專題13.3 利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決將軍飲馬問(wèn)題之五大題型（原卷版）

專題13.3利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決將軍飲馬問(wèn)題之五大題型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一在幾何中找線段和最小值的點(diǎn)】 1【題型二三角形中線段和的最小值問(wèn)題】 6【題型三在角中線段和最小值的問(wèn)題】 13【題型四在全等三角形中線段和最小值的問(wèn)題】 18【題型五實(shí)際問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題】 22【典型例題】【題型一在幾何中找線段和最小值的點(diǎn)】例題：如圖，已知，兩點(diǎn)在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點(diǎn)，使；(2)在（圖②）直線上找出一點(diǎn)，使的值最??；(3)在（圖③）直線上找出一點(diǎn)，使的值最大．【變式訓(xùn)練】1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．(1)在圖中作出關(guān)于y軸對(duì)稱的；(2)在y軸上畫出點(diǎn)P，使得最小，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，已知，，．(1)在圖中畫出，以及關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的；(2)的面積為______；(3)在x軸上找一點(diǎn)P，使得的周長(zhǎng)最小（保留作圖痕跡）．3．如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．

(1)請(qǐng)畫出向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到；(2)在x軸上找出一點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)最小，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【題型二三角形中線段和的最小值問(wèn)題】例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的角平分線，的面積為12，長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）

A．7 B．9 C．10 D．142．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是14，腰的垂直平分線分別交，邊于，點(diǎn)，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為；

3．在中，，D是邊上一點(diǎn)，，E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．4．（2023春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

5．如圖，直線是中BC邊的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，若，，．(1)求的最小值，并說(shuō)明理由．(2)求周長(zhǎng)的最小值．6．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．(1)若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是；(2)探究∠B與∠NMA的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm．①求BC的長(zhǎng)；②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使PB+CP的值最?。咳舸嬖?，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．【題型三在角中線段和最小值的問(wèn)題】例題：（2023秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，M是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，且，N，P分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，分別是角兩邊、上的定點(diǎn)，，．點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

2．（1）唐朝詩(shī)人李顧的詩(shī)古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖所示，詩(shī)中大意是將軍從山腳下的點(diǎn)出發(fā)，帶著馬走到河邊點(diǎn)飲水后，再回到點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問(wèn)將軍怎樣走才能使總路程最短？請(qǐng)你通過(guò)畫圖，在圖中找出點(diǎn)，使的值最小，不說(shuō)明理由；（2）實(shí)踐應(yīng)用，如圖，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谏渚€、上分別找到兩點(diǎn)、，使的周長(zhǎng)最小，不說(shuō)明理由；（3）實(shí)踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【題型四在全等三角形中線段和最小值的問(wèn)題】例題：直觀感知和操作確認(rèn)是發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)習(xí)的重要方式，解決下列問(wèn)題．(1)問(wèn)題情境：如圖1，三個(gè)相同的三角尺拼成一個(gè)圖形，直接寫出圖中的平行線；(2)問(wèn)題理解：如圖2，在三個(gè)相同的直角三角形拼成的一個(gè)圖形中，若點(diǎn)M是線段BC的三等分點(diǎn)（其中CM>BM），點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，畫出BP＋PM取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置，并說(shuō)明理由；(3)問(wèn)題運(yùn)用：如圖3，在三個(gè)相同的直角三角形拼成的一個(gè)圖形中，點(diǎn)M是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c為常數(shù)），求DP＋PM的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考期中）如圖，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點(diǎn)P、Q分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，是直角三角形？【題型五實(shí)際問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題】例題：（2023春·廣東廣州·八年級(jí)華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來(lái)水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問(wèn)題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬(wàn)元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬(wàn)元，其他費(fèi)用需5萬(wàn)元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬(wàn)元．2．如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺(tái)Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長(zhǎng)度．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，在直線上是否存在點(diǎn)，使得的值最??？小明的解法如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．問(wèn)題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長(zhǎng)為4，E是斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．問(wèn)題解決：(2)如圖，