高考數學總復習第十一章 計數原理、隨機變量及分布列第6課時 離散型隨機變量的均值與方差

考情分析考點新知離散型隨機變量的分布列、期望、方差和概率的計算問題結合在一起進行考查，這是當前高考命題的熱點，因為概率問題不僅具有很強的綜合性，而且與實際生產、生活問題密切聯系，能很好地考查分析、解決問題的能力．①了解取有限值的離散型隨機變量的均值、方差的意義．②會求離散型隨機變量的均值、方差和標準差，并能解決有關實際問題.1.(選修23P67習題4改編)某單位有一臺電話交換機，其中有8個分機．設每個分機在1h內平均占線10min，并且各個分機是否占線是相互獨立的，則任一時刻占線的分機數目X的數學期望為________．答案：eq\f(4,3)解析：每個分機占線的概率為eq\f(1,6)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,6)))，即X服從二項分布，所以期望E(X)＝8×eq\f(1,6)＝eq\f(4,3).2.(選修23P66例2改編)有一批數量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設其中次品數為X，則E(X)＝________，V(X)＝________.答案：21.98解析：X～B(200,0.01)，所以期望E(X)＝200×0.01＝2，V(X)＝200×0.01×(1－0.01)＝1.98.3.(選修23P71習題4改編)某人進行射擊，每次中靶的概率均為0.8，現規(guī)定：若中靶就停止射擊，若沒中靶，則繼續(xù)射擊，如果只有3發(fā)子彈，則射擊數X的均值為________．(填數字)答案：1.24解析：射擊次數X的分布列為X123P0.80.160.04∴E(X)＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.4.(選修23P71習題1改編)隨機變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數列，若E(X)＝eq\f(1,3)，則方差V(X)的值是________．答案：eq\f(5,9)解析：a、b、c成等差數列，有2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝eq\f(1,3).得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴V(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).5.一高考考生咨詢中心有A、B、C三條咨詢熱線．已知某一時刻熱線A、B占線的概率均為0.5，熱線C占線的概率為0.4，各熱線是否占線相互之間沒有影響，假設該時刻有ξ條熱線占線，則隨機變量ξ的期望為________．答案：1.4解析：隨機變量ξ可能取的值為0、1、2、3.依題意，得P(ξ＝0)＝0.15,P(ξ＝1)＝0.4，P(ξ＝2)＝0.35，P(ξ＝3)＝0.1∴ξ的分布列為ξ0123P0.150.40.350.1∴它的期望為E(ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4.1.均值(1)若離散型隨機變量ξ的分布列為：ξx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn為ξ的均值或數學期望，簡稱期望．(2)離散型隨機變量的期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(3)數學期望的性質．E(c)＝c，E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b、c為常數)．2.方差(1)若離散型隨機變量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn且這些值的概率分別是p1，p2，…，pn，則稱：V(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn為ξ的方差．(2)σ＝eq\r(Vξ)，叫標準差．(3)隨機變量ξ的方差反映了ξ取值的穩(wěn)定性．(4)方差的性質a、b為常數，則V(aξ＋b)＝a2Vξ.3.若ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)．4.期望與方差的關系均值(期望)反映了隨機變量取值的平均水平，而方差則表現了隨機變量所取的值對于它的均值(期望)的集中與離散的程度，因此二者的關系是十分密切的，且有關系式V(ξ)＝E(ξ2)＋(E(ξ))2.[備課札記]題型1離散型隨機變量的期望例1已知離散型隨機變量ξ1的概率分布為ξ11234567Peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)離散型隨機變量ξ2的概率分布為ξ23.73.83.944.14.24.3Peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)求這兩個隨機變量數學期望、方差與標準差．解：E(ξ1)＝1×eq\f(1,7)＋2×eq\f(1,7)＋…＋7×eq\f(1,7)＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×eq\f(1,7)＋(2－4)2×eq\f(1,7)＋…＋(7－4)2×eq\f(1,7)＝4，σ1＝eq\r(V（ξ1）)＝2.E(ξ2)＝3.7×eq\f(1,7)＋3.8×eq\f(1,7)＋…＋4.3×eq\f(1,7)＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝eq\r(V（ξ2))＝0.2.eq\a\vs4\al(變式訓練)甲、乙兩射手在同一條件下進行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數8，9，10的概率分別為0.2，0.6，0.2；射手乙擊中環(huán)數8，9，10的概率分別為0.4，0.2，0.4.用擊中環(huán)數的期望與方差比較兩名射手的射擊水平．解：Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)<V(ξ2)．所以，在射擊之前，可以預測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數較分散，得8、10環(huán)的次數多些．題型2離散型隨機變量的方差與標準差例2某工藝廠開發(fā)一種新工藝品，頭兩天試制中，該廠要求每位師傅每天制作10件，該廠質檢部每天從每位師傅制作的10件產品中隨機抽取4件進行檢查，若發(fā)現有次品，則當天該師傅的產品不能通過．已知李師傅第一天、第二天制作的工藝品中分別有2件、1件次品．(1)求兩天中李師傅的產品全部通過檢查的概率；(2)若廠內對師傅們制作的工藝品采用記分制，兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分，求李師傅在這兩天內得分的數學期望．解：(1)設李師傅產品第一天通過檢查為事件A；第二天產品通過檢查為事件B.則有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(4,8),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(4,9),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,5)，由事件A、B獨立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(3,10).答：李師傅這兩天產品全部通過檢查的概率為eq\f(3,10).(2)記得分為ξ，則ξ的可能值為0，1，2.∵P(ξ＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)；P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(8,15)；P(ξ＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5).∴E(ξ)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,5)＝eq\f(14,15).答：李師傅在這兩天內得分的數學期望為eq\f(14,15).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數的期望．解：設取得正品之前已取出的次品數為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3當ξ＝0時，即第一次取得正品，試驗停止，則P(ξ＝0)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).當ξ＝1時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則P(ξ＝1)＝eq\f(3,12)×eq\f(9,11)＝eq\f(9,44).當ξ＝2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則P(ξ＝2)＝eq\f(3,12)×eq\f(2,11)×eq\f(9,10)＝eq\f(9,220).當ξ＝3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則P(ξ＝3)＝eq\f(3,12)×eq\f(2,11)×eq\f(1,10)×eq\f(9,9)＝eq\f(1,220).所以，E(ξ)＝0×eq\f(3,4)＋1×eq\f(9,44)＋2×eq\f(9,220)＋3×eq\f(1,220)＝eq\f(3,10).題型3期望、方差的性質及應用例3某電器商經過多年的經驗發(fā)現本店每個月售出的電冰箱的臺數ξ是一個隨機變量，它的分布列為P(ξ＝i)＝eq\f(1,12)(i＝1，2，…，12)；設每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元．如銷售不出，則每臺每月需花保管費100元.問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使月平均收益最大？解：設x為電器商每月初購進的冰箱的臺數，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況．設電器商每月的收益為y元，則y是隨機變量ξ的函數，且y＝于是電器商每月獲益的平均數，即為數學期望Ey＝300x(Px＋Px＋1＋…＋P12)＋[300－100(x－1)]P1＋[2×300－100(x－2)]P2＋…＋[(x－1)×300－100]Px－1＝300x(12－x＋1)·eq\f(1,12)＋eq\f(1,12)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(300×\f(x（x－1）,2)－100×\f(（x－1）x,2)))＝eq\f(25,3)(－2x2＋38x)．因為x∈N*，所以當x＝9或x＝10時，數學期望最大．故電器商每月初購進9或10臺電冰箱時，月收益最大，最大收益為1500元．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ和η，且ξ、η分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a、b的值；(2)計算ξ、η的期望和方差，并以此分析甲、乙的技術狀況．解：(1)由離散型隨機變量的分布列性質可知a＋0.1＋0.6＝1，即a＝0.3，同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.V(ξ)＝0.81，V(η)＝0.6.由計算結果E(ξ)>E(η)，說明在一次射擊中甲的平均得分比乙高，但V(ξ)>V(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術都不夠全面．1.(2013·廣東)已知離散型隨機變量X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數學期望E(X)＝________．答案：eq\f(3,2)解析：E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(15,10)＝eq\f(3,2).2.(2013·湖北理)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割成125個同樣大小的小正方體．經過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的涂油漆面數為X，則X的均值為E(X)＝________．答案：eq\f(6,5)解析：用分布列解決這個問題，根據題意易知X＝0，1，2，3.列表如下：X0123ξeq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)所以E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).3.(2013·上海理)設非零常數d是等差數列x1，x2，x3，…，x19的公差，隨機變量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，則方差V(ξ)＝________．答案：eq\r(30)|d|解析：Eξ＝x10，V(ξ)＝eq\r(\f(d2,19)（92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92）)＝eq\r(30)|d|.4.(2013·浙江)設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分．(1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此兩球所得分數之和，求ξ分布列；(2)從該袋子中任取(且每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數．若E(η)＝eq\f(5,3)，V(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.解：(1)由已知得到：當兩次摸到的球分別是紅紅時ξ＝2，此時P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)；當兩次摸到的球分別是黃黃、紅藍、藍紅時ξ＝4時，P(ξ＝4)＝eq\f(2×2,6×6)＋eq\f(3×1,6×6)＋eq\f(1×3,6×6)＝eq\f(5,18)；當兩次摸到的球分別是紅黃，黃紅時ξ＝3時，P(ξ＝3)＝eq\f(3×2,6×6)＋eq\f(2×3,6×6)＝eq\f(1,3)；當兩次摸到的球分別是黃藍，藍黃時ξ＝5時，P(ξ＝5)＝eq\f(1×2,6×6)＋eq\f(2×1,6×6)＝eq\f(1,9)；當兩次摸到的球分別是藍藍時ξ＝6時，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由已知得到：η有三種取值即1，2，3，所以η的分布列為η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以，所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.1.袋中有5只紅球，3只黑球，現從袋中隨機取出4只球，設取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，則得分ξ的數學期望Eξ＝________．答案：eq\f(13,2)解析：ξ可取5、6、7、8，P(ξ＝5)＝eq\f(5,70)(3黑1紅);P(ξ＝6)＝eq\f(30,70)(2黑2紅)；P(ξ＝7)＝eq\f(30,70)(3紅1黑)；P(ξ＝8)＝eq\f(5,70)(4紅)．∴Eξ＝eq\f(455,70)＝6.5.2.為防止山體滑坡，某地決定建設既美化又防護的綠化帶，種植松樹、柳樹等植物．某人一次種植了n株柳樹，各株柳樹成活與否是相互獨立的，成活率為p，設ξ為成活柳樹的株數，數學期望E(ξ)＝3，標準差σ(ξ)為eq\f(\r(6),2).(1)求n、p的值并寫出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的柳樹未成活，則需要補種，求需要補種柳樹的概率．解：(1)由E(ξ)＝np＝3，(σ(ξ))2＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，從而n＝6，p＝eq\f(1,2)，ξ的分布列為ξ0123456Peq\f(1,64)eq\f(6,64)eq\f(15,64)eq\f(20,64)eq\f(15,64)eq\f(6,64)eq\f(1,64)(2)記“需要補種柳樹”為事件A,則P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝eq\f(1＋6＋15＋20,64)＝eq\f(21,32).3.將一枚硬幣拋擲6次，求正面次數與反面次數之差ξ的概率分布列，并求出ξ的期望Eξ.解：設正面的次數是η，則η服從二項分布B(6，0.5)，概率分布為P(η＝k)＝Ceq\o\al(k,6)0.56，k＝0，1，…，6，且Eη＝3.而反面次數為6－η，ξ＝η－(6－η)＝2η－6.于是ξ的概率分布為P(ξ＝2k－6)＝P(η＝k)＝Ceq\o\al(k,6)0.56，k＝0，1，…，6.故E(ξ)＝E(2η－6)＝2E(η)－6＝2×3－6＝0.4.(2013新課標Ⅰ理)一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優(yōu)質品的件數記為n.如果n＝3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；如果n＝4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．假設這批產品的優(yōu)質品率為50%，即取出的產品是優(yōu)質品的概率都為eq\f(1,2)，且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立．(1)求這批產品通過檢驗的概率；(2)已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數學期望．解：(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件A，第一次取出的4件產品中全為優(yōu)質品為事件B，第二次取出的4件產品都是優(yōu)質品為事件C，第二次取出的1件產品是優(yōu)質品為事件D，這批產品通過檢驗為事件E，∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×e