第03講 5.3.1函數(shù)的單調性（解析版）

課程標準學習目標①理解導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系。②掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的方法。③能利用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的單調區(qū)間。④會利用導數(shù)證明一些簡單的不等式問題。⑤掌握利用導數(shù)研究含參數(shù)的單調性的基本方法。通過本節(jié)課要求能利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，會求簡單函數(shù)的單調區(qū)間，能證明簡單的不等式，會利用導數(shù)解決單調性與含參數(shù)相關的問題.知識點01：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系（導函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減）函數(shù)在區(qū)間內可導，(1)若，則在區(qū)間內是單調遞增函數(shù)；(2)若，則在區(qū)間內是單調遞減函數(shù)；(3)若恒有，則在區(qū)間內是常數(shù)函數(shù)．注意：討論函數(shù)的單調性或求函數(shù)的單調區(qū)間的實質是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則條件恒有結論函數(shù)在區(qū)間上可導在內單調遞增在內單調遞減在內是常數(shù)函數(shù)【即學即練1】（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）如圖所示是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】A【詳解】對于選項A：當時，，則在上單調遞減，故A正確；對于選項B：當時，；當時，；則在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；對于選項C：當時，，則在上單調遞增，故C錯誤；對于選項D：當時，，則在上單調遞減，故D錯誤；故選：A.知識點02：求已知函數(shù)（不含參）的單調區(qū)間①求的定義域②求③令，解不等式，求單調增區(qū)間④令，解不等式，求單調減區(qū)間注：求單調區(qū)間時，令（或）不跟等號.【即學即練2】（2023下·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．，【答案】A【詳解】因為，所以函數(shù)的定義域為，所以，由有：，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，故B，C，D錯誤.故選：A.知識點03：由函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍的方法1、已知函數(shù)在區(qū)間上單調①已知在區(qū)間上單調遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調遞減，恒成立.注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.2、已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調減區(qū)間使得有解3、已知函數(shù)在區(qū)間上不單調，使得有變號零點【即學即練3】（2023上·新疆·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為.【答案】【詳解】因為在區(qū)間上單調遞增，所以當時，恒成立，即在恒成立，又，所以.故答案為：.【即學即練4】（2023上·貴州貴陽·高三清華中學?？茧A段練習）已知函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，依題意，不等式在上有解，等價于在上有解，而，當且僅當時取等號，則，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．知識點04：含參問題討論單調性第一步：求的定義域第二步：求（導函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導函數(shù)有效部分，記為對于進行求導得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負.第四步：確定導函數(shù)有效部分的類型：①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）第五步：通過分析導函數(shù)有效部分，討論的單調性題型01求函數(shù)的單調區(qū)間【典例1】（2022下·湖北·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，令，得，所以的單調遞減區(qū)間為，故選：B【典例2】（2023下·河北滄州·高二?？茧A段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，定義域為，令，解得，所以在上單調遞減.故選：D.【變式1】（多選）（2023下·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谥校┖瘮?shù)的一個單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由題意，，，因此的增區(qū)間是，因此ABD正確，C錯誤．故選：ABD．題型02函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關系【典例1】（2023·高二課時練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減C．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增D．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增【答案】C【詳解】由導數(shù)的圖象可知，當時，，所以在區(qū)間，上單調遞增，故C正確；當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，當時，，則在區(qū)間上單調遞減，故A、B、D錯誤；故選：C．【典例2】（2022下·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由導函數(shù)的圖象可得當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增.只有C選項的圖象符合.故選：C.【變式1】（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞減【答案】D【詳解】由圖可知：當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，單調遞增；故選：D.【變式2】（2022·湖南·校聯(lián)考二模）設函數(shù)在定義域內可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由的圖象可知，在上為單調遞減函數(shù)，故時，，故排除A，C；當時，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負，最后是正，因此排除B，故選：D.題型03已知函數(shù)在區(qū)間上單調，求參數(shù)【典例1】（2023上·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的最大值為．【答案】/【詳解】由函數(shù)是上的減函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，設，則，當時，，函數(shù)單調遞減當時，，函數(shù)單調遞增，可得，所以，即實數(shù)的最大值為．故答案為：.【典例2】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）設且，若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】由題意知：，當時，，，所以，所以在上單調遞減；當時，，，要使，則，整理得，所以，解得．故答案為：【典例3】（2023上·遼寧大連·高三大連市金州高級中學?？计谥校┤艉瘮?shù)在具有單調性，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，當函數(shù)在單調遞增時，恒成立，得，設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，因此有，當函數(shù)在單調遞減時，恒成立，得，設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，顯然無論取何實數(shù)，不等式不能恒成立，綜上所述，a的取值范圍是，故選：C【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三常熟中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由得，由于函數(shù)在上單調遞增，故在上恒成立，因此在對任意的恒成立，所以，故答案為：【變式2】（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】由題設在上恒成立．設，即在上恒成立，又，當且僅當時等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為．故答案為：題型04已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調區(qū)間，求參數(shù)【典例1】（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學校考期中）若函數(shù)在區(qū)間上有單調遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】，由題意在上有解，即在上有解，根據對勾函數(shù)的性質可知，在上單調遞增，所以在時取最大值，故，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【典例2】（2023下·江西撫州·高二江西省臨川第二中學校考階段練習）函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是.【答案】【詳解】函數(shù)，∴，∵函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，，即有解，令,,∴當時，，即可．故答案為:【變式1】（2023下·廣西·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)在存在單調遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．【答案】【詳解】，等價于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，則，即在上是增函數(shù)，∴，所以.故答案為：.題型05已知函數(shù)在的單調區(qū)間為（是），求參數(shù)【典例1】（2023下·高二課時練習）已知函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，則.【答案】【詳解】，因為函數(shù)單調遞減區(qū)間是，所以，解得，則，令，得，所以函數(shù)單調遞減區(qū)間是，所以.故答案為：.題型06已知函數(shù)在區(qū)間上不單調，求參數(shù)【典例1】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內不是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，即，，令，得或（舍去），因為在定義域的一個子區(qū)間內不是單調函數(shù)，所以，得，綜上，，故選：A【典例2】（2022上·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為在區(qū)間上不是單調函數(shù)，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．令，則．當時，；當時，．故在上單調遞減，在上單調遞增．又因為，且當時，所以在區(qū)間上單調遞增，所以，解得.故選：A【變式1】（2022·全國·高二專題練習）已知函數(shù)．若在內不單調，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由，得，當在內為減函數(shù)時，則在內恒成立，所以在內恒成立，當在內為增函數(shù)時，則在內恒成立，所以在內恒成立，令，因為在內單調遞增，在內單調遞減，所以在內的值域為，所以或，所以函數(shù)在內單調時，a的取值范圍是，故在上不單調時，實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．【變式2】（2022下·福建漳州·高二福建省漳州第一中學校考階段練習）若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】(4，5)【詳解】解：函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上不單調，則在上存在變號零點，由得，令，，，在遞減，在遞增，而，，，所以.故答案為：.題型07含參問題討論單調性(導函數(shù)有效部分是一次型)【典例1】（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調區(qū)間.【答案】(1)函數(shù)的極大值為，無極小值(2)答案見解析【詳解】（1）當時，，其定義域為，.令，則.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，函數(shù)的極大值為，無極小值.（2），，當時，，在上單調遞增；當時，由，得，若，則,若，則，單調遞減，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，綜上，當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調區(qū)間．【答案】增區(qū)間為，減區(qū)間為．【詳解】的定義域為，，令，解得．令，得，令，得，∴的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調性．【答案】答案見解析【詳解】由函數(shù)的定義域為，且，令，解得，若，當時，；當時，，所以函數(shù)在單調遞增，在單調遞減.若，當時，；當時，，所以函數(shù)在單調遞減，在單調遞增.若，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，無單調性.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調性．【答案】答案見解析【詳解】由題意，得函數(shù)的定義域為R，則，當時，對任意恒成立，∴函數(shù)在R上單調遞減；當時，令，得，令，得，∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當時，在R上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．題型08含參問題討論單調性(導函數(shù)有效部分是二次型且可因式分解)【典例1】（2023上·江蘇揚州·高三儀征市第二中學校考期中）已知函數(shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1），因為是函數(shù)的極值點，所以，解得，當時，，若，則，若，則或.即函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，即是函數(shù)的極值點.故．（2），，當時，令，解得或，當，即時，當時，，當或時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．當時，當時，，當或時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．當，即時，，所以在上單調遞減.綜上，當時，在上遞減，在上遞增，在上遞減；當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．【典例2】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中.求函數(shù)的單調區(qū)間；【答案】答案見解析【詳解】，令得，當時，，則函數(shù)在上單調遞增，當時，或時，，時，，所以函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減，當時，或時，，時，，所以函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述，當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為在，，單調遞減區(qū)間為.【典例3】（2023上·甘肅慶陽·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當時，，則，所以切線的斜率，又，所以在處的切線方程為，即．（2）因為，所以，令，得或，又，當時，恒成立，所以在上單調遞增．當時，，令，得或，所以的單調遞增區(qū)間為，；當時，，由，得或，所以的單調遞增區(qū)間為，；綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，；當時，的單調遞增區(qū)間為，.【變式1】（2023上·河南南陽·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，討論函數(shù)的單調性；【答案】(1)(2)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減【詳解】（1）當時，，則，所以，當時，，又，所以，由導數(shù)的幾何意義知曲線在點處的切線方程為．（2）因為，易知，，則，又，當時，,當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．【變式2】（2023上·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)當時，討論的單調性.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當時：，令解得，又因為當，，此時函數(shù)單調遞減；當，，此時函數(shù)單調遞增.所以的最小值為.（2），當時，由，得或.①若，則，故在上單調遞增；②若，則.故當時，或；當時，.所以在，上單調遞增，在上單調遞減.③若，則.故當時，或；當時，.所以在，上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知，求的單調遞減區(qū)間.【答案】答案見解析【詳解】易得的定義域為，，令得或.當時，因為，所以，令得，所以的單調遞減區(qū)間為.當時，①若，即，當時，,當時，，當時，，所以的單調遞減區(qū)間為；②若，即，當時，恒成立，沒有單調遞減區(qū)間；③若，即，當時，，當時，，當時，所以的單調遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，的單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞減區(qū)間為；當時，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞減區(qū)間為.題型09含參問題討論單調性(導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解)【典例1】（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，其中為常數(shù)，討論函數(shù)的單調性．【答案】答案見解析【詳解】根據題意，，則，導數(shù)，分2種情況討論：①當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)；②當時，，令，則有，當時，，有恒成立，則有，函數(shù)為減函數(shù)，當時，，有兩個根，或，且，則在區(qū)間,和,上，，則有，函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間,上，，函數(shù)為增函數(shù)；綜合可得：當時，在上為增函數(shù)，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，當時，在區(qū)間,和,上，函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間,上，函數(shù)為增函數(shù)．【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).討論的單調性．【答案】答案見解析【詳解】由題意知，定義域為，；令，則.①當，即時，（當且僅當，時取等號），在上單調遞減；②當，即時，令，解得，，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【變式1】（2022·甘肅臨夏·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）定義域為，，令，①當時，恒成立，，是增函數(shù)；②時，，當，即時，由得，，由或，，故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，，當，即時，恒成立，是增函數(shù)，綜上可知：時，是增函數(shù)，時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)．討論當時，單調性．【答案】答案見解析【詳解】由題意可知對于二次函數(shù)．當時，恒成立，在上單調遞減；當時，二次函數(shù)有2個大于零的零點，分別是，當時，在單調遞增；當時，在和單調遞減綜上：當時在（0，＋∞）單調遞減當時在單調遞增；在和上單調遞減．A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023上·高二課時練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A．, B．, C．, D．,【答案】A【詳解】函數(shù)的導數(shù)，由得，即，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；故選：A.2．（2023上·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┖瘮?shù)?的單調遞增區(qū)間是（

）A．B．?和?C．?D．?【答案】D【詳解】的定義域為，，當時，；當時，；的單調遞增區(qū)間為.故選：D.3．（2021上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞減【答案】D【詳解】根據導函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上，遞增，所以D選項正確，ABC選項錯誤.故選：D4．（2022上·河南安陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)若在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令函數(shù)，.要滿足條件，必須在上單調遞減，在上單調遞減，且.易知在上單調遞減.，令,即,解得,令,即,解得,可得在上單調遞增，在上單調遞減，所以.，令,即,解得,令,即,解得,則當時，，當時，，要使，則.所以的取值范圍是.故選:C.5．（2022上·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調遞增，得，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B6．（2022下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，因為在上為單調遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以即，故選：A.7．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間內存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，由題意可知：存在，使得，整理得，且在上單調遞減，則，可得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.8．（2023下·河北唐山·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于在上單調遞增，所以在上恒成立，故在上恒成立，由于當且僅當時取等號，所以，故選：C二、多選題9．（2021上·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）設，都是單調函數(shù)，其導函數(shù)分別為，，，下列命題中，正確的是（

）A．若，，則單調遞增；B．若，，則單調遞增；C．，，則單調遞減；D．若，，則單調遞減；【答案】BC【詳解】，函數(shù)為增函數(shù)，時，函數(shù)為減函數(shù)，同理時，函數(shù)為增函數(shù)，時，函數(shù)為減函數(shù)，不妨取，，則滿足，，，顯然是減函數(shù)，排除A選項；取，，滿足，，則，故是增函數(shù)，排除選項D；當，時，函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，故B正確；當，時，為減函數(shù)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以為減函數(shù)，故C正確.故選：BC三、填空題10．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┤艉瘮?shù)在上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由函數(shù)，可得，因為函數(shù)在上單調遞減，則在上恒成立，即在恒成立，因為，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.11．（2023上·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由得，由于函數(shù)的定義域為，故令,解得，故的單調遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調遞增，則，解得，故答案為：12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上不單調，∴在區(qū)間內有解，則在內有解，易知函數(shù)在上是減函數(shù)，∴的值域為，因此實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：四、解答題13．（2022下·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學校?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性；【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當時，，，所以，曲線在處的切線方程為.（2），①當時，，所以函數(shù)在上單調遞增；②當時，令，則(舍)或，，當時，函數(shù)單調遞減；，當時，函數(shù)單調遞增.③當時，令，則或(舍)，，當時，函數(shù)單調遞減；，當時，函數(shù)單調遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在(0,+∞)上單調遞增；當時，當時，函數(shù)單調遞減

當時，函數(shù)單調遞增；當時，當時，函數(shù)單調遞減；

當時，函數(shù)單調遞增14．（2023上·湖北·高三隨州市曾都區(qū)第一中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數(shù)的單調性.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1），由已知，∴得又∴曲線在點處的切線方程為化簡得：（2）定義域為R，，令得或①當即時，令得或，令得，故在單調遞減，在，上單調遞增；②當即時，恒成立，故在R上單調遞增；③當即時，令得或，令得，在上單調遞減，在，上單調遞增；綜上，當時，在單調遞減，在，上單調遞增；當時，在R上單調遞增；當時，在上單調遞減，在，上單調遞增；B能力提升1．（2022上·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學?？茧A段練習）若對任意的，且當時，都有，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由題設，即，令，則函數(shù)在且上遞增，而，所以，即在上恒成立，故.故答案為：2．（2023上·河北保定·高三河北易縣中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，，則，則，所以曲線在處的切線方程為，即；（2），當時，因為，所以，所以函數(shù)在上單調遞增，當時，令，則，當或時，，當時，，所以函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減.3．（2023上·北京·高三北師大實驗中學校考階段練習）已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值;(2)當時，討論函數(shù)的單調區(qū)間．【答案】(1)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；極小值(2)分類討論，答案見解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．則，令，可得，當變化時，和的變化情況如下：單調遞減單調遞減單調遞增故函數(shù)的單調減區(qū)間為;單調增區(qū)間為．當時，函數(shù)有極小值.（2）因為，所以