數(shù)學(xué)論文 淺談數(shù)列求和的若干方法方法

第10頁共10頁第9頁共10頁目錄摘要 1ABSTRACT 21．引言 22．公式法 23．錯(cuò)位相減法［2］ 34．到序相加法［2］ 45．通項(xiàng)分析法 56．拆項(xiàng)分組求和法［3］ 57．裂項(xiàng)法［2］ 68．導(dǎo)數(shù)求和法［3］ 69．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 710．遞推數(shù)列求和法[5] 811．無窮遞縮等比數(shù)列求和法[1] 9小結(jié) 9參考文獻(xiàn) 9致謝 10淺談數(shù)列求和的若干方法方法摘要初學(xué)者對這部分的內(nèi)容有畏難情緒，以至沒有學(xué)好此內(nèi)容。關(guān)于數(shù)列求和前人也作過不少文章，但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)列求和出現(xiàn)了新題型，數(shù)列求和的若干方法不但解決了數(shù)列的一般求和也很好的處理了遞推問題。要解決一類問題，數(shù)列求和是從它們的本質(zhì)特點(diǎn)出發(fā)，去尋找最一般的方法，從而得出的結(jié)論比較具有針對性，可以普遍推廣。本章的內(nèi)容規(guī)律性比較強(qiáng)，只要抓住它們的不同特點(diǎn)，相應(yīng)的歸類就比較容易地解答。根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，給出了數(shù)列通項(xiàng)與求和的一般形式，很好地解決了數(shù)列求和的若干問題，為學(xué)好本章起到很大的幫助作用。關(guān)鍵詞：數(shù)列；前項(xiàng)和；通項(xiàng)公式；遞推求和SUMMATIONOFANUBEROFSETIESABSTRACTSeriessummationseriesarethefocusofthischapter,butalsodifficult.Sometimessuchproblemsistomuchtrouble,ifnotimpossibletodothis,thispartofthecontentsofbeginnershavefearofdifficulty,emotional,andsohasfailedtolearnthiscontent.Summationseriesaboutitforanumberofpreviousarticle,butwiththedevelopmentofmath,sumseriesofnewquestionshavealsoemerged,anumberofseriessummationoftheserieswillnotonlysolvethegeneralsumisalsoaverygooddealwiththedeliverypushingproblem.Onetypeofproblemtosolve,anumberofseriessummationarefromtheirnature,characteristics,thegolookingforthemostgeneralwaytocomparetheconclusionsthustargetedtothegeneralpromotion.Regulartyofthecontentsofthischapterarerelativelystrong,aslongastheygraspthedifferentcharacteristics,thecorrespondingclassificationcaneasilyanswer.Accordingtothegeneralform,averygoodsolutiontoaseriessummationofanumberofissues,inordertolearntoplayagreathelpinthischapter.Keywords:series；pre-nand;formula;recursivesummation1．引言數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要類容，從近十年的高考來看，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式仍是考查的重點(diǎn)，以下說明數(shù)列求和的幾種方法。2．公式法對于以下數(shù)列可利用公式直接求和。（1）等差數(shù)列：（其中：前n項(xiàng)和，：首項(xiàng)，：末項(xiàng)，d：公差，n：項(xiàng)數(shù)，下同）［1］（2）等比數(shù)列：（）：公比［1］（3）自然數(shù)的平方和［1］（4）自然數(shù)的立方和［1］例1、求兩位數(shù)的奇數(shù)之和解：最小的兩位奇數(shù)是11，最大的兩位奇數(shù)是99，兩位奇數(shù)共有45個(gè)，若所求之和為個(gè)，則=11+13+15+…+99它是公差為2的等差數(shù)列前45項(xiàng)之和，于是：例2：求和：解：設(shè)所求之和為，則，這是公比為的等比數(shù)列前項(xiàng)之和。（1）、若即則有（2）、若即則有3．錯(cuò)位相減法［2］如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)之積住成，那么此數(shù)列可采用錯(cuò)位相減法，即為此數(shù)列，為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，例3、設(shè)求數(shù)列、、……的前項(xiàng)和分析：這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都含有，而=1或不等于1，對數(shù)列求和方法上有本質(zhì)的不同，所以解題時(shí)需要進(jìn)行討論。解：若，若，，此時(shí)，該數(shù)列可以看成等差數(shù)列1、2、3…與等比數(shù)列、、…的積構(gòu)成的數(shù)列，且公比，在上述等號(hào)兩邊同時(shí)乘，有兩式相減得所以，從而得4．到序相加法［2］如果一個(gè)數(shù)列與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于兩項(xiàng)之和，可采用正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。例4、求和：解：令將上式中各項(xiàng)的次序反過來，得：上述2式左右兩邊分別相加，并利用，得所以5．通項(xiàng)分析法對數(shù)列的通項(xiàng)求和或變形，進(jìn)行分析，從而決定使用哪種方法求和。例5、求數(shù)列1，，，，…的前項(xiàng)和，（）解：當(dāng)=1時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，（為偶數(shù)）和，（為奇數(shù)）可見當(dāng)||時(shí)，，所以==6．拆項(xiàng)分組求和法［3］某些數(shù)列雖不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但可以拆成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列分別之和，然后相加。例6、求和解：===7．裂項(xiàng)法［2］顧名思義，裂項(xiàng)法就是把數(shù)列的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，然后相加時(shí)各項(xiàng)相消，達(dá)到求和目的的一種方法。例7、求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：該數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積，用分子湊分母的方法，化簡分式，然后再拆項(xiàng)，有

解：+8．導(dǎo)數(shù)求和法［3］通過對數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)。關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征。例8、求和：解：當(dāng)=1時(shí)，Sn=1+2+3+…+=當(dāng)1時(shí)，兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)得（即9．?dāng)?shù)學(xué)歸納法有些題目通過求出的的前項(xiàng)之和，猜想出，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。例9、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，滿足3（求解：因?yàn)橛桑?（，得3（所以而所以3得同理求得推測下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明（1）、當(dāng)=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。（2）、假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即由題設(shè)有知

又因?yàn)樗?，有則時(shí)結(jié)論亦成立。據(jù)（1），（2），對于總成立。10．遞推數(shù)列求和法[5]遞推數(shù)列求和是較難的一類，針對這類題，一般先要研究通項(xiàng)公式，而求通項(xiàng)公式又往往是難點(diǎn)，通項(xiàng)求出就可以從本質(zhì)上去求和，下面介紹地推數(shù)列通項(xiàng)的方法。例10、已知數(shù)列，求解：要求，首先尋找因故所以是以2為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列。所以所以=所以11．無窮遞縮等比數(shù)列求和法[1]當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比||時(shí)，要求其前項(xiàng)和，我們可以直接運(yùn)用公式，例11、求數(shù)列的前項(xiàng)和解：由題設(shè)可知此數(shù)列為遞縮等比數(shù)列，公比，故前項(xiàng)和小結(jié)數(shù)列求和問題雖然很難，但我們總可以通過找出共同的特點(diǎn)和規(guī)律或進(jìn)行恒等變換得到解決的途徑。以上幾種方法是求數(shù)列較適用的方法，是從根本上去認(rèn)識(shí)數(shù)列求和。類型較全，公