高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形第1課時 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

考情分析考點新知①了解任意角的概念；了解終邊相同的角的意義.②了解弧度的意義，并能進行弧度與角度的互化.③理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；初步了解有向線段的概念，會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切．①能準(zhǔn)確進行角度與弧度的互化.②準(zhǔn)確理解任意角三角函數(shù)的定義，并能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)的符號.1.(必修4P15練習(xí)6改編)若角θ同時滿足sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊一定落在第________象限．答案：四解析：由sinθ<0，可知θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tanθ<0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，可知θ的終邊只能位于第四象限．2.角α終邊過點(－1，2)，則cosα＝________．答案：－eq\f(\r(5),5)3.已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是________．答案：1或44.已知角α終邊上一點P(－4a，3a)(a<0)，則sinα＝________．答案：－eq\f(3,5)5.(必修4P15練習(xí)2改編)已知角θ的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosθ＝－eq\f(5,13)，則sinθ＝____________，tanθ＝____________．答案：－eq\f(12,13)eq\f(12,5)解析：cosθ＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，解得x＝eq\f(5,2).sinθ＝eq\f(－6,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))\s\up12(2)＋（－6）2))＝－eq\f(12,13)，tanθ＝eq\f(12,5).1.任意角(1)角的概念的推廣①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．④弧長公式：l＝|α|r．扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2．2.任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)定義設(shè)P(x，y)是角α終邊上任一點，且|PO|＝r(r＞0)，則有sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的正值口訣是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．3.三角函數(shù)線設(shè)角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M，則點M是點P在x軸上的正射影．由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點T，則tanα＝AT．我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線．三角函數(shù)線[備課札記]題型1三角函數(shù)的定義例1α是第二象限角，P(x，eq\r(5))為其終邊上一點，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求sinα的值．解：∵OP＝eq\r(x2＋5)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－eq\r(3)，∴sinα＝eq\f(\r(5),\r(x2＋5))＝eq\f(\r(10),4).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知角α終邊上一點P(－eq\r(3)，y)，且sinα＝eq\f(\r(2),4)y，求cosα和tanα的值．解：r2＝x2＋y2＝y(tǒng)2＋3，由sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(y2＋3))＝eq\f(\r(2),4)y，∴y＝±eq\r(5)或y＝0.當(dāng)y＝eq\r(5)即α是第二象限角時，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)y＝－eq\r(5)即α是第三象限角時，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3)；當(dāng)y＝0時，P(－eq\r(3)，0)，cosα＝－1，tanα＝0.題型2三角函數(shù)值的符號及判定例2(1)如果點P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，試判斷角θ所在的象限；(2)若θ是第二象限角，試判斷sin(cosθ)的符號．解：(1)因為點P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(sinθ>0，,cosθ<0，)))所以θ為第二象限角．(2)∵2kπ＋eq\f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符號是負(fù)號．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知點P(tanα，cosα)在第二象限，則角α的終邊在第________象限．答案：四解析：由題意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的終邊在第四象限．題型3弧長公式與扇形面積公式例3已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；(2)若扇形的周長是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形有最大面積？解：(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓．∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l(xiāng)＝eq\f(10,3)π(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10,3)π×10－eq\f(1,2)×102·sin60°＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))cm2.(2)∵扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))eq\s\up12(2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(α,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16)，當(dāng)且僅當(dāng)α＝eq\f(4,α)，即α＝2(α＝－2舍去)時，扇形面積有最大值eq\f(C2,16).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知2rad的圓心角所對的弦長為2，求這個圓心角所對的弧長．解：如圖，∠AOB＝2rad，過O點作OC⊥AB于C，并延長OC交eq\o(AB,\s\up8(︵))于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1)，從而弧AB的長為l＝|α|·r＝eq\f(2,sin1).1.若α角與eq\f(8π,5)角終邊相同，則在[0，2π]內(nèi)終邊與eq\f(α,4)角終邊相同的角是________．答案：eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)解析：由題意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．又eq\f(α,4)∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).2.已知角α(0≤α≤2π)的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，則α＝__________．答案：eq\f(11π,6)解析：將點P的坐標(biāo)化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，它是第四象限的點，r＝|OP|＝1，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(\r(3),2).又0≤α≤2π，所以α＝eq\f(11π,6).3.已知扇形的周長為8cm，則該扇形面積的最大值為________cm2.答案：4解析：設(shè)扇形半徑為rcm，弧長為lcm，則2r＋l＝8，S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4(cm2)．4.若角α的終邊與直線y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α終邊上一點，且|OP|＝eq\r(10)，則m－n＝________．答案：2解析：依題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝3m，,m2＋n2＝10.))解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的終邊在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.1.設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))))，N＝{α|－π＜α＜π}，則M∩N＝________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π))解析：由－π＜eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)＜π，得－eq\f(4,3)＜k＜eq\f(8,3).∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π)).2.已知α＝eq\f(π,3)，回答下列問題．(1)寫出所有與α終邊相同的角；(2)寫出在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角；(3)若角β與α終邊相同，則eq\f(β,2)是第幾象限的角？解：(1)所有與α終邊相同的角可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(θ＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).(2)由(1)令－4π＜2kπ＋eq\f(π,3)＜2π(k∈Z)，則有－2－eq\f(1,6)＜k＜1－eq\f(1,6).∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.故在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角是－eq\f(11π,3)、－eq\f(5π,3)、eq\f(π,3).(3)由(1)有β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，則eq\f(β,2)＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．∴eq\f(β,2)是第一、三象限的角．3.已知角α的終邊經(jīng)過點P(x，－2)，且cosα＝eq\f(x,3)，求sinα和tanα.解：因為r＝|OP|＝eq\r(x2＋（－2）2)，所以由cosα＝eq\f(x,3)，得eq\f(x,\r(x2＋（－2）2))＝eq\f(x,3)，解得x＝0或x＝±eq\r(5).當(dāng)x＝0時，sinα＝－1，tanα不存在；當(dāng)x＝eq\r(5)時，sinα＝－eq\f(2,3)，tanα＝－eq\f(2\r(5),5)；當(dāng)x＝－eq\r(5)時，sinα＝－eq\f(2,3)，tanα＝eq\f(2\r(5),5).4.已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對的圓心角α的大?。?2)求α所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)由圓O的半徑r＝10＝AB，知△AOB是等邊三角形，∴α＝∠AOB＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)，r＝10，∴弧長l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)，而S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·eq\f(10\r(3),2)＝eq\f(1,2)×10×eq\f(10\r(3),2)＝eq\f(50\r(3),2)，∴S＝S扇形－S△AOB＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).1.(1)要求適合某種條件且與已知角終邊相同，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再根據(jù)條件解方程或不等式．(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后