專題16 分類討論思想（押題預(yù)測40題：與方程不等式、函數(shù)、三角形、圓結(jié)合）【原卷版】-押題培優(yōu)

專題16分類討論思想（押題預(yù)測40題：與方程不等式、函數(shù)、三角形、圓結(jié)合）類型一、方程與不等式中的分類討論1．在解決數(shù)學(xué)實際問題時，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：|x+1|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)﹣1的點的距離，|x﹣2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)2的點的距離．當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取得最小值時，x的取值范圍是（）A．x≤﹣1 B．x≤﹣1或x≥2 C．﹣1≤x≤2 D．x≥22．已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組，恰好有三個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．63．下列說法：①若a＜b，則ac2＜bc2；②若ac＜bc，則a＞b；③若a＞b，且c＝d，則ac＞bd；④若ac2＜bc2，則a＜b．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．定義運算“※”：a※b＝若3※x＝1，則x的值為（）A．1 B．5 C．1或5 D．5或75．已知關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，則下列分析正確的是（）A．當(dāng)p＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 B．當(dāng)p＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 C．當(dāng)p＜0時，方程沒有實數(shù)根 D．方程的根的情況與p的值無關(guān)6．對于兩個不相等的有理數(shù)a，b，我們規(guī)定符號max{a，b}表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)，例如max{2，4}＝4，max{﹣2，﹣4}＝﹣2．按照這個規(guī)定，那么方程max{x，5x}＝2x+6的解為（）A．x＝2 B．x＝3或x＝﹣6 C．x＝2或x＝﹣6 D．x＝37．若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）在﹣3≤x≤2的范圍內(nèi)y的最大值比最小值大5，則下列說法正確的是（）A．k的值為1或﹣1 B．y隨x的增大而減小 C．該函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過第一、二、四象限 D．滿足題意的函數(shù)表達(dá)式只有2個8．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）交x軸于點A（1，0），B（3，0）．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線上兩個點．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．|y1|＜|y2| D．|y1|＞|y2|9．定義，圖象與x軸有兩個交點的函數(shù)y＝叫做關(guān)于直線x＝m的對稱函數(shù)，它與x軸負(fù)半軸交點記為A，與x軸正半軸交點記為B．例如，如圖：直線l：x＝1，關(guān)于直線l的對稱函數(shù)y＝與該直線l交于點C，當(dāng)直線y＝x與關(guān)于直線x＝m的對稱函數(shù)有兩個交點時，則m的取值范圍是（）A．0≤m≤ B．﹣2＜m≤ C．﹣2＜m≤2 D．﹣4＜m＜010．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點M從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著B→A→D運動，同時點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著C→D→A→B運動，其中一點到達(dá)終點，另一點也停止運動，設(shè)S△DMN＝S，時間為t（s），則S與t之間的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．類型二、函數(shù)與分類討論11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個12．已知實數(shù)x，y滿足|x﹣3|+＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．10 B．11 C．10或11 D．以上答案均不對13．直角三角形的兩邊長m，n滿足，則第三邊長是（）A．5 B．5或 C．4或 D．414．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是Rt△ABC斜邊AB的中點，AC＝4，BC＝3，將Rt△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)，使點C落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（）A．（，﹣） B．（﹣，） C．（，﹣）或（﹣，） D．（，﹣）或（﹣，﹣）15．一個點到圓的最小距離為3cm，最大距離為6cm，則該圓的直徑是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm16．AB是⊙O的弦，∠AOB＝60°，則弦AB所對的圓周角是（）A．30° B．60° C．150°或30° D．60°或140°17．在邊長為a的正方形內(nèi)有4個等圓，每相鄰兩個互相外切，它們中每一個至少與正方形的一邊相切，那么此等圓的半徑可能是（）A． B． C． D．18．若關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和是﹣12，則m的取值范圍為．19．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴原不等式的解集為x＞或x＜﹣3．請你仿照上述方法解決下列問題：直接寫出不等式（2x+3）（5﹣x）≤0的解集．20．如圖，函數(shù)y＝的圖象，若直線y＝x+m與該圖象只有一個交點，則m的取值范圍為．類型三、三角形與分類討論21．我們引入記號f（x）表示某個函數(shù)，用f（a）表示x＝a時的函數(shù)值．例如函數(shù)y＝x2+1可以記為f（x）＝x2+1，并有f（﹣2）＝（﹣2）2+1＝5，f（a+1）＝（a+1）2+1＝a2+2a+2．狄利克雷是德國著名數(shù)學(xué)家，是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一．狄利克雷函數(shù)f（x）＝的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的理解開始了深刻的變化，從研究“算”到研究更抽象的“概念、性質(zhì)和結(jié)構(gòu)”．關(guān)于狄利克雷函數(shù)，下列說法：①f（π）＝f（）②對于任意的實數(shù)a，f（f（a））＝0③對于任意的實數(shù)b，f（b）＝f（﹣b）④存在一個不等于0的常數(shù)t，使得對于任意的x都有f（x+t）＝f（x）⑤對于任意兩個實數(shù)m和n，都有f（m）+f（n）≥f（m+n）．其中正確的有（填序號）．22．已知y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m為常數(shù)）的頂點坐標(biāo)為（h，k）（1）k關(guān)于h的函數(shù)解析式為．（2）若拋物線不經(jīng)過第三象限，且在﹣2≤x≤2時，二次函數(shù)最小值和最大值和為，則m＝．23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C（其中點A′與點A是對應(yīng)點，點B′與點B是對應(yīng)點），若點B'恰好落在△ABC邊上，則點A到直線A′C的距離是．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在邊AC上，點E，F(xiàn)在邊AB上，點G在邊BC上，連接DE，DG，F(xiàn)G，當(dāng)四邊形DEFG是菱形時，發(fā)現(xiàn)菱形的個數(shù)隨著點D的位置變化而變化，若存在兩個菱形DEFG，則線段CD的長的取值范圍是．25．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，點M是線段CO延長線上的一個動點，∠AOC＝60°，則當(dāng)△ABM為直角三角形時，AM的長為．26．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，點E是AB邊上不與端點重合的一個動點，作ED⊥BC交BC于點D，將△BDE沿DE折疊，點B的對應(yīng)點為F，當(dāng)△ACF為等腰三角形時，則BD的長為．27．拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點C（2，y）在在這條拋物線上．（1）則點C的坐標(biāo)為；（2）若點P為y軸的正半軸上的一點，且△BCP為等腰三角形，則點P的坐標(biāo)為．28．如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的正方形紙片，點O與坐標(biāo)原點重合，點A在x軸上，點C在y軸上，OC＝5，點E在邊BC上，點N的坐標(biāo)為（3，0），過點N且平行于y軸的直線MN與EB交于點M．現(xiàn)將紙片折疊，使頂點C落在MN上的點G處，折痕為OE．在x軸正半軸上存在一點P，使得以P，O，G為頂點的三角形為等腰三角形，則點P的坐標(biāo)為．29．點A、B、C是⊙O上不同的三點，已知∠AOB+∠ACB＝210°，則∠AOB＝度．30．如圖，菱形ABCD的邊長為5，對角線AC為8，以頂點D為圓心，2為半徑畫圓，點P在對角線上運動，當(dāng)射線BP與圓D相切時，AP的長是．類型四、圓中的分類討論31．如圖，邊長為4的正方形ABCD中，頂點A落在矩形DEFG的邊EF上，EF＝5，而矩形的頂點G恰好落在BC邊上．點O是AB邊上一動點（不與A，B重合），以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓，當(dāng)⊙O與矩形DEFG的邊相切時，AO的長為．32．如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，如果以BC為直徑的⊙D和以A為圓心的⊙A相切，那么⊙A的半徑r的值是．33．閱讀下面的材料，回答問題：如果（x﹣2）（6+2x）＞0，求x的取值范圍．解：根據(jù)題意，得或，分別解這兩個不等式組，得第一個不等式組的解集為x＞2，第二個不等式組的解集為x＜﹣3．故當(dāng)x＞2或x＜﹣3時，（x﹣2）（6+2x）＞0．（1）由（x﹣2）（6+2x）＞0，得出不等式組或，體現(xiàn)了思想；（2）試?yán)蒙鲜龇椒?，求不等式（x﹣3）（1﹣x）＜0的解集．34．閱讀下列材料：根據(jù)絕對值的定義，|x|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點與原點的距離，那么，如果數(shù)軸上兩點P、Q表示的數(shù)為x1，x2時，點P與點Q之間的距離為PQ＝|x1﹣x2|．根據(jù)上述材料，解決下列問題：如圖，在數(shù)軸上，點A、B表示的數(shù)分別是﹣4，8（A、B兩點的距離用AB表示），點M是數(shù)軸上一個動點，表示數(shù)m．（1）AB＝個單位長度；（2）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值；（寫過程）（3）若關(guān)于x的方程|x﹣1|+|x+1|+|x﹣5|＝a無解，則a的取值范圍是．35．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）的頂點為A，與x軸相交于B、C兩點（C點在B點的右側(cè)）．（1）判斷點（0，1）是否在拋物線y＝ax（x﹣6）+1（a≠0）上，并說明理由；（2）若點A到x軸的距離為5，求a的值；（3）若線段BC的長小于等于4，求a的取值范圍．36．為迎接中招體育考試，某校決定采購一批足球以供學(xué)生業(yè)余訓(xùn)練使用．某體育用品超市推出以下兩種優(yōu)惠方案：方案一，一律打八折；方案二，當(dāng)購買量不超過80個時，按原價銷售，當(dāng)購買量超過80個時，超過的部分打六折．已知一個足球的原價為50元，設(shè)學(xué)校計劃購買x個足球．（1）設(shè)方案一的總費用為y1，方案二的總費用為y2，請分別寫出y1，y2（元）與x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若派學(xué)生代表去采購足球，他們應(yīng)該選擇哪種方案更省錢？并說明理由．37．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點為A，過點A作直線l垂直于y軸．（1）求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；（2）將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點．①當(dāng)m＝0時，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范圍；（3）當(dāng)圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點時，直接寫出m的取值范圍．38．拋物線與x軸交于A、B兩點，其中點B的坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點D為拋物線的頂點，且點D的橫坐標(biāo)為﹣1．（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求△BCD的面積；（3）若點P是x軸下方拋物線上任意一點，已知⊙P的半徑為2，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時，圓心P的坐標(biāo)是