專題1.4 三角形的外角性質(zhì)（壓軸題專項講練）（浙教版）（原卷版）

專題1.4三角形的外角性質(zhì)【典例1】閱讀下面的材料，并解決問題．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，圖1﹣3的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點O，請直接求出下列角度的度數(shù)．如圖1，∠O＝；如圖2，∠O＝；如圖3，∠O＝；如圖4，∠ABC，∠ACB的三等分線交于點O1，O2，連接O1O2，則∠BO2O1＝．（2）如圖5，點O是△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點，求證：∠O＝90°+12∠（3）如圖6，△ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度數(shù)．【思路點撥】（1）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是內(nèi)角平分線或外角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進而可求得答案；（2）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；（3）先分別求出∠ABC與∠ACB的度數(shù)，即可求得∠A的度數(shù)．【解題過程】解：（1）如圖1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠=12（180°﹣∠=12（180°﹣＝60°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；如圖2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=1∵∠ACD＝∠ABC+∠A∴∠OCD=12（∠ABC+∠∵∠OCD＝∠OBC+∠O∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC=12∠ABC+12∠=12＝30°如圖3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠=12（∠A+∠ACB+∠=12（∠A=12（＝120°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°如圖4，∵∠ABC，∠ACB的三等分線交于點O1，O2∴∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1∴∠O2BC+∠O2CB=23（∠ABC+∠=23（180°﹣∠=23（180°﹣＝80°∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1=12∠BO2C故答案為：120°，30°，60°，50°；（2）證明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°或由題意，設(shè)∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．1．（2021秋?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接DE．則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A2．（2020秋?秦都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點E和F分別是AC，BC上一點，EF∥AB，∠BCA的平分線交AB于點D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，則α、β、γ三者間的數(shù)量關(guān)系是（）A．β＝α+γ B．β＝2γ﹣α C．β＝α+2γ D．β＝2α﹣2γ3．（2021秋?饒平縣校級期中）如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為多少度（）A．360° B．720° C．540° D．240°4．（2021秋?江津區(qū)期末）將一副直角三角板按如圖放置，使兩直角重合，則∠1的度數(shù)為．5．（2021春?松北區(qū)期末）已知AH為△ABC的高，若∠B＝40°，∠ACH＝65°，則∠BAC的度數(shù)為°．6．（2021秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，∠ABD的平分線與∠ACD的平分線相交于P．若∠A＝50°，∠D＝10°，則∠P＝．7．（2020秋?涿州市期中）如圖，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度數(shù)．8．（2020秋?成安縣期末）如圖，一條直線分別交△ABC的邊及延長線于D、E、F，∠A＝20°，∠CED＝100°，∠ADF＝35°，求∠B的大?。?．（2021秋?成都期末）如圖，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)．10．（2021秋?信州區(qū)校級期中）如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點D，E．（1）求∠DBE的度數(shù)．（2）若∠A＝70°，求∠D的度數(shù)．11．（2021秋?朝陽期中）（1）模型探究：如圖1所示的“鏢形”圖中，請?zhí)骄俊螦DB與∠A、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，請直接寫出∠E的度數(shù)．12．（2020秋?白銀期末）（1）探究：如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）應(yīng)用：如圖2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù)．13．（2021秋?西吉縣期中）已知：如圖，∠MON＝90°，點A、B分別在射線OM、ON上移動（不與點O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延長線與∠ABO的平分線相交于點D．（1）當(dāng)∠ABO＝70°時、∠D的度數(shù)是多少？（2）隨著點A、B的移動，試問∠D的大小是否變化？請說出你的理由．14．（2021春??？谄谀┤鐖D1，直線m與直線n垂直相交于O，點A在直線m上運動，點B在直線n上運動，AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線．（1）∠ACB＝；（2）如圖2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分線，BD與AC相交于點D，點A、B在運動的過程中，∠ADB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（3）如圖3，過C作直線與AB交于F，且滿足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求證：CF∥OB．15．（2021秋?南崗區(qū)期末）已知：三角形ABC，過點B作直線DE∥AC，∠C+∠CBD＝180°．（1）如圖1，求證AC⊥BC；（2）如圖2，AF平分∠BAC交直線DE于點F，BG平分∠ABC交AF于點G，求∠BGF的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點H在直線DE上，連接AH，且∠FAH＝2∠BGF，若∠BAH﹣∠BAF=45∠BAC，求∠16．（2020秋?本溪期末）已知點A在射線CE上，∠BDA＝∠C．（1）如圖1，若AC∥BD，求證：AD∥BC；（2）如圖2，若BD⊥BC，請證明∠DAE+2∠C＝90°；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠BAC＝∠BAD，過點D作DF∥BC交射線CE于點F，當(dāng)∠DFE＝8∠DAE時，求∠BAD的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）17．（2021秋?恩施市期末）問題引入：（1）如圖1，在△ABC中，點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點，若∠A＝α，則∠BOC＝（用α表示）；如圖2，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，則∠BOC＝拓展研究：（2）如圖3，∠CBO=13∠DBC，∠BCO=13∠ECB，∠A＝α，猜想∠（3）BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線，它們交于點O，∠CBO=1n∠DBC，∠BCO=1n∠ECB，∠A＝α，請猜想∠BOC＝18．（2021秋?錦州期末）【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰BA三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點D，則∠BDC的度數(shù)為；（2）如圖③，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，且∠BPC＝135°，求∠A的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的鄰BC三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）19．（2020春?雨花區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分線，CD⊥AB，垂足為D，延長CE與外角∠ABG的平分線交于點F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度數(shù)；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90），請直接寫出∠DCE和∠F的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；（3）若△FCB高FH和∠DCB的角平分線交于點Q，在（2）的條件下求∠CQH的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．20．（2020春?海淀區(qū)校級期末）已知AB∥CD，點M