第七節(jié)　拋物線

1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的

的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的

，直線l叫做拋物線的

．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)距離相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線續(xù)表1．拋物線的焦半徑與焦點(diǎn)弦拋物線上任意一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離稱為焦半徑．過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交所形成的線段稱為拋物線的焦點(diǎn)弦．設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有以下結(jié)論：1．(北師大版選擇性必修第一冊P69·T1改編)若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－3)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(

)A．y2＝－6x

B．y2＝－12xC．x2＝－6y

D．x2＝－12y答案：D2．(人教A版選擇性必修第一冊P135思考改編)過點(diǎn)P(－2，3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(

)3．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|＝

(

)A．9 B．8C．7 D．6答案：B4．(人教A版選擇性必修第一冊P133·T3改編)拋物線y2＝12x上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是_________．答案：(3，±6)[方法技巧]利用拋物線的定義可解決的常見問題軌跡問題用拋物線的定義可以確定與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是否為拋物線距離問題靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線中與距離有關(guān)的問題的有效途徑[提醒]一定要驗(yàn)證定點(diǎn)是否在定直線上．[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線

(

)A．經(jīng)過點(diǎn)O B．經(jīng)過點(diǎn)PC．平行于直線OP D．垂直于直線OP解析：連接PF(圖略)，由題意及拋物線的定義可知|PQ|＝|FP|，則△QPF為等腰三角形，故線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.故選B.答案：B

重難點(diǎn)(二)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

[典例]

(1)(2022·北京朝陽區(qū)一模)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，則拋物線C的方程為

(

)A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x(2)若頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2個(gè)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．[方法技巧]求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇待定系數(shù)法若題目未給出拋物線的方程，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知拋物線y2＝2px(p>0)，點(diǎn)C(－4,0)，過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若△CAB的面積為24，則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(

)A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x2．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為____________．[方法技巧]拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用要點(diǎn)(1)由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程．(2)與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略①將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決．②將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.

不會(huì)利用拋物線焦點(diǎn)弦的結(jié)論在拋物線與直線的關(guān)系中，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的關(guān)系尤為重要，這是因?yàn)樵谶@一關(guān)系中具有一些很有用的性質(zhì)(見P386)，這些性質(zhì)常常是高考命題的切入點(diǎn)．——————————————————————————————————(1)拋物線中的焦點(diǎn)弦問題很多都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角梯形(過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)和它們在準(zhǔn)線上的射影圍成的梯形)中的問題，在解決這類問題時(shí)注意對(duì)這個(gè)梯形的運(yùn)用．(2)萬變不離其宗，解決這類問題的根源仍然是拋物線的定義．

細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))一、全面清查易錯(cuò)易誤點(diǎn)1．(忽視拋物線的開口方向)以x軸為對(duì)稱軸，通徑長為8，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線方程是

(

)A．x2＝8y或x2＝－8y B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．y2＝8x解析：依題意設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.答案：C

3．(忽視焦點(diǎn)的位置致誤)若拋物線的焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以拋物線的焦點(diǎn)是(4,0)或(0，－2)，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y4．(忽視拋物線定義的應(yīng)用)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為________．解析：過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)．答案：(2,2)6．(鏈接生產(chǎn)生活)蘇州市“東方之門”是由南北兩棟建筑組成的雙塔連體建筑(門頂厚度忽略不計(jì))，“門”的造型是東方之門的立意基礎(chǔ)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖所示，現(xiàn)測得門的內(nèi)側(cè)地面上兩塔之間的距離