跡為一段弧線.3.注意圓周運動中的對稱性:(1)粒子進入單邊磁場時,入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角,并且兩個速度移到共點時，具有軸對稱性。(2)在圓形磁場區(qū)域內,沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出.2.解題的基本步驟為：找圓心——畫軌跡——定半徑4、解題經驗：運動軌跡的半徑R往往跟線速度V聯(lián)系在一起，進而跟磁感應強度B、質荷比q/ml有關。運動軌跡對應的圓心角θ往往跟運動時間t有關?？偠灾簬缀瘟坑脦缀畏椒ㄇ?。幾何量與物理量有關。臨界問題1.電性不確定引起的分類討論問題。2.入射點不確定引起的臨界問題。3.出射點不確定引起的臨界問題。4.入射速度方向確定、大小不確定，從而使得軌跡多樣，并且出射點不確定，引起的臨界問題。5.入射速度大小確定，方向不確定，從而引起的臨界問題OyxBv60o例、如圖，在第I象限范圍內有垂直xOy平面的勻強磁場B。質量為m、電量大小為q的帶電粒子(不計重力)，在xOy平面里經原點O射入磁場中，初速度為v0，且與x軸成60o角，試分析計算：（1）穿越磁場時運動方向發(fā)生的偏轉角多大？（2）帶電粒子在磁場中運動時間多長？如粒子帶正電，則：如粒子帶負電，則：一、電性不確定引起的分類討論60o120o例如下圖所示，兩塊長度均為5d的金屬板相距d，平行放置，下板接地，兩極間有垂直只面向里的勻強磁場，一束寬為d的電子束從兩板左側垂直磁場方向射入兩極間，設電子的質量為m，電量為e，入射速度為v0，要使電子不會從兩極間射出，求勻強磁場的磁感應強度B應滿足的條件。

5dv0d二、入射點不確定引起的臨界問題v0思考:1.假設磁場是無界的,各電子的運動軌跡怎樣?2.磁場較小時，軌跡半徑較大。哪個電子最有可能從右側飛出?半徑相等的圓所有運動軌跡的圓心在一條直線上最上面的電子3.當磁場很大,運動半徑較小，哪個電子最有可能從左側飛出?依然是最上面的電子綜上所述，不管B取什么值，在同一磁場中的電子的運動軌跡的半徑都是一樣的，只是運動軌跡的位置不同，而且只要最上面的電子不飛出，其他電子都不會飛出。O1O2R1R2①B較大時，R較小，電子恰好從左側飛出有:②B較小時，R較大，電子恰好從右側飛出,有:5dd例、如圖，長為L的水平不帶電極板間有垂直紙面向內的勻強磁場B，板間距離也為L，現(xiàn)有質量為m，電量為q的帶正電粒子（不計重力），從左邊極板間中點處垂直磁場以速度v平行極板射入磁場，欲使粒子不打在極板上，則入射速度v應滿足什么條件？+q,mvLBLO三、出射點不確定引起的臨界問題例、如圖，在PMN區(qū)域內分布有磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，有一束正離子流(不計重力)，沿紙面垂直于磁場邊界MN方向從A點垂直邊界射入磁場，已知MA=d，∠PMN45o，離子的質量為m、帶電荷量為q、要使離子不從MP邊射出，離子進入磁場的速度最大不能超過多少？

PMNAv0B四、速度方向確定，大小不確定引起的臨界問題O例、如圖，若電子的電量e，質量m，斜向上與邊界成60o射入磁感應強度B，寬度d的磁場，若要求電子不從右邊界穿出，則初速度v0應滿足什么條件？斜向下與邊界成60o射入時，初速度又應該滿足什么條件？deBv0r+rcos60o

=ddeBv0r－rcos60o

=d例、如圖，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于紙面向里，PQ為該磁場的右邊界線，磁場中有一點O到PQ的距離為r。現(xiàn)從點O以同一速率將相同的帶負電粒子向紙面內各個不同的方向射出，它們均做半徑為r的勻速圓周運動，求帶電粒子打在邊界PQ上的范圍（粒子的重力不計）。O2rPQPQOrO2rrQPMN五、速度大小確定，方向不確定引起的臨界問題總結:粒子以相同大小，不同方向的速度進入磁場之后的運動軌跡如何?它們的圓心位置有什么特點?①當同種粒子的射入速度大小確定，而方向不確定時，所有軌跡圓是一樣的，半徑都為R，只是位置不同。②所有軌跡圓繞入射點，向粒子運動方向旋轉。③軌跡分布在一個半徑為2R的圓形區(qū)域內。④所有軌跡圓的圓心在一個半徑為R的圓上。練、如圖，真空室內存在方向垂直紙面向里，大小B=0.6T的勻強磁場，內有與磁場方向平行的板ab，在距ab距離為l=16cm處，有一點狀的放射源S向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知

α粒子的電荷與質量之比q/m=5.0×107C/kg

，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度。baSlB即：2R>l>R。P1NP2故P1P2=20cm解析：α粒子帶正電，沿逆時針方向做勻速圓周運動，軌道半徑R為解題經驗1、臨界問題，經常是運動軌跡圓與磁場邊界相切時為臨界狀態(tài)。2.仔細審題，當電荷的正負不確定、或磁場的方向不確定時，會有兩個解。3.注意磁偏轉與電偏轉的不同。電偏轉是拋物線，一去不復返，但是磁偏轉是圓，可以向前，也可以回頭。特別是在矩形磁場中，既可以從左邊飛出，也可以從右邊飛出，也就是有兩個臨界狀態(tài)。4.對于有多個粒子，或者相當于有多個粒子（如速度大小確定，方向不確定的題型），射入同一磁場時，有界磁場要先假設成無界磁場來研究，這樣會得到更多靈感。也就是說，在畫運動軌跡圓草圖時，必須畫完整的圓。O2r模型1：速度方向確定，大小不確定模型2：速度大小確定，方向不確定三種重要的模型Vv0模型3：速度大小、方向確定，入射點不確定極值問題

dm-qAvOαRd對象模型：質點過程模型：勻速圓周運動規(guī)律：牛頓第二定律+圓周運動公式條件：要求時間最短wa==vst

速度v不變，欲使穿過磁場時間最短，須使s有最小值，則要求弦最短。

例一個垂直紙面向里的有界勻強磁場形狀如圖所示，磁場寬度為d。在垂直B的平面內的A點，有一個電量為－q、質量為m、速度為v的帶電粒子進入磁場，請問其速度方向與磁場邊界的夾角為多少時粒子穿過磁場的時間最短？（已知mv/Bq>d）dm-qAvθO中垂線θ與邊界的夾角為（90o－θ

）BqmvdBqm2arcsinRvt===2qw2qmvdBqRd22/sin==q例

一個垂直紙面向里的有界勻強磁場形狀如圖所示，磁場寬度為d。在垂直B的平面內的A點，有一個電量為－q、質量為m、速度為v的帶電粒子進入磁場，請問其速度方向與磁場邊界的夾角為多少時粒子穿過磁場的時間最短？（已知mv/Bq>d）例、如圖，半徑為r=3×10－2m的圓形區(qū)域內有一勻強磁場B=0.2T，一帶正電粒子以速度v0=106m/s的從a點處射入磁場，該粒子荷質比為q/m=108C/kg，不計重力。若要使粒子飛離磁場時有最大的偏轉角，其入射時粒子的方向應如何（以v0與ao的夾角表示）？最大偏轉角多大？

R=mv/Bq=5×10－2m>rOaBv0bααRr說明：1.本題中，由于是兩圓相交，兩個交點的連線同時是兩個圓的弦。2.軌道圓半徑確定時，弦線越長，通過的弧越長，偏轉角度也越大。R=mv/Bq=5×10－2m>r解析：OaBv0