3.3函數(shù)的應(yīng)用(一)3.4數(shù)學(xué)建模活動決定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第三章函數(shù)

3.3函數(shù)的應(yīng)用（一）

3.4數(shù)學(xué)建?；顒樱?/p>

決定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)基礎(chǔ)知識常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型形如y＝kx＋b(k≠0)的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型。應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖像解題時(shí)，應(yīng)注意：①一次函數(shù)有單調(diào)遞增(一次項(xiàng)系數(shù)為正)和單調(diào)遞減(一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù))兩種情況；②一次函數(shù)的圖像是一條直線。(2)二次函數(shù)模型形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)模型是二次函數(shù)模型。二次函數(shù)模型是重要的數(shù)學(xué)模型之一，依據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)的解析式后，利用配方法求最值簡單易懂，有時(shí)也可以依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，從而解決利潤最大、用料最省等問題。思考：一次、二次函數(shù)模型的定義域都是全體實(shí)數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用問題中，定義域一定是全體實(shí)數(shù)嗎？提示：不一定。在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)的自變量x往往具有實(shí)際意義，如x表示長度時(shí)，x≥0；x表示件數(shù)時(shí)，x≥0，且x∈Z等。在解答時(shí)，必須要考慮這些實(shí)際意義。典例精析為了鼓勵(lì)大家節(jié)約用水，自2013年以后，上海市實(shí)行了階梯水價(jià)制度，其中每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系如下表所示。記戶年用水量為x

m3時(shí)應(yīng)繳納的水費(fèi)為f(x)元(1)寫出f(x)的解析式；(2)假設(shè)居住在上海的張明一家2015年共用水260m3，則張明一家2015年應(yīng)繳納水費(fèi)多少元?解：(1)不難看出，

f(x)是一個(gè)分段函數(shù)，而且:當(dāng)0<x≤220時(shí)，有f(x)=x;當(dāng)220<x≤300時(shí)，有f(x)=220×3.45+(x－220)×4.83=4.83x－303.6;當(dāng)x>300時(shí)，有f(x)=220×3.45+(300－220)×4.83+(x－300)×5.83

=5.83x－603.6.因此f(x)=3.45x，0<x≤220,4.83x－303.6，220<x≤300,5.83x－603.6，x>300.(2)因?yàn)?20<260≤300，所以f(260)=4.83×260－303.因此張明一家2015年應(yīng)繳納水費(fèi)952.2元。由上題可知，可以用分段函數(shù)來描述生活中的階梯水價(jià)、階梯電價(jià)等內(nèi)容。典例精析城鎮(zhèn)化是國家現(xiàn)代化的重要指標(biāo)，據(jù)有關(guān)資料顯示，1978-2013年，我國城鎮(zhèn)常住人口從1.7億增加到7.3億，假設(shè)每一年城鎮(zhèn)常住人口的增加量都相等，記1978年后第t(限定t＜40)年的城鎮(zhèn)常住人口為f(t)億。寫出f(t)的解析式，并由此估算出我國2017年的城鎮(zhèn)常住人口數(shù)。解：因?yàn)槊恳荒瓿擎?zhèn)常住人口的增加量都相等，所以f(t)是一次函數(shù)，設(shè)f(t)=kt+b，其中k，b是常數(shù)。注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年，因此即f(0)=1.7，f(35)=7.3，b=1.7，35k+6=7.3，解得k=0.16，b=1.7。因此f(tt+1.7，t∈N且t＜40.又因?yàn)?017年是1978年后的第2017-1978=39年，而且f(39)=，所以由此可估算出我國2017年的城鎮(zhèn)常住人口為7.94億。典例精析某農(nóng)家旅游公司有客房160間，每間房單價(jià)為200元時(shí)，每天都客滿。已知每間房單價(jià)每提高20元，則客房出租數(shù)就會減少10間。若不考慮其他因素，旅游公司把每間房單價(jià)提到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高?分析：可以通過試算來理解題意，如下表所示.提價(jià)/元每間房單價(jià)/元客房出租數(shù)租金總收入/元02001603200020220150330004024014033600602601303380080280120336001003001103300012032010032000解：設(shè)每間房單價(jià)提高x個(gè)20元時(shí)，每天客房的租金總收入為y

元。因?yàn)榇藭r(shí)每間房單價(jià)為200+20x元，而客房出租數(shù)將減少10x間，即為160-10x間，所以y=(200+20x)(160-10x)

=200(10+x)(16-x)=200(-x2+6x+160)

=200[-(x-3)2+169]

=200(x-3)2+33800.從而可知，當(dāng)x=3時(shí)，y的最大值為33800。因此每間房單價(jià)提到200+20×3=260元時(shí)，每天客房的租金總收入最高。某單位計(jì)劃用圍墻圍出一塊矩形場地，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為l，如果要使圍墻圍出的場地面積最大，則矩形的長、寬各等于多少？解：設(shè)矩形的長為x時(shí)，場地的面積為S。典例精析

x>0,

又因?yàn)?/p>

典例精析已知某產(chǎn)品的總成本C與年產(chǎn)量Q之間的關(guān)系為C=aQ2+Q時(shí)的平均成本為f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年產(chǎn)量為多少時(shí)，平均成本最小，并求最小值.

建模過程描述與介紹俗話說，“物以稀為貴”。一般來說，當(dāng)市面上某種商品的出售量比較多時(shí)，這種商品的價(jià)格就會比較低；而出售量比較少時(shí)，價(jià)格就會比較高。

例如，當(dāng)市面上的蘋果比較多時(shí)，蘋果的價(jià)格就會降低。這時(shí)，如果利用一定的技術(shù)手段將蘋果進(jìn)行保鮮存儲，等到市面上的蘋果變少、價(jià)格上升之后再出售，則同樣多的蘋果就可以獲得相對較高的銷售收入，不過，需要注意的是，保鮮存儲是有成本的，而且成本會隨著時(shí)間的延長而增大。針對上述這種日常生活中的現(xiàn)象，我們可以提出一些什么問題呢？

當(dāng)然，我們可以探討的問題很多。例如，為什么會發(fā)生這些現(xiàn)象？什么情況下不會發(fā)生這樣的現(xiàn)象？能夠利用哪些技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲？哪種保鮮存儲的成本最低？等等。類似的這些問題，因?yàn)椴粌H僅涉及量的關(guān)系，所以如果只用數(shù)學(xué)手段研究，將是十分困難的。

不過，上述現(xiàn)象中，涉及了量的增大與減少的問題，這可以用數(shù)學(xué)符號和語言進(jìn)行描述。仍以蘋果為例，設(shè)市面上蘋果的量為x萬噸，蘋果的單價(jià)為y

元。上述現(xiàn)象說明，y會隨著x的增大而減少，且y也會隨著x的減少而增大——也就是說，如果y是x的函數(shù)并記作y=f(x)的話，f(x)是減函數(shù)。同樣地，如果設(shè)保鮮存儲的時(shí)間為t天，單位數(shù)量的保鮮存儲成本為C元，且C是t的函數(shù)并記作C=g(t)的話，g(t)是一個(gè)增函數(shù)。由于市面上蘋果的量x會隨著時(shí)間t

的變化而變化，因此可以認(rèn)為x是t的函數(shù)，并記作x=h(t)。從上面這些描述不難看出，在第t天出售蘋果時(shí)，單位數(shù)量的蘋果所獲得的收益z元可以用t表示出來，即z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t).此時(shí)，如果f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，則能得到z與t

的具體關(guān)系式。有了關(guān)系式之后，就能解決如下問題：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t

為多少時(shí)z取最大值？

怎樣才能確定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？這可以通過合理假設(shè)以及收集數(shù)據(jù)、確定參數(shù)來完成。例如，為了簡單起見，我們可以假設(shè)f(x)和g(t)都是一次函數(shù)，且f(x)=k1x+l1，g(t)=k2t+l2；并假設(shè)h(t)是一個(gè)二次函數(shù)，且h(t)=at2+bt+c.則有z=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+

l1-l2，其中k1<0，

k2>0，a≠0.上述各參數(shù)可以通過收集實(shí)際數(shù)據(jù)來確定，例如，如果我們收集到了如下實(shí)際數(shù)據(jù)。利用待定系數(shù)法，根據(jù)前面的假設(shè)就可以確定出y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=t,x=h(tt2t+9.6,因此z=-t2-t+0.1.注意到上式可以改寫成z=-0.001(t-30)2+1，所以此時(shí)在t=30時(shí)，z

取最大值1。也就是說，在上述情況下，保鮮存儲30天時(shí)，單位商品所獲得的利潤最大，為1元。這樣一來，我們就建立了一個(gè)決定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)的模型，并通過有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了說明。

當(dāng)然，實(shí)際情況與上面的建模結(jié)果可能會出現(xiàn)偏差，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)f(x)和g(t)都是一次函數(shù)等就已經(jīng)把問題進(jìn)行了簡化，如果條件容許的話，可以先不假設(shè)函數(shù)的具體形式，在收集盡量多的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過對數(shù)據(jù)的分析來最終得出函數(shù)的具體形式，這樣也就能優(yōu)化我們最終建立的模型。以上我們用敘述的方式，讓大家經(jīng)歷了一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)建模全過程。由此可以看出，對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題就是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。在實(shí)際的數(shù)學(xué)建模過程中，為了向別人介紹數(shù)學(xué)建模的成果，給別人提供參考，我們還需要將建模結(jié)果整理成論文的形式。

一般來說，數(shù)學(xué)建模論文的結(jié)構(gòu)可以按照建模過程來確定。例如，圖1、圖2、圖3所示都可以是數(shù)學(xué)建模論文的主體結(jié)構(gòu)。論文標(biāo)題一、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題二、分析問題、建立模型三、確定參數(shù)、計(jì)算求解四、驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型圖1論文標(biāo)題一、問題的提出與分析二、模型的建立與計(jì)算三、問題的解決與反思圖2論文標(biāo)題一、背景介紹二、問題提出與分析三、模型假設(shè)與符號說明四、模型的建立五、模型的求解六、模型的檢驗(yàn)七、模型的評價(jià)圖3當(dāng)然，數(shù)學(xué)建模論文中還可以根據(jù)需要增加作者、摘要、參考文獻(xiàn)、附錄等信息。需要提醒的是，對于一些綜合性比較強(qiáng)的問題而言，數(shù)學(xué)建模的過程中需要做的事情比較多，比如數(shù)據(jù)收集與整理、模型試算、對比不同的模型、將結(jié)果以可視化方式展示、資料整理與論文撰寫等，因此數(shù)學(xué)建模的過程中，往往采用分工合作的方式進(jìn)行。一般來說，一個(gè)數(shù)學(xué)建模小組由3~5人組成。理想的小組中，既要有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)的同學(xué)，也要有能熟練使用計(jì)算機(jī)的同學(xué)，還要有寫作表達(dá)能力強(qiáng)的同學(xué)?；A(chǔ)自測1．某地固定電話市話收費(fèi)規(guī)定：前三分鐘元(不滿三分鐘按三分鐘計(jì)算)，以后每加一分鐘增收元(不滿一分鐘按一分鐘計(jì)算)，那么某人打市話550s，應(yīng)支付電話費(fèi)(

)A．元 B．元C．元 D．元B

2．某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為了降低消耗，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖所示)．當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊的長x，y應(yīng)為(

)A．x＝15，y＝12

B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10

D．x＝10，y＝14A

3．將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元/個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè)。已知該商品每個(gè)漲價(jià)1元時(shí)，其銷售量就會減少20個(gè)。為了獲得最大利潤，其售價(jià)應(yīng)定為(

)A．110元/個(gè) B．105元/個(gè)C．100元/個(gè) D．95元/個(gè)D

解析：設(shè)商品每個(gè)漲價(jià)x元，利潤為y元，則銷售量為(400－20x)個(gè)。根據(jù)題意，得y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000＝－20(x－5)2＋4500.所以當(dāng)x＝5時(shí)，y取得最大值，最大值為4500.即當(dāng)每個(gè)漲價(jià)5元，也就是售價(jià)為95元/個(gè)時(shí)，可以獲得最大利潤，故選D。4．某游樂場每天的盈利額y(單位：元)與售出的門票數(shù)x(單位：張)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。試分析圖像，要使該游樂場每天的盈利額超過1000元，那么每天至少應(yīng)售出______張門票。234

典例剖析一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份元，賣出的價(jià)格是每份元，賣不完的還可以以每份元的價(jià)格退回報(bào)社。在一個(gè)月(以30天計(jì)算)內(nèi)有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報(bào)社買多少份報(bào)紙才能使每月所獲得的利潤最大？并計(jì)算每月最多能賺多少錢。一次函數(shù)模型的應(yīng)用思路探究：本題所給條件較多，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，可以列表分析。則y＝6x＋750＋x－200－6x＝x＋550(250≤x≤400，x∈N＋)．∵函數(shù)y＝x＋550在x∈[250,400]上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝400時(shí)，y取得最大值870.即每天從報(bào)社買進(jìn)400份報(bào)紙時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤為870元。歸納提升：實(shí)際問題中列出的函數(shù)關(guān)系式，要考慮實(shí)際問題對自變量的限制，即注意自變量的實(shí)際意義。對于與一次函數(shù)有關(guān)的最值問題通常借助一次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域來處理。對點(diǎn)訓(xùn)練若一根蠟燭長20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為圖中的(

)解析：蠟燭剩下的長度隨時(shí)間增加而縮短，根據(jù)實(shí)際意義不可能是D；更不可能是A，C．故選B．B

典例剖析二次函數(shù)模型的應(yīng)用某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果，假設(shè)每箱售價(jià)不得低于50元且不得高于55元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價(jià)格銷售，平均每天銷售90箱，價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售3箱。(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？思路探究：本題中平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價(jià)x(元/箱)是一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系，雖然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把問題看成一次函數(shù)模型的應(yīng)用問題；平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價(jià)x(元/箱)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系，可看成是一個(gè)二次函數(shù)模型的應(yīng)用題。解析：(1)根據(jù)題意，得y＝90－3(x－50)，化簡，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)。(2)因?yàn)樵撆l(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤。所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)。(3)因?yàn)閣＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以當(dāng)x＜60時(shí)，w隨x的增大而增大。又50≤x≤55，x∈N，所以當(dāng)x＝55時(shí)，w有最大值，最大值為1125。所以當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤，且最大利潤為1125元。歸納提升：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．在根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中最值問題，二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖像來解答。2．對于本題要清楚平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤。對點(diǎn)訓(xùn)練漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m(m＞0)，為了保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x應(yīng)小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量。已知魚群的年增長量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)。(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)求魚群年增長量的最大值；(3)當(dāng)魚群年增長量達(dá)到最大值時(shí)，求k的取值范圍。典例剖析分段函數(shù)模型的應(yīng)用WAP手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500min以下(包括500min)，按30元計(jì)費(fèi)；超過500min的部分按元/min計(jì)費(fèi)。假如上網(wǎng)時(shí)間過短(小于60min)使用量在1min以下不計(jì)費(fèi)，在1min以上(包括1min)按元/min計(jì)費(fèi)。