教學(xué)反思解概率題常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析

教學(xué)反思——解概率題常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析浙江省湖州中學(xué)蔣際明在概率學(xué)習(xí)中，由于它具有與其它數(shù)學(xué)分支不一樣的、獨(dú)特的概念和分析方法，學(xué)生往往會(huì)感到很不習(xí)慣，入門(mén)會(huì)有一定困難．在解概率問(wèn)題時(shí)，由于對(duì)某些概念或公式理解不透徹，考慮不周全、選擇概率模型不正確等原因，經(jīng)常會(huì)造成一些表面看起來(lái)正確而實(shí)際上錯(cuò)誤的解法，下面就結(jié)合本人所教學(xué)生在解概率題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，具體地加以剖析．一．對(duì)古典概型的概念理解模糊例1在兩個(gè)袋內(nèi)，分別裝有0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字的6張卡片，現(xiàn)從每個(gè)袋內(nèi)任取一張卡片，求兩數(shù)之和等于7的概率．錯(cuò)解因?yàn)樗蓮埧ㄆ蟽蓴?shù)之和共有0，1，2，3，4，…，9，10共11種不同的結(jié)果，所以和為7的概率為．剖析因?yàn)橐陨?1種不同的結(jié)果不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)和0只有(0，0)，而點(diǎn)數(shù)之和為7有(2，5)、(5，2)、(3，4)、(4，3)共4種，所以它不是古典概型．正解由于從兩袋中分別取出一張卡片共有種取法，兩數(shù)之和等于7的取法有4種．故所求的概率．例2瓶子中裝有4粒大小相同而顏色不同的小球，每次倒出若干（至少一粒），求倒出奇數(shù)粒球的概率．錯(cuò)解每次倒出若干（至少一粒）小球共有種方法，而倒出奇數(shù)粒球共有種方法，因此倒出奇數(shù)粒小球的概率是．剖析對(duì)古典概型的基本事件總數(shù)的理解錯(cuò)誤，“將4粒大小相同而顏色不同的小球每次倒出若干個(gè)”這一試驗(yàn)中所含的基本事件總數(shù)是16，包括一個(gè)都沒(méi)有倒出的情形．正解每次倒出若干小球共有種方法，而倒出奇數(shù)粒球共有種方法，因此倒出奇數(shù)粒小球的概率是．也可以選用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型，因?yàn)槊恳涣Ｇ虮坏钩龌虿槐坏钩龅母怕示鶠?，所以倒出奇?shù)粒小球的概率是．二．對(duì)事件之間的關(guān)系概念混淆例3拋擲一均勻的正方體玩具，各面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，事件表示朝上一面的數(shù)是奇數(shù)，事件表示朝上一面的數(shù)不超過(guò)3，求事件或事件發(fā)生的概率．錯(cuò)解，，事件或事件發(fā)生的概率為．剖析此解法錯(cuò)誤在于忽視了“事件和”的概率公式成立的前提條件，由于“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”與“朝上一面的數(shù)不超過(guò)3”二者不是互斥事件，即出現(xiàn)1或3時(shí)，、同時(shí)發(fā)生，所以不能應(yīng)用求解.正解把事件或事件發(fā)生分成“出現(xiàn)1，2，3”與“出現(xiàn)5”這兩個(gè)事件，記出現(xiàn)“1，2，3”為事件，“出現(xiàn)5”為事件，則與為互斥事件，而，，所以事件或事件發(fā)生的概率為．例4對(duì)某批產(chǎn)品最多抽取4個(gè)進(jìn)行合格性檢驗(yàn)，抽得不合格品后停止并認(rèn)定為該批產(chǎn)品不合格，經(jīng)試驗(yàn)得到第一次抽得不合格品的概率為，第二次抽得不合格品的概率為，第三次抽得不合格品的概率為，第四次抽得不合格品的概率為，那么該批產(chǎn)品被認(rèn)定為不合格的概率是多少？錯(cuò)解分別記“第一、二、三、四次抽得不合格品”為事件A、B、C、D，則，，，，那么在4次內(nèi)抽到不合格產(chǎn)品的概率為．剖析本題錯(cuò)解的原因在于把事件A、B、C、D之間的關(guān)系混淆，把它們理解為不是互斥事件，錯(cuò)誤地認(rèn)為事件“第一次抽到合格品、第二次抽到不合格品”為積事件等等，而實(shí)際上由題意知事件B為“第二次抽到不合格品”就是“第一次抽到合格品、第二次抽到不合格品”；事件C就是“前兩次抽到合格品、第三次抽到不合格品”；事件D就是“前三次抽到合格品、第四次抽到不合格品”，并且它們彼此互斥，而事件“4次內(nèi)抽到不合格產(chǎn)品”就是事件．正解分別記“第一、二、三、四次抽得不合格品”為事件A、B、C、D，則它們彼此互斥，且，，，，所以在4次內(nèi)抽到不合格產(chǎn)品的概率為．三．將“條件概率”與“積事件的概率”混同例5100件產(chǎn)品中有10件次品，隨機(jī)不放回取兩次，每次取一件，求在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品的概率．錯(cuò)解設(shè)第一次取得正品為事件A，第二次取得正品為事件B，則在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品為事件AB，所以所求的概率為．剖析解題的錯(cuò)誤是由于對(duì)條件概率的定義理解不深刻，“第一次取得正品后第二次又取得正品的概率”與“在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品的概率”的意義是不相同的，前者是積事件的概率，而后者的意思是在第一次取得正品已經(jīng)預(yù)先發(fā)生的條件下，再來(lái)進(jìn)行第二次試驗(yàn)而取得正品的條件概率．正解第一次取得正品的條件下，第二次取得正品的概率為．例6袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率．錯(cuò)解記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，則，所以．剖析本題錯(cuò)誤也是在于對(duì)積事件的概率與條件概率的含義沒(méi)有弄清，對(duì)“第二次才取到黃球”這一事件，并不是“第一次取到白球”已經(jīng)預(yù)先發(fā)生，而是與“第二次取到黃球”同時(shí)發(fā)生，所以它不是條件概率而是積事件的概率．正解第二次才取到黃球的概率為．四．對(duì)概率計(jì)算公式的使用條件考慮不周例710張獎(jiǎng)券中有3張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人限購(gòu)一張，則前3個(gè)購(gòu)買(mǎi)者中恰有一人中獎(jiǎng)的概率為（）(A)(B)(C)(D)錯(cuò)解因?yàn)轭}中“恰有一個(gè)中獎(jiǎng)”，根據(jù)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好出現(xiàn)次的概率計(jì)算公式得，故選D．剖析此解錯(cuò)誤的原因是對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)理解不透，用錯(cuò)了公式，使用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式時(shí)，它有三個(gè)前提條件：（1）每次試驗(yàn)都是在同一條件下重復(fù)進(jìn)行的；（2）每一次試驗(yàn)都是彼此獨(dú)立的；（3）每一次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有事件發(fā)生或者事件不發(fā)生兩種情況，只有這三個(gè)條件均滿足才可使用．而此題中3個(gè)購(gòu)買(mǎi)者去購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)券時(shí)，是不放回的抽樣，前一個(gè)購(gòu)買(mǎi)者中獎(jiǎng)與否，會(huì)影響到下一個(gè)購(gòu)買(mǎi)者中獎(jiǎng)的概率，所以彼此之間是不獨(dú)立的，故不能用上述解答．正解3個(gè)人從10張獎(jiǎng)券中各購(gòu)買(mǎi)一張獎(jiǎng)券可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)為個(gè)，且出現(xiàn)的可能性均等，而出現(xiàn)恰好有一人中獎(jiǎng)的結(jié)果總數(shù)為個(gè)，所以恰好有一人中獎(jiǎng)的概率，故選C.例8已知某種型號(hào)的燈泡壽命在年以上的概率為，壽命在年以上的概率為．某單位在使用過(guò)程中，從使用之日起每滿年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換．那么錯(cuò)解對(duì)于這種燈泡來(lái)說(shuō)，在第、次都更換的概率為；在第一次不更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為，故所求的概率為．剖析該解答是錯(cuò)誤的，原因是對(duì)對(duì)立事件概率計(jì)算公式的意義考慮不周造成的，由于是表示“燈泡壽命不大于年”的概率，它與事件“燈泡壽命在年以上”不是互相獨(dú)立的，而上面的解答中卻把錯(cuò)誤地理解成了“燈泡壽命介于年與年之間的概率”了．事實(shí)上，在第二次燈泡更換工作中，按這種燈泡是否被更換的狀況，可分為“第一、二次都更換”、“第一、二次都不更換”、“第一次不更換而在第二次更換”、“第一次更換而在第二次不更換”四個(gè)事件，顯然它們是互斥的．所以可以用間接法求得“第一次不更換而在第二次更換”即“燈泡的壽命介于年與年之間”的概率．正解由題意，“第一、二次都更換”的概率為，“第一、二次都不更換”的概率為，“第一次更換而在第二次不更換”的概率為，故“第一次不更換而第二次更換”的概率為，因此所求的概率為．結(jié)束語(yǔ)：由于新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)性、現(xiàn)實(shí)性