專題10.3 二項(xiàng)式定理（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第十章概率專題10.3二項(xiàng)式定理能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題．考點(diǎn)一通項(xiàng)公式的應(yīng)用考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展開式的第k＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.常用結(jié)論1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用1．的展開式中不含項(xiàng)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈恼归_式中不含項(xiàng)，所以，解得，故選：C．2．若的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【答案】C【詳解】由二項(xiàng)式定理可得第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)分別為和，即，由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得；因此展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，是第6項(xiàng).故選：C3．二項(xiàng)式的展開式為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】二項(xiàng)式，.故選：B4．二項(xiàng)式的展開式的第3項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】二項(xiàng)式的展開式的第3項(xiàng)為.故選：C5．已知的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．1120 B． C．70 D．【答案】A【詳解】由的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，得，所以，的二項(xiàng)式通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題6．設(shè)，已知的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榈恼归_式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式一共有項(xiàng)，即，令，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，所以，中項(xiàng)的取法為1個(gè)和1個(gè)，所以系數(shù)為.故選：C7．已知，，若，則該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【詳解】，，∴，解得，∴該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.故選：D8．已知展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（

）A．270 B． C．330 D．【答案】D【詳解】令，則，得.所以，又因?yàn)橹挥?，展開式中有含的項(xiàng)，所以的系數(shù)為.故選：D9．在的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則所有系數(shù)之和為（

）A．1 B． C．0 D．32【答案】D【詳解】依題意得：，.令，則，所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為.故選：D.10．若的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式中含的項(xiàng)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)式系數(shù)之和為，所以，所以，則展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以.故選：C題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用11．習(xí)近平總書記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)社會(huì)主義文化繁榮興盛．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晩近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（

）A．B．第2023行中從左往右第1013個(gè)數(shù)與第1014個(gè)數(shù)相等C．記第n行的第個(gè)數(shù)為，則D．第20行中第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)之比為【答案】D【詳解】根據(jù)題意，由數(shù)表可得：第行的第個(gè)數(shù)為，由此分析選項(xiàng)：對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，第2023行中從左往右第1013個(gè)數(shù)為，第1014個(gè)數(shù)為，兩者不相等，B錯(cuò)誤；對于C，記第行的第個(gè)數(shù)為，則，則，C錯(cuò)誤；對于D，第20行中第8個(gè)數(shù)為，第9個(gè)數(shù)為，則兩個(gè)數(shù)的比為，D正確．故選：D．12．設(shè)，則被除的余數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】因?yàn)椋ㄇ遥?，其中，令，所以，其中，∴該組合數(shù)被除的余數(shù)是.故選：C.13．已知，則下列描述正確的是

（

）A． B．除以5所得的余數(shù)是1C． D．【答案】B【詳解】對于A：令得：；令，得．，因此A錯(cuò)誤；對于B：，因此B正確對于C：因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，由通項(xiàng)公式知，二項(xiàng)展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以，由，令，得到，令，得到，所以，因此C錯(cuò)誤對于D：對原表達(dá)式的兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，得到，令，得到，令，得所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B14．二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對于任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理的展開式的前兩項(xiàng)可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù)．用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為（

）【答案】C【詳解】，故選：C.15．中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026【答案】D【詳解】若，由二項(xiàng)式定理得，則，因?yàn)槟鼙?整除，所以a除以5余，又因?yàn)?，選項(xiàng)中2026除以5余1．故選：D．一、單選題1．二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B．462 C．792 D．【答案】D【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以項(xiàng)的系數(shù)是，故選:D2．已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則二項(xiàng)式的展開式共項(xiàng)，即，解得.故選：A.3．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．20 C． D．15【答案】A【詳解】的第項(xiàng)為，令，則，所以的展開式中，含項(xiàng)為，系數(shù)為.故選：A4．若的展開式中的系數(shù)為40，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】的展開式的項(xiàng)為,因?yàn)榈恼归_式中的系數(shù)為40，所以，解得.故選:B．5．若的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．6 B．8 C．28 D．56【答案】C【詳解】由的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，得，所以，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為（且），令，解得，所以，故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為28，故選：C．6．在的展開式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．84 B．85 C．127 D．128【答案】D【詳解】由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，所以所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為.故選：D.7．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．200 B．40 C．120 D．80【答案】B【詳解】，而展開式的通項(xiàng)為，所以當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為，所以的系數(shù)為，故選：B8．若，則下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】A：在中，令，得，因此本選項(xiàng)正確；B：在中，令，得，令，得，，得，所以本選項(xiàng)不正確；C：，，所以本選項(xiàng)正確；D：在中，令，得，所以，因此本選項(xiàng)正確，故選：B二、多選題9．關(guān)于二項(xiàng)式的展開式，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B．展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為C．展開式中第5項(xiàng)為 D．展開式中不含常數(shù)項(xiàng)【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)：?。校珹錯(cuò)，B選項(xiàng)：展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為，B對，C選項(xiàng)：由，則時(shí)即為第5項(xiàng)為，C對，D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)可知恒成立，D對，故選：BCD.10．已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】對于A，取,則，則A正確；對B，根據(jù)二項(xiàng)式展開通式得的展開式通項(xiàng)為，即，其中所以，故B正確；對C，取，則，則，故C錯(cuò)誤；對D，取，則，將其與作和得，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題11．設(shè)，則.【答案】【詳解】令得，令得，，所以，故答案為：.12．的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為.【答案】【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，所以，所以二項(xiàng)式，即為，令，可得，即的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為.故答案為：.四、解答題13．已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)－2(2)1093(3)2187【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故；（2）當(dāng)時(shí)，；由（1）知，所以；（3）由展開式可知均為負(fù)值，均為正值，結(jié)合（1）（2）可知，故.14．閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”如圖所示，它揭示了為非負(fù)數(shù)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：(1)直接寫出_____．(2)的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是_____．(3)利用上述規(guī)律求的值，寫出過程．【答案】(1)(2)8【詳解】（1）由楊輝三角圖可得（2）由楊輝三角的性質(zhì)可得的展開式二項(xiàng)式系數(shù)可知展開式中項(xiàng)的系數(shù)為；（3）15．在二項(xiàng)式的展開式中，________________．給出下列條件：①所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64；②若展開式中第2項(xiàng)系數(shù)為12試在上面二個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并且完成下列問題：(1)求展開式的常數(shù)項(xiàng)；(2)求的展開式中的系數(shù)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選①，∵，∴．若選②，，∴.所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.（2）的展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)．16．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)是在全黨全國各族人民邁上全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家新征程、向第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的關(guān)鍵時(shí)刻召開的一次十分重要的大會(huì)．某單位組織