5.2 導數(shù)在研究函數(shù)中的作用 題型

導數(shù)在研究函數(shù)中的作用理解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.能利用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．會利用導數(shù)證明一些簡單的不等式問題.掌握利用導數(shù)研究含參數(shù)的單調(diào)性的基本方法．了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關系.掌握函數(shù)極值的判定及求法.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件．能根據(jù)極值點與極值的情況求參數(shù)范圍.會利用極值解決方程的根與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題．理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.會求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值．理解極值與最值的關系，并能利用其求參數(shù)的范圍.能利用導數(shù)解決一些簡單的恒成立問題．課標解讀：1.通過本節(jié)課要求能利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能證明簡單的不等式，會利用導數(shù)解決單調(diào)性與含參數(shù)相關的問題.2.通過本節(jié)課的學習要求會求函數(shù)的極值、極值點；能解決與極值點相關的參數(shù)問題；并能利用極值解決方程的根與函數(shù)的交點問題.3.通過本節(jié)課的學習，要求會求函數(shù)在局部區(qū)間的最大（?。┲?，能利用函數(shù)的導數(shù)解決恒成立問題與存在性問題.TOC\o"14"\h\u導數(shù)在研究函數(shù)中的作用 1一、主干知識 2考點1：函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的關系 2考點2：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟 2考點3：函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系 3考點4：函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)值大小的關系 3考點5：函數(shù)極值的求法與步驟 3考點6：函數(shù)的最大(小)值與導數(shù) 4考點7：用導數(shù)求函數(shù)f(x)最值的基本方法 4【常用結論總結】 4二、分類題型 5題型一函數(shù)的單調(diào)性 5命題點1用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性 5命題點2用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 17命題點3函數(shù)與導函數(shù)圖像之間的關系 25命題點4含參數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 32題型二函數(shù)的極值與最大（?。┲?40命題點1函數(shù)極值 40命題點2函數(shù)（導函數(shù)）圖像與極值的關系辨析 52命題點3由導數(shù)求函數(shù)最值 62命題點4函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合運用 70命題點5根據(jù)極值點求參數(shù) 96命題點6函數(shù)（導函數(shù)）的極值與最值 106三、分層訓練：課堂知識鞏固 125一、主干知識考點1：函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的關系一般地，設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，(1)如果f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)如果f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．考點2：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求導數(shù)y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．考點3：函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負f(x)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞增f′(x)<0單調(diào)遞減特別提醒：①若在某區(qū)間上有有限個點使f′(x)＝0，其余的點恒有f′(x)>0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)．②f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.考點4：函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)值大小的關系一般地，設函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上導數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)(1)極小值點與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，就把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)極大值點與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，就把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．考點5：函數(shù)極值的求法與步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時，①如果在x0附近的左側函數(shù)單調(diào)遞增，即f′(x)>0，在x0的右側函數(shù)單調(diào)遞減，即f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側函數(shù)單調(diào)遞減，即f′(x)<0，在x0的右側函數(shù)單調(diào)遞增，即f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側單調(diào)性的變化情況求極值．考點6：函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(1)函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．考點7：用導數(shù)求函數(shù)f(x)最值的基本方法(1)求導函數(shù)：求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)；(2)求極值嫌疑點：即f′(x)不存在的點和f′(x)＝0的點；表；(4)求極值：依(3)的表中所反應的相關信息，求出f(x)的極值點和極值；(5)求區(qū)間端點的函數(shù)值；(6)求最值：比較極值嫌疑點和區(qū)間端點的函數(shù)值后，得出函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的最大值和最小值.【常用結論總結】(1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)注意“臨界點”和“間斷點”：在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的間斷點．(3)如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字等隔開．2.(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負的關系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，則y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．二、分類題型題型一函數(shù)的單調(diào)性命題點1用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性（多選）下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性一一判定選項即可.【詳解】由在上是增函數(shù)，故A正確；對于函數(shù)，當時，，當時，，所以在定義域上不是增函數(shù)，故B錯誤；函數(shù)的定義域為，所以在定義域上是增函數(shù)，故C正確；，定義域為，在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故D錯誤；故選：AC.（多選）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，結合導數(shù)判斷單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于A，，，又，所以是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性，易知在和上分別單調(diào)遞增，但在定義域上并不單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，，，，所以是奇函數(shù)，又，所以是上的增函數(shù)，故C正確；對于D，，，，所以是奇函數(shù)，又，所以是上的增函數(shù)，故D正確.故選：CD.已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是．【答案】【分析】即導函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)有零點.【詳解】由題意知，因為在區(qū)間上不單調(diào)，即在區(qū)間有零點，又，即為的零點在區(qū)間內(nèi)，所以解得，即m的取值范圍是．故答案為：已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】.【分析】利用奇偶性及單調(diào)性去函數(shù)符號解一元二次不等式即可.【詳解】易知，且，即為奇函數(shù)，又，當且僅當時取得等號，故為增函數(shù)，對于，所以，故答案為：.已知函數(shù)（為常數(shù)）為奇函數(shù)，則滿足的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，再求導可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結合其單調(diào)性與奇偶性求解不等式，即可得到結果.【詳解】因為函數(shù)（為常數(shù)）為奇函數(shù)，則，即，解得，檢驗符合，所以，且，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：若函數(shù)在具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系進行求解即可.【詳解】由，當函數(shù)在單調(diào)遞增時，恒成立，得，設，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，因此有，當函數(shù)在單調(diào)遞減時，恒成立，得，設，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，顯然無論取何實數(shù)，不等式不能恒成立，綜上所述，a的取值范圍是，故選：C已知函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數(shù)單調(diào)轉化為恒成立，或恒成立，再分類討論不等式恒成立的充要條件，當時，恒成立；當時，分離整體參數(shù)，構造函數(shù)研究函數(shù)的值域即可.【詳解】由題意，的定義域為．因為函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在恒成立，或函數(shù)在恒成立.①當時，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，符合題意；②當時，(i)當時，，即在上恒成立．令，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，則，這與矛盾；當時，，即在上恒成立．因為在上為增函數(shù)，且當時，，所以不存在這樣的，使恒成立.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．故選：C．已知在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】確定在上恒成立，根據(jù)得到，再證明充分性，，設，求導得到單調(diào)區(qū)間，計算最值得到證明.【詳解】，在上恒成立，設，，，①必要性：，恒成立，故，故，若，則存在，使時，，單調(diào)遞增，，不滿足條件；②充分性：，，設，在恒成立，故單調(diào)遞減，，故恒成立，綜上所述：.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中利用必要性探路得到，再證明充分性可以避免繁瑣的討論，簡化運算，是解題的關鍵.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性得到導函數(shù)的正負，后利用二次函數(shù)性質求參數(shù)范圍即可.【詳解】由得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立．設，則在上恒成立，利用二次函數(shù)的圖象與性質及數(shù)形結合思想，可得或，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為故選：B．若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】轉化為，或，由得，當時即求，當時即求由時得，當時即求，當時即求.【詳解】，函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，所以，或，當時，不符合題意；由時，得，當時，，所以在上恒成立，即求，因為，所以，，所以；當時，，所以在上恒成立，即求，因為，所以，，即；綜上所述，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是由，或，轉化為求最值的問題.若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】在內(nèi)單調(diào)遞減等價于在內(nèi)恒成立，據(jù)此即可求解.【詳解】，∵在內(nèi)單調(diào)遞減，∴在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，∵在單調(diào)遞增，∴，∴，∴﹒故答案為：已知函數(shù)，若單調(diào)遞增，求a的值.【答案】1【分析】先對求導，因為單調(diào)遞增，所以恒成立，再構造函數(shù)，分別討論時的符號和單調(diào)性，最終得到值.【詳解】由可得，，由于函數(shù)單調(diào)遞增，則恒成立，當時，，可知時，，不滿足題意；設，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又因為，即，不滿足題意；當時，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，由可得，，令，則，可知時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，則，由于恒成立，所以，，當且僅當時取等號，故函數(shù)單調(diào)遞增時，實數(shù)的值為1.已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.【答案】函數(shù)在R上單調(diào)遞增【分析】對函數(shù)進行求導，結合三角函數(shù)的值域，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】的定義域為R，且.由于，所以在R上恒成立，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞增.已知，求的單調(diào)性.【答案】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【分析】根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性關系求解即可.【詳解】由，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.已知函數(shù).(1)若單調(diào)遞增，求的值；(2)設是方程的兩個實數(shù)根，求證：.【答案】(1)1(2)證明見解析【分析】（1）由單調(diào)遞增，轉化為恒成立，分離參數(shù)法可求；（2）由是方程的兩個實數(shù)根，化簡得，，兩式作和與差，消去參數(shù)，轉化為證明，整體換元，轉化變形為的證明，構造函數(shù)，利用導數(shù)證明即可．【詳解】（1），，則，由單調(diào)遞增，則，即，則有恒成立，當時，對任意都成立；當時，，則恒成立，設，則為減函數(shù)，當時，則，且，所以；當時，，則恒成立，由為減函數(shù)，當時，則，且，所以；綜上所述，；（2）方程，所以，則有，且，由，得．要證，只要證明，即證，記，則，，因此只要證明，即．記，，令，則，當時，，所以函數(shù)在上遞增，則，即，則在上單調(diào)遞增，，即成立，．【點睛】多變量導數(shù)題的核心思想是不變的——消元，消元的方法有很多，在雙變量問題中可以差值比值代換，主元法，構造函數(shù)等等.這些方法同樣適用于多變量，在三變量消元時也可以考慮先忽略一個變量，將三變量轉化成雙變量問題.已知函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當時，證明：對，有．【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）由導函數(shù)符號變化，分區(qū)間討論單調(diào)性；（2）不等式等價變形，構造函數(shù)，求解導函數(shù)并利用放縮，再結合輔助角公式轉化利用有界性判斷導函數(shù)符號，得到函數(shù)單調(diào)性證明不等式.【詳解】（1）當時，，，當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）要證，只要證，即證．令，．當時，令，，所以在單調(diào)遞增，所以，即，從而．所以，，其中，為輔助角，且滿足即可.所以在單調(diào)遞減，即．故成立．命題點2用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)與0的關系得出減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，則單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導，令求解.【詳解】解：因為，所以，令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，則在上恒成立，結合函數(shù)單調(diào)性得最值，即可得的取值范圍.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立；又函數(shù)在上遞減，所以恒成立，則故的取值范圍是.故選：D.已知，函數(shù)的定義域為．若為奇函數(shù)，則的嚴格增區(qū)間為．【答案】和【分析】由奇函數(shù)的性質求出，則，對求導，令，解方程即可得出答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，因為，所以，則，，令，則或，解得：或.故答案為：和已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可列不等式求解.【詳解】由得，由于函數(shù)的定義域為，故令,解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故答案為：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【分析】利用導函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性再結合指數(shù)函數(shù)的值域計算即可.【詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，恒成立，即在恒成立，又，所以.故答案為：.已知函數(shù)的減區(qū)間為，則.【答案】3【分析】根據(jù)題意，轉化為的解集為，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，，解集為，則.故答案為：3若函數(shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意轉化為在上有解，分離參數(shù)后求函數(shù)最值即可得解.【詳解】，由題意在上有解，即在上有解，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知，在上單調(diào)遞增，所以在時取最大值，故，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】求導，即或恒成立，分類討論即可.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在上有或恒成立，當時，即，則，當時，即，則，綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】或【分析】將問題轉化為有極值點，即有變號零點，從而得解.【詳解】因為，所以，又不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)有極值點，即在上有變號零點，則成立，當時，可化為，顯然不成立；當時，，因為，，所以或，所以實數(shù)m的取值范圍為或（因為要有變號零點，故不能取等號），經(jīng)檢驗，或滿足要求.故答案為：或.已知函數(shù)，當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】增區(qū)間為和，減區(qū)間為【分析】當時，求得，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】解：當時，，該函數(shù)的定義域為，，由可得，由可得或，故當時，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.設函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若正數(shù)，滿足，證明：.【答案】(1)增區(qū)間為，，減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）先求得的等量關系式，然后利用構造函數(shù)法、換元法，結合導數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）的定義域是，.令，解得；令，解得或.所以增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（2）證明：因為，所以.設，定義域為，則，當時，.單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.因此，所以對任意的恒成立.令，有，當且僅當時，等號成立.因此，即，解得，即.【點睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對應區(qū)間上是增函數(shù)，對應區(qū)間為增區(qū)間；，則在對應區(qū)間上是減函數(shù)，對應區(qū)間為減區(qū)間.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若過點作直線與函數(shù)的圖象相切，判斷切線的條數(shù).【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)三條【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）設出切點，將切線方程表示為含有參數(shù)的直線方程，根據(jù)切線過點可得關于參數(shù)的方程，判斷方程根的個數(shù)即可求解.【詳解】（1）因為，所以.令，得；令，得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），則，設切點為，則，，所以切線方程為.將點代入得，整理得.因為方程有兩個不相等正根，所以方程共有三個不相等正根.故過點可以作出三條直線與曲線相切.已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【答案】(1)(2)和【分析】（1）求導得到導函數(shù)，計算，，得到切線方程.（2）求導得到導函數(shù)，構造，求導確定單調(diào)區(qū)間，計算最值得到在和上恒成立，得到答案.【詳解】（1），定義域為，，，，故切線方程為，即；（2）函數(shù)定義域為，，設，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，恒成立，即在上恒成立，函數(shù)在和上單調(diào)遞增.則函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為和.已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【答案】(1)；(2)，.【詳解】（1）利用導數(shù)幾何意義即可求得曲線在點處的切線方程；（2）利用導數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．（1），則則，又，則曲線在點處的切線方程為，即（2），則，由可得或，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.命題點3函數(shù)與導函數(shù)圖像之間的關系函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷的符號，由此求得不等式的解集.【詳解】由圖象可知，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以不等式的解集為.故選：C已知函數(shù)的導函數(shù)是，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析的單調(diào)性，即可得到的單調(diào)性及變化趨勢，即可判斷.【詳解】由題知且不恒等于，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即當時，的值由小變大，再由大變小，即函數(shù)圖象從左到右是單調(diào)遞增，且變化趨勢是先慢后快再變慢.故選：B.的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系可得出合適的選項.【詳解】由導函數(shù)的圖象可知，當或時，；當時，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的圖象為C選項中的圖象.故選：C.如圖為函數(shù)的圖象，為函數(shù)的導函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系及符號法則解不等式即可.【詳解】由題可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，所以時，，時，，由，可得或，所以.故選：D.已知函數(shù)為的導函數(shù)，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求導函數(shù),再根據(jù)導函數(shù)導數(shù)正負得出導函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】令函數(shù)，定義域為，函數(shù)為偶函數(shù)，又，且，當時，在單調(diào)遞增，則，函數(shù)在單調(diào)遞增.故選：C.已知函數(shù)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關系及導數(shù)的幾何意義即得.【詳解】因為的圖像經(jīng)過與兩點，即，，由導數(shù)的幾何意義可知在與處的切線的斜率為，故AD錯誤；由的圖象知，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又在上越來越大，在上越來越小，所以在上增長速度越來越快，在上增長速度越來越慢，故C錯誤，B正確.故選：B.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷其導數(shù)的正負情況，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知當或時，；當時，，等價于或，故不等式的解集為，故選：A是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項中的（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負與原函數(shù)單調(diào)性的關系，結合圖象進行判斷即可.【詳解】由導函數(shù)的圖象可知：當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，只有選項C符合，故選：C已知三次函數(shù)的圖象如圖所示，若是函數(shù)的導函數(shù)，則關于的不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】分、討論結合導函數(shù)和原函數(shù)圖象的關系可得答案.【詳解】有圖可知，所以即解，當時得，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，故滿足條件的為，當時，，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，故滿足條件的為.所以綜合可得的解集為或.故選：D.【點睛】方法點睛：導函數(shù)大于零則原函數(shù)遞增，導函數(shù)小于零則原函數(shù)遞減，本題考查導函數(shù)與原函數(shù)的關系.設是定義域為R的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及時的圖象，判斷函數(shù)的函數(shù)值的正負情況，繼而可判斷其單調(diào)性，從而判斷的正負，即可求得答案.【詳解】由題意可知當時，；當時，；由于是定義域為R的奇函數(shù)，故當時，；當時，；又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結合是定義域為R的奇函數(shù)，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，，當時，，故當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；故可以使成立的x的取值范圍是，，，故選：ABD已知上的可導函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為【答案】【分析】根據(jù)圖像得到當時，，當時，，時，，代入計算得到答案.【詳解】根據(jù)圖像可得，當時，，，即，故；當時，，，即，故；當時，，，即，故；綜上所述：.故答案為：命題點4含參數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】將函數(shù)求導，對的正負性進行分類討論，進而得到的單調(diào)性.【詳解】因為的定義域為，所以，其中，當時，即，在上單調(diào)遞增，當時，即，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)幾何意義和平行關系得到方程，求出，從而得到，求出切線方程；（2）求定義域，求導，對導函數(shù)因式分解，分，和三種情況，討論得到函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1），由已知，∴得又∴曲線在點處的切線方程為化簡得：（2）定義域為R，，令得或①當即時，令得或，令得，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；②當即時，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；③當即時，令得或，令得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上，當時，在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求得，然后對進行分類討論，從而求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將要證明的不等式轉化為，利用構造函數(shù)法、放縮法，結合多次求導來研究所構造函數(shù)的單調(diào)性，進而證得不等式成立.【詳解】（1）因為，所以，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）要證，即證，即證，設，故在上單調(diào)遞增，又，所以，又因為，所以，所以，①當時，因為，所以；②當時，令，則，設，則，設，則，因為，所以，所以即在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，，即．綜上可知，當時，，即．【點睛】方法點睛；求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對應區(qū)間上是增函數(shù)，對應區(qū)間為增區(qū)間；，則在對應區(qū)間上是減函數(shù)，對應區(qū)間為減區(qū)間.如果導函數(shù)含有參數(shù)，則需要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏.如果一次求導無法確定函數(shù)的單調(diào)性，則可以考慮多次求導的方法來進行求解.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間，(2)當時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2).【分析】（1）求出，分、、、討論可得答案；（2）由已知整理得，構造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得，令，再利用的單調(diào)性求得最值可得答案.【詳解】（1），當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，令，得或，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，當時，令，得或，令，得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），即，整理得，因為，所以，令，因為，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，因為，所以，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：第二問的關鍵點是構造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得，再構造函數(shù).已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】求出函數(shù)的定義域以及導函數(shù)，然后分，，三種情況，根據(jù)導函數(shù)，即可得出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】由已知可得，，定義域為，所以.（?。┊敃r，.當時，有，在上單調(diào)遞增；當時，有，在上單調(diào)遞減.（ⅱ）當時，，解，可得，或（舍去負值），且.解可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.（ⅲ）當時，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求得，討論的范圍，考查的正負即可；（2）結合（1）中的結論，要證明不等式成立只需證的最大值為,不等式化為，考查函數(shù)的單調(diào)性，求得最小值即可.【詳解】（1）由題意，得.當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增.當時，令，解得.當時，,當，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知，當時，的最大值為.要證成立，需成立，即證.令，則.令，得（負值已舍去）.所以當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當時，取得最小值，為.故當時，.已知函數(shù)，其中R.討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【分析】利用導數(shù)分類討論求函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】依題意，的定義域為，由，得，①當時，恒成立，所以在單調(diào)遞增；②當時，令，得，當時，，所以在單調(diào)遞減；當時，，所以在單調(diào)遞增；綜上，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.已知函數(shù)，，討論的單調(diào)區(qū)間.【答案】答案見解析【分析】先求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.【詳解】的定義域為，，若，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.已知函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】，分類討論的取值范圍，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【詳解】函數(shù)，定義域是，，時，時，，時，，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；時，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.綜上所述：時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；時，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時，的增區(qū)間是，無減區(qū)間；時，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.題型二函數(shù)的極值與最大（?。┲得}點1函數(shù)極值函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．為函數(shù)的零點B．是函數(shù)的最小值C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．為函數(shù)的極大值點【答案】C【分析】根據(jù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結合函數(shù)的單調(diào)性，極值點和極值，以及零點的概念，逐項判定，即可求解.【詳解】由的圖象，可得：當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，A中，是函數(shù)的一個極大值點，不一定是函數(shù)的零點，所以A不正確；B中，是函數(shù)一個極小值，不一定是函數(shù)的最小值，所以B錯誤；C中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C正確；D中，為函數(shù)的極小值點，所以D錯誤.故選：C.設函數(shù)的導函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值【答案】B【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負性與原函數(shù)單調(diào)性的關系，結合極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，A錯誤；當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確，C錯誤；函數(shù)在處取得極小值，D錯誤．故選：B已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則（

）A．有極小值，但無極大值 B．既有極小值，也有極大值C．有極大值，但無極小值 D．既無極小值，也無極大值【答案】A【分析】通過導函數(shù)大于0原函數(shù)為增函數(shù)，導函數(shù)小于0原函數(shù)為減函數(shù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間，從而確定函數(shù)的極值.【詳解】

由導函數(shù)圖像可知：導函數(shù)在上小于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上大于等于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以原函數(shù)在處取得極小值，無極大值，故選：A.設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A．函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）B．函數(shù)f（x）有極大值f（－2）和極小值f（1）C．函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（－2）D．函數(shù)f（x）有極大值f（－2）和極小值f（2）【答案】D【分析】結合函數(shù)圖像及極值點定義可以判斷極大值及極小值.【詳解】由題圖可知，當時，；當時，；當時，；當時，由此可以得到函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值．故選:D已知函數(shù)在處有極值，則等于（

）A． B．16 C．或16 D．16或18【答案】A【分析】求導，即可由且求解，進而代入驗證是否滿足極值點即可.【詳解】，若函數(shù)在處有極值8，則且，即，解得：或，當時，，此時不是極值點，故舍去，當時，，當或時，，當，故是極值點，故符合題意，故，故，故選：A已知函數(shù)在處有極大值，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出方程求得的值，然后檢驗即可得到結果.【詳解】，，∴或，當時，，令，得或；令，得；從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極小值，不合題意，當時，經(jīng)檢驗，滿足題意；綜上，.故選：C若函數(shù)在處取得極小值，則（

）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】A【分析】先由，求得的值，再代入導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，進行驗證.【詳解】由題意可得，則，解得.當時，，當或時，，則在，單調(diào)遞增，當時，，則在單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得極小值，此時.故選：A若函數(shù)有極大值，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對函數(shù)求導后，分，，和四種情況討論即可.【詳解】由，得，當時，，則在上遞增，所以無極值，當時，，則在上遞減，所以無極值，當時，由，得，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以時，取得極大值，當時，由，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，綜上，當時，有極大值，故選：B（多選）設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（

）A．有兩個極值點 B．為函數(shù)的極大值C．有兩個極小值 D．為的極小值【答案】BC【分析】利用函數(shù)圖象判斷符號，從而判斷的單調(diào)性，進而根據(jù)極值點、極值的概念判斷即可.【詳解】由題圖知，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以.所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以有三個極值點，為函數(shù)的極大值，和為的極小值.故AD錯誤，BC正確.故選：BC（多選）設三次函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則（

）A．函數(shù)有極大值 B．函數(shù)有極小值C．函數(shù)有極大值 D．函數(shù)有極小值【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，結合圖象求出函數(shù)的零點，再求出大于0、小于0的x取值區(qū)間即可判斷作答.【詳解】依題意，三次函數(shù)的導函數(shù)為是二次函數(shù)，觀察圖象知，是函數(shù)的兩個零點，當或時，，當時，，所以函數(shù)有極小值，有極大值，AD正確，BC錯誤.故選：AD（多選）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)可以為（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】BC【分析】利用函數(shù)極值的定義以及零點存在性定理得出結果.【詳解】由題意知，在上有變號零點，又易知在上單調(diào)遞減，故，可得解得.故選：BC.已知實數(shù)、、、成等差數(shù)列，且函數(shù)在時取到極大值，則.【答案】【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的極值點與極值，可得出、的值，再利用等差數(shù)列的性質可求得的值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，由可得，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以，函數(shù)在時取到極大值，又因為實數(shù)、、、成等差數(shù)列，可得.故答案為：.函數(shù)的極小值是.【答案】0【分析】求出導函數(shù)，由其確定單調(diào)性得極小值．【詳解】由已知，得或，當或時，，當時，，所以在和上遞增，在遞減，所以的極小值為．故答案為：0.函數(shù)的一個極值點為1，則的極大值是．【答案】4【分析】由極值點定義得到，求出，進而得到或時，，時，，得到函數(shù)單調(diào)性和極大值.【詳解】定義域為R，，由題意得，，解得，故，令，解得，令得，或，單調(diào)遞增，令得，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，極大值為.故答案為：4設函數(shù)在區(qū)間上有極大值點，則的取值范圍是．【答案】【分析】求導，令，則，構造函數(shù)，利用導數(shù)畫出函數(shù)的大致圖像，結合函數(shù)圖象，從分類討論結合極值的定義即可得解.【詳解】，令，則，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當時，，，作出函數(shù)的大致圖像，如圖所示，由圖可知，當，即時，，所以函數(shù)在上無極值；當，即時，方程有兩個不同的實數(shù)根，設為，當或時，，當時，，所以函數(shù)既有極大值又有極小值，故符合題意；當，即時，方程只有一個實數(shù)根，設為，當時，，當時，，所以函數(shù)只有極小值，沒有極大值，綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.已知函數(shù)在處取得極大值，求的值.【答案】【分析】求出導函數(shù)，根據(jù)已知得出，代入求解方程組即可得出的值.進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，檢驗極值即可.【詳解】由已知可得，所以有，即，解得，所以.解可得，，.解可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極大值，滿足題意.所以，.已知為函數(shù)的導函數(shù)，且，求的極值.【答案】極小值為，無極大值【分析】在等式中，令可求得的值，在等式兩邊求導，令可求得的值，可得出函數(shù)的解析式，再利用導數(shù)可求得函數(shù)的極值.【詳解】因為，則，解得，因為，可得，所以，則，可得，由，可得；由，可得.所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以當時，函數(shù)取得極小值，極小值為，無極大值.已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求的極值；(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）根據(jù)極值點可得，進而可得，利用導數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可求解極值，（2）根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，結合分類討論即可求解.【詳解】（1），，.因為在處取得極值，所以，則.所以，，令得或1，列表得1+00+↗極大值↘極小值↗所以的極大值為，極小值為.（2）.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；②當時，令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，的最小值為，不滿足題意；③當時，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍時.命題點2函數(shù)（導函數(shù)）圖像與極值的關系辨析已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．有2個極值點 B．在處取得極小值C．有極大值，沒有極小值 D．在上單調(diào)遞減【答案】C【分析】通過導函數(shù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性即可得出結論.【詳解】由題意及圖得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴有一個極大值，沒有極小值，∴A，B，D錯誤，C正確，故選：C.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)有最小值B．函數(shù)有最大值C．函數(shù)有且僅有三個零點D．函數(shù)有且僅有兩個極值點【答案】A【分析】根據(jù)的圖象判斷出的單調(diào)性、極值點、最值、零點，逐一分析每一選項即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知、的變化情況如下表所示：由上表可知在和上分別單調(diào)遞減，在和上分別單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值分別為、，其極大值為.對于A選項：由以上分析可知，即函數(shù)有最小值，故A選項正確；對于B選項：由圖可知當，有，即增加得越來越快，因此當，有，所以函數(shù)沒有最大值，故B選項錯誤；對于C選項：若有，則由零點存在定理可知函數(shù)有四個零點，故C選項錯誤；對于D選項：由上表及以上分析可知函數(shù)共有3個極值點，故D選項錯誤.故選：A.已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)的極小值有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)導函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到和為極大值，為極小值，從而得到答案.【詳解】在內(nèi)的圖像如下，當時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，故為函數(shù)極大值點，為極大值，當時，單調(diào)遞增，故為函數(shù)極小值點，為極小值，當時，單調(diào)遞減，故為函數(shù)極大值點，為極大值，故函數(shù)在內(nèi)的極小值有1個.故選：A如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，下列結論正確的是（

）A．在處取得極大值 B．是函數(shù)的極值點C．是函數(shù)的極小值點 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】C【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負即可求解的單調(diào)性，即可結合選項逐一求解.【詳解】由圖象可知：當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，無極大值.故選：C如圖是導函數(shù)的圖象，則下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】B【分析】根據(jù)已知，利用圖形以及導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關系進行判斷.【詳解】由圖可知，導函數(shù)在區(qū)間上滿足，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A正確；導函數(shù)在區(qū)間上滿足，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯誤；在附近，當時，導函數(shù)滿足，當時，導函數(shù)滿足，所以函數(shù)在處取得極大值，故C正確；在附近，當時，導函數(shù)滿足，當時，導函數(shù)滿足，所以函數(shù)在處取得極小值，故D正確.故選：B.函數(shù)的導函數(shù)為的圖象如圖所示，關于函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)在和上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在和上單調(diào)遞減C．函數(shù)僅有兩個極值點 D．函數(shù)有最小值，但是無最大值【答案】C【分析】根據(jù)的圖象判斷出的單調(diào)性、極值點、最值對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)的圖象可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，A選項正確.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，B選項正確.所以的極小值點為，極大值點為，C選項錯誤.由上述分析可知，函數(shù)的最小值是和兩者中較小的一個，沒有最大值，D選項正確.故選：C【點睛】利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點或最值，關鍵點在于根據(jù)導函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性判斷出極值點，而最值在區(qū)間的端點或極值點處取得.如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．當時，取極大值 D．在上是增函數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象與原函數(shù)的單調(diào)性與極值之間的關系，逐項判定，即可求解.【詳解】

由導函數(shù)的圖象可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以A不正確；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以B不正確；當時，,函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，為極小值，所以C不正確；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以D正確，故選：D.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（

）A．是函數(shù)的極小值點B．是函數(shù)的極大值點C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在處的切線斜率小于零【答案】C【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象，求得函數(shù)單調(diào)性，結合極值點定義，即可容易判斷選擇.【詳解】由圖象得時，，時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，即選項A、B錯誤，C正確；對選項D：顯然，故D錯誤.故選：C．（多選）已知函數(shù)及其導函數(shù)的部分圖象如圖所示，設函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．在時取極小值 D．在時取極小值【答案】BC【詳解】根據(jù)圖象得到的符號，即可得到的符號，進而得到的單調(diào)性和極值.【分析】結合圖像可知，當時，當時，，當時，，，因，故當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，在處取得極大值，故選：BC（多選）如圖所示是的導數(shù)的圖象，下列結論中正確的有（

）A．的單調(diào)遞增區(qū)間是B．是的極小值點C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D．是的極小值點【答案】ABC【分析】A.利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負的關系判斷；B.利用極小值點的定義判斷；C.利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負的關系判斷；D.利用極小值點的定義判斷；【詳解】解：根據(jù)圖象知當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．故A、C正確；當時，取得極小值，是的極小值點，故B正確；當時，取得是極大值，不是的極小值點，故D錯誤．故選：ABC．（多選）已知是函數(shù)的導函數(shù)，其圖象如圖所示，則下列關于函數(shù)的說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在處取得極大值C．在處切線的斜率小于0 D．在處取得極小值【答案】AD【分析】根據(jù)導數(shù)正負得函數(shù)的單調(diào)性，從而得出極值．由此判斷各選項．【詳解】由已知，時，（只有），因此在上單調(diào)遞減，A正確；不是極值，B錯；由知C錯；又時，，遞減，時，，遞增，所以是極小值，D正確．故選：AD．（多選）函數(shù)（，，，）的圖象如圖所示，則以下結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由的圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到和為方程的兩根且，利用韋達定理即可表示出、，從而得解；【詳解】由的圖象可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以和為方程的兩根且，所以，，所以，，所以.故選：AC（多選）設三次函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則（

）A．函數(shù)有極大值 B．函數(shù)有極小值C．函數(shù)有極大值 D．函數(shù)有極小值【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，結合圖象求出函數(shù)的零點，再求出大于0、小于0的x取值區(qū)間即可判斷作答.【詳解】依題意，三次函數(shù)的導函數(shù)為是二次函數(shù)，觀察圖象知，是函數(shù)的兩個零點，當或時，，當時，，所以函數(shù)有極小值，有極大值，AD正確，BC錯誤.故選：AD命題點3由導數(shù)求函數(shù)最值已知函數(shù)在上的最大值也是其在上的極大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出極大值點，由可得（注意極值的定義）．【詳解】，令，得，時，，遞增，時，，遞減，因此是的極大值點，由于只有一個極值點，因此其也是最大值點，由題意得，所以.故選：D.已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的極大值與最大值的關系即可求解.【詳解】，令，得，因為在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則必有，所以.故選：C.已知函數(shù)在（1，2）上有最值，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出導函數(shù)，只需在（1，2）上不單調(diào)即可.【詳解】由題意可得，在（1，2）上單調(diào)遞增，若在（1，2）上有最值，則在（1，2）上不單調(diào)，所以解得．故選：A函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用公式求導，令求得，進而可得，求導，令導數(shù)為0，判斷出單調(diào)性，極值比較端點值與極值即可求解.【詳解】由，則，則，則，則，則，令，得或，當時，，在單調(diào)遞減，當和時，，在和單調(diào)遞增，則在取得極大值，在取得極小值，，，,所以函數(shù)在區(qū)間上的值域是.故選：A函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】利用導數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，然后可得最值.【詳解】由題意，得．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．又因為，，，所以的最大值與最小值分別為與．故選：A．已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則a的取值范圍為．【答案】【分析】由的極小值點在區(qū)間上可得參數(shù)范圍．【詳解】由已知，或時，，時，，∴在和上遞減，在上遞增，∴是的極小值點，且,函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則，解得．故答案為：．已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是．【答案】【分析】先對函數(shù)求導，然后令導函數(shù)等于零，則解在區(qū)間內(nèi)，從而得解.【詳解】因為，所以，令，得.由題意得，故．故答案為：.若函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)性，結合最小值的定義即可求解.【詳解】，令得，時，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有最小值，則其最小值必為，則必有且，解得，故答案為：.已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值，則a的取值范圍是．【答案】【分析】對函數(shù)求導，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再根據(jù)函數(shù)在上存在最小值求參數(shù)范圍.【詳解】，當時，單調(diào)遞減；當或時，單調(diào)遞增，∴在取得極大值，處取得極小值.令，整理得，解得：或∵函數(shù)在上存在最小值，∴，解得.故答案為：.當時，恒有成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義可得在上恒成立.，進而可得：由可得，構造函數(shù)可得，進而可得，從而可得答案.【詳解】由題意，得.又恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以①.由，得，即.構造函數(shù)，則因為在上是增函數(shù)，所以，所以.令，則.構造函數(shù),時，遞減：時，遞增，所以，即恒成立，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以②.由①②知.故答案為：.【點睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.已知函數(shù)，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，設，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求得在上單調(diào)遞減，進而求得的最小值，得到答案.【詳解】因為，可得，設，則，令，可得，令，得，所以函數(shù)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，所以，所以在上單調(diào)遞減，則．故答案為：.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．【答案】【分析】求導得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點以及端點處的函數(shù)值比較大小求解.【詳解】，則．令，解得(舍去)，或．所以故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，所以．故答案為：已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為.【答案】【分析】對求導，進而研究的單調(diào)性，根據(jù)有最小值為0，則使，且求出，即可求參數(shù)值.【詳解】由，且，令，則，即在上遞增，所以在上遞增，又，，，，所以，使，且時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，所以由，得，令函數(shù)，，所以在上是增函數(shù)，注意到，所以，所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合最小值為0可得到方程組，消a得到關于的方程，再利用函數(shù)的單調(diào)性及特殊點的函數(shù)值解方程可得.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的最大值為．【答案】/【分析】根據(jù)題意，轉化為在上恒成立，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，進而求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由函數(shù)是上的減函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，設，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，可得，所以，即實數(shù)的最大值為．故答案為：.已知函數(shù)的最小值為1，則的取值范圍為.【答案】【分析】變換得到，換元構造新函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間，計算最值得到有解，變換得到，構造新函數(shù)，求導得到單調(diào)區(qū)間，畫出圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】，，設，，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故，故有解，即，，，即，，設，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知，解得或，即.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將取值范圍問題轉化為函數(shù)的最值問題，再利用函數(shù)圖像求解是解題的關鍵.已知函數(shù)，求的最小值.【答案】0【分析】求出函數(shù)的定義域，得出導函數(shù).根據(jù)導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值點，進而得出答案.【詳解】由已知可得，定義域為，且.當時，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.命題點4函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合運用函數(shù)，，若對任意的，，使得成立，則實數(shù)的范圍是．【答案】【分析】利用導數(shù)研究其單調(diào)性，再根據(jù)恒成立問題求解.【詳解】因為，，所以，故在上單調(diào)遞增，所以．又，所以在上也是單調(diào)遞增，所以，因為對任意的，，使成立，等價于，即，故實數(shù)a的范圍是．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題將所求轉化為是解題關鍵，利用導數(shù)等方法求出相應函數(shù)的最值即可解答.已知函數(shù)，其中.(1)當時，求證：在上單調(diào)遞減；(2)若有兩個不相等的實數(shù)根，，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用二階導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由題意可得，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出即可求解.【詳解】（1）由題意知，當時，，則，設，得，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）由，得，即，設，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得.當時，，當時，，要使方程有兩個不同的實數(shù)根，則，即，即實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】在解決導數(shù)的綜合問題時，善于運用轉化的思想，構造適當?shù)暮瘮?shù)，再次利用導數(shù)討論新函數(shù)的性質即可.已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)若對恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求得，令，分、和，三種情況討論，結合二次函數(shù)的性質，求得取值，得到的符號，進而求得函數(shù)的單調(diào)性，得到答案；（2）根據(jù)題意，轉化為不等式對恒成立，設函數(shù)，求得，設，分、和，三種情況討論，得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且，令，若時，，則，可得在上單調(diào)遞增；若時，因為，令，解得或（舍去），當時，，則，可得單調(diào)遞增；當時，，則，可得單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；若時，函數(shù)開口向下，對稱軸為且，當時，，則，可得在上單調(diào)遞增.（2）解：由不等式對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，令，可得，設，若時，可得，則，單調(diào)遞增，此時，且，不符合題意，舍去；若時，，令，解得或，當時，當時，，則，單調(diào)遞增，當時，，則，單調(diào)遞減，所以時，，又因為為整數(shù)，當時，；當時，，所以的最小整數(shù)的值為；當時，在上恒成立，則，單調(diào)遞減，又由，所以對不能恒成立，舍去，綜上可得，整數(shù)的最小值為.【點睛】方法策略：利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、分離參數(shù)法：根據(jù)不等式的基本性質將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，一端是變量的表達式的不等式，轉化為求解含有變量的表達式對應的函數(shù)的最值問題，進而求得參數(shù)的范圍；2、構造函數(shù)法：根據(jù)不等式的恒成立，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進而得出相應的含參數(shù)的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍；3、圖象法：畫出不等式對應的函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，確定函數(shù)的極值點或最值點的位置，進而求得參數(shù)的取值范圍.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】(1)(2)當時，有兩個零點；當時，有一個零點.【分析】（1）根據(jù)題意，轉化為時，；時，，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解；（2）法一：由（1）可知，當和時，有一個零點；當時，得到，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結合，得到存在，使得，根據(jù)的單調(diào)性，轉化為時，存在，使得，分類討論，即可求解；法二：根據(jù)題意，轉化為時，，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結合函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得對恒成立，當時，顯然成立；當時，；當時，，令，則，當時，；當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當時，可得，當時，，所以當時，；當時，，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.（2）法一：由（1）可知，當時，有一個零點；當時，在上單調(diào)遞增，當x趨于0時，趨于負無窮大，且，故只有一個零點.當時，.令，則，時，；時，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.當x趨于0時，因為趨于0，所以趨于正無窮大，又因為，所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，，所以當時，在只有一個零點；當時，在上單調(diào)遞減，，且x趨于正無窮大時，，所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當x趨于0時，趨于負無窮大，，所以當時，，當時，.故當時，無論k為何值，取，總能有，所以當時，有兩個零點，綜上所述，當時，有兩個零點；當時，有一個零點.法二：由題意，可得，故當時，.令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上也單調(diào)遞減，且當x大于0且趨于0時，趨于正無窮大，當x小于e且趨于e時，趨于負無窮大，當x大于e且趨于e時，趨于正無窮大，當x趨于正無窮大時，趨于0，其大致圖象，如圖所示，由圖象可知，當時，有兩個零點；當時，有一個零點.【點睛】方法策略：利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題的求解策略：1、分離參數(shù)法：根據(jù)不等式的基本性質將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，一端是變量的表達式的不等式，轉化為求解含有變量的表達式對應的函數(shù)的最值問題，進而求得參數(shù)的范圍；2、構造函數(shù)法：根據(jù)不等式的恒成立，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進而得出相應的含參數(shù)的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍；3、圖象法：畫出不等式對應的函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，確定函數(shù)的極值點或最值點的位置，進而求得參數(shù)的取值范圍.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性(2)若，求證：①函數(shù)在上只有1個零點；②.【答案】(1)答案見解析(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）求導得，分別確定和函數(shù)的正負，結合分類討論，即可求解，（2）根據(jù)函數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可求證只有一個零點，構造函數(shù)，即可由導數(shù)確定單調(diào)性求證.【詳解】（1）因為，所以.設，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當時，；當時，.當時，，所以在上單調(diào)遞增.當時，若，則，所以單調(diào)遞減；若或，則，所以單調(diào)遞增.當時，若，則，所以單調(diào)遞減；若或，則，所以單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）①由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上沒有零點.因為，所以所以當時，，此時在上只有1個零點.綜上可得，在上只有1個零點.②由，知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.設，則.由（1）知，當時，，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形；(2)構造新的函數(shù)；(3)利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間上無零點，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）將變量分離出得在區(qū)間無解，求得的值域，即可求解；（2）根據(jù)時求得m的取值范圍，再證時也成立，即，應用放縮法，先證，再證，構造函數(shù)結合導數(shù)即可證明..【詳解】（1）令，得，令，則，當時，，，故，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為，當時，，故實數(shù)m的取值范圍為．（2）依題意在時恒成立，令，解得．下證當時，不等式在時恒成立．先證明：當時，．令，則，令，則，易知，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，得，即當時，．再證明：當時，，（*）因為當時，，故只需證明．令，則．①當時，，在上單調(diào)遞增，；②當時，由知，所以，所以（*）成立．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為．【點睛】證明不等式恒成立，結合常用的指對不等式進行適當放縮是比較常用的方法.已知實數(shù)，函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：存在極值點，并求的最小值.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)【分析】（1）求導，根據(jù)的正負判定函數(shù)的增減即可；（2）根據(jù)導數(shù)的分母正，需要分子有變號零點，轉變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問題，利用導數(shù)再次確定新函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解.【詳解】（1）當時，，則令，得；令，得；所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）令，因為，所以方程，有兩個不相等的實根，又因為，所以，令，列表如下:0+減極小值增所以存在極值點.所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得對任意的有解，因此需要討論等式左邊的關于的函數(shù)，記，所以，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以當時，的最小值為．所以需要，即需要，即需要，即需要因為在上單調(diào)遞增，且，所以需要，故的最小值是．【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，判斷方程的實根個數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)只有1個實根【分析】（1）求得，設，利用導數(shù)求得在上單調(diào)遞增，且，得到的單調(diào)性，得到，分和，兩種情況討論，即可求解；（2）設，求得，設，利用導數(shù)求得單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，進而得到在上單調(diào)遞減，結合零點的存在定理，即可求解.【詳解】（1）解：因為，所以，設，則，設，可得，可得在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，即，若，則，所以，在上單調(diào)遞增；若，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）解：設，則當時，方程的實根個數(shù)即函數(shù)的零點個數(shù)．又由，設，則，由（1）知，所以，所以單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減．又當時，，所以當時，，在上單調(diào)遞減，因為，，所以在上存在唯一的零點，所以當時，方程只有1個實根．【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.結論拓展：與和相關的常見同構模型①，構造函數(shù)或；②，構造函數(shù)或；③，構造函數(shù)或.已知函數(shù)在處有極值1.(1)求的值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)題意可列出相應方程，即可求得的值，驗證后即可確定答案；（2）由題意得在上恒成立，繼而參變分離得在內(nèi)恒成立.，構造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知，因為在處取得極值1，所以，解得，即，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，即在處取得極小值1，符合題意，故.（2）在上恒成立，即在內(nèi)恒成立.令，則，令，得或，令，得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，經(jīng)驗證時，，即符合題意，即的取值范圍為.【點睛】方法點睛：解答第二問根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)取值范圍，得到不等式在上恒成立，即可參變分離，轉化為不等式在內(nèi)恒成立，繼而構造函數(shù)，將問題轉化為求解函數(shù)的最值問題.已知函數(shù).(1)試討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再分類討論確定一元二次不等式在上的解集即得.（2）利用（1）的信息，用函數(shù)的最小值點表示出a，再構造函數(shù)，利用導數(shù)探討的取值范圍，并結合零點存在性定理求解即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，當時，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減；當時，令，解得，當時，，當時，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，最多只有1個零點，當時，的最小值為，若有兩個零點，則，由，得，，令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又，即當時，，則當，即時，，令函數(shù)，當時，，當時，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，，令函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象及性質得，，即，于是當，即時，有2個零點，所以若有兩個零點，則的取值范圍為.【點睛】思路點睛：涉及含參的函數(shù)零點問題，利用導數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結合零點存在性定理，借助數(shù)形結合思想分析解決問題.已知函數(shù)有兩個不同的極值點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)已知，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，得到有兩個不同的零點，再次求導，分與兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)性和極值點情況，得到不等式，求出，再利用零點存在性定理得到答案；（2）由，，變形得到，換元后得到恒成立，構造函數(shù)，二次求導，分和，結合函數(shù)單調(diào)性即特殊點的函數(shù)值，求出的取值范圍.【詳解】（1）由題知有兩個不同的零點，設，當時，在上單調(diào)遞減，至多有一個零點，與題意不符；當時，，令得：，且時，時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由題意，，即，解得：.且此時，當時，，當時，，因此，由零點存在定理知在和各有一個零點，符合題意.綜上，.（2）由（1）可知：①，②，因此不等式等價于.又①②得：，代入得，即，設，不等式化為，又恒成立，設，，設.當時，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，而，在上單調(diào)遞增，而，在上恒成立，符合題意.當時，令得：，且當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，當時，在上單調(diào)遞減，而，與題意不符.綜上所述，.【點睛】導函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問