直線的方程-高考考點(diǎn)精講

1．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝tanα.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(√)(2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(×)(3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(×)(4)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.(×)(5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等．(×)(6)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)1．(2016·天津模擬)過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案A解析依題意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.2．(2016·合肥一六八中學(xué)檢測(cè))直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A．[0，eq\f(π,4)] B．[eq\f(3π,4)，π)C．[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π) D．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))∪[eq\f(3π,4)，π)答案B解析由直線方程可得該直線的斜率為－eq\f(1,a2＋1)，又－1≤－eq\f(1,a2＋1)<0，所以傾斜角的取值范圍是[eq\f(3π,4)，π)．3．如果A·C<0且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過(guò)()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－eq\f(C,A)>0，在y軸上的截距－eq\f(C,B)>0，故直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限．4．(教材改編)直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a＝.答案1或－2解析令x＝0，得直線l在y軸上的截距為2＋a；令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1＋eq\f(2,a)，依題意2＋a＝1＋eq\f(2,a)，解得a＝1或a＝－2.5．過(guò)點(diǎn)A(2，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為．答案3x＋2y＝0或x－y－5＝0解析①當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝－eq\f(3,2)x，即3x＋2y＝0；②當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，即x－y＝a，將點(diǎn)A(2，－3)代入，得a＝5，即直線方程為x－y－5＝0.故所求直線的方程為3x＋2y＝0或x－y－5＝0.題型一直線的傾斜角與斜率例1(1)(2016·北京東城區(qū)期末)已知直線l的傾斜角為α，斜率為k，那么“α>eq\f(π,3)”是“k>eq\r(3)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為．答案(1)B(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)解析(1)當(dāng)eq\f(π,2)<α<π時(shí)，k<0；當(dāng)k>eq\r(3)時(shí)，eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2).所以“α>eq\f(π,3)”是“k>eq\r(3)”的必要不充分條件，故選B.(2)如圖，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．引申探究1．若將本例(2)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，eq\r(3))，∴kAP＝eq\f(1－0,2－－1)＝eq\f(1,3)，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－－1)＝eq\r(3).如圖可知，直線l斜率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).2．若將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(2，－1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍．解如圖，直線PA的傾斜角為45°，直線PB的傾斜角為135°，由圖象知l的傾斜角的范圍為[0°，45°]∪[135°，180°)．思維升華直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，斜率k∈(－∞，0)．(2017·南昌月考)已知過(guò)定點(diǎn)P(2,0)的直線l與曲線y＝eq\r(2－x2)相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取到最大值時(shí)，直線l的傾斜角為()A．150°B．135°C．120°D．不存在答案A解析由y＝eq\r(2－x2)得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原點(diǎn)O為圓心，以eq\r(2)為半徑的圓的一部分，其圖象如圖所示．顯然直線l的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l為y＝k(x－2)，則圓心到此直線的距離d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(2－\f(|2k|,\r(1＋k2))2)＝2eq\r(\f(2－2k2,1＋k2))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(|2k|,\r(1＋k2))×2eq\r(\f(2－2k2,1＋k2))≤eq\f(2k2＋2－2k2,21＋k2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)(2k)2＝2－2k2，即k2＝eq\f(1,3)時(shí)等號(hào)成立，由圖可得k＝－eq\f(\r(3),3)(k＝eq\f(\r(3),3)舍去)，故直線l的傾斜角為150°.題型二求直線的方程例2根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過(guò)點(diǎn)(－4,0)，傾斜角的正弦值為eq\f(\r(10),10)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(3)直線過(guò)點(diǎn)(5,10)，到原點(diǎn)的距離為5.解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式．設(shè)傾斜角為α，則sinα＝eq\f(\r(10),10)(0<α<π)，從而cosα＝±eq\f(3\r(10),10)，則k＝tanα＝±eq\f(1,3).故所求直線方程為y＝±eq\f(1,3)(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a.若a＝0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)及(4,1)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l過(guò)點(diǎn)(4,1)，∴eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，直線l的方程為x－4y＝0或x＋y－5＝0.(3)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x－5＝0；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思維升華在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線．故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)倍；(3)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)且|AB|＝5.解(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l過(guò)點(diǎn)(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－eq\f(1,4)×3＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)|AB|＝5，即x＝1為所求．設(shè)過(guò)A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1.))得兩直線交點(diǎn)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋7,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)))(k≠－2，否則與已知直線平行)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(k＋7,k＋2)，eq\f(4k－2,k＋2))．∴(eq\f(k＋7,k＋2)－1)2＋(eq\f(4k－2,k＋2)＋1)2＝52，解得k＝－eq\f(3,4)，∴y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.綜上可知，所求直線方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.題型三直線方程的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1與基本不等式相結(jié)合求最值問(wèn)題例3已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．解方法一設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，把點(diǎn)P(3,2)代入得eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1≥2eq\r(\f(6,ab))，得ab≥24，從而S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,a)＝eq\f(2,b)時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)k＝－eq\f(b,a)＝－eq\f(2,3)，從而所求直線方程為2x＋3y－12＝0.方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k<0.則直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k<0)，且有Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)，0))，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝eq\f(1,2)(2－3k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋－9k＋\f(4,－k)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋2\r(－9k·\f(4,－k))))＝eq\f(1,2)×(12＋12)＝12.當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝eq\f(4,－k)，即k＝－eq\f(2,3)時(shí)，等號(hào)成立．即△ABO的面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x＋3y－12＝0.命題點(diǎn)2由直線方程解決參數(shù)問(wèn)題例4已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．解由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，面積最?。季S升華與直線方程有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題．先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．(2)求直線方程．弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程．(3)求參數(shù)值或范圍．注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．(2016·濰坊模擬)直線l過(guò)點(diǎn)P(1,4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|OA|＋|OB|最小時(shí)，求直線l的方程．解依題意，直線l的斜率存在且斜率為負(fù)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－4＝k(x－1)(k<0)．令y＝0，可得A(1－eq\f(4,k)，0)；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝(1－eq\f(4,k))＋(4－k)＝5－(k＋eq\f(4,k))＝5＋(－k＋eq\f(4,－k))≥5＋4＝9.∴當(dāng)且僅當(dāng)－k＝eq\f(4,－k)且k<0，即k＝－2時(shí)，|OA|＋|OB|取最小值．這時(shí)直線l的方程為2x＋y－6＝0.11．求與截距有關(guān)的直線方程典例設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求a.錯(cuò)解展示現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，∴a＝2，方程即為3x＋y＝0.當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0.∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.綜上，直線l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)由eq\f(a－2,a＋1)＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，∴a＝2或a＝－2.糾錯(cuò)心得在求與截距有關(guān)的直線方程時(shí)，注意對(duì)直線的截距是否為零進(jìn)行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導(dǎo)致產(chǎn)生漏解.1．(2016·北京順義區(qū)檢測(cè))若直線y＝－2x＋3k＋14與直線x－4y＝－3k－2的交點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．－6<k<－2 B．－5<k<－3C．k<－6 D．k>－2答案A解析解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋3k＋14，,x－4y＝－3k－2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k＋6，,y＝k＋2，))因?yàn)橹本€y＝－2x＋3k＋14與直線x－4y＝－3k－2的交點(diǎn)位于第四象限，所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6<k<－2.2．(2016·威海模擬)過(guò)點(diǎn)(2,1)且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小eq\f(π,4)的直線方程是()A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2答案A解析∵直線y＝－x－1的斜率為－1，則傾斜角為eq\f(3π,4)，依題意，所求直線的傾斜角為eq\f(3π,4)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，∴斜率不存在，∴過(guò)點(diǎn)(2,1)的所求直線方程為x＝2.3．(2016·合肥檢測(cè))已知點(diǎn)A在直線x＋2y－1＝0上，點(diǎn)B在直線x＋2y＋3＝0上，線段AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，且滿足y0>x0＋2，則eq\f(y0,x0)的取值范圍為()A．(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,5)) B．(－∞，－eq\f(1,5)]C．(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,5)] D．(－eq\f(1,2)，0)答案A解析設(shè)A(x1，y1)，eq\f(y0,x0)＝k，則y0＝kx0，∵AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，∴B(2x0－x1,2y0－y1)．∵A，B分別在直線x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，∴x1＋2y1－1＝0,2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0.∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－eq\f(1,1＋2k).又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，即(k－1)(－eq\f(1,1＋2k))>2，即eq\f(5k＋1,2k＋1)<0，解得－eq\f(1,2)<k<－eq\f(1,5).故選A.4．已知兩點(diǎn)M(2，－3)，N(－3，－2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是()A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4B．－4≤k≤eq\f(3,4)C.eq\f(3,4)≤k≤4D．－eq\f(3,4)≤k≤4答案A解析如圖所示，∵kPN＝eq\f(1－－2,1－－3)＝eq\f(3,4)，kPM＝eq\f(1－－3,1－2)＝－4.∴要使直線l與線段MN相交，當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí)，k≥kPN；當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí)，k≤kPM，由已知得k≥eq\f(3,4)或k≤－4.5．直線ax＋by＋c＝0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則a，b，c應(yīng)滿足()A．a(chǎn)b>0，bc<0B．a(chǎn)b>0，bc>0C．a(chǎn)b<0，bc>0D．a(chǎn)b<0，bc<0答案A解析由于直線ax＋by＋c＝0經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b).易知－eq\f(a,b)<0且－eq\f(c,b)>0，故ab>0，bc<0.6.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2答案D解析直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故選D.7．已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則xy的最大值是．答案3解析直線AB的方程為eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，∵動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線AB上，則x＝3－eq\f(3,4)y，∴xy＝3y－eq\f(3,4)y2＝eq\f(3,4)(－y2＋4y)＝eq\f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))時(shí)，xy取最大值3.8．(2016·濰坊模擬)直線l過(guò)點(diǎn)(－2,2)且與x軸，y軸分別交于點(diǎn)(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，則直線l的方程為．答案x＋y＝0或x－y＋4＝0解析若a＝b＝0，則直線l過(guò)點(diǎn)(0,0)與(－2,2)，直線l的斜率k＝－1，直線l的方程為y＝－x，即x＋y＝0.若a≠0，b≠0，則直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2,a)＋\f(2,b)＝1，,|a|＝|b|，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，))此時(shí)，直線l的方程為x－y＋4＝0.9．設(shè)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是．答案[－2,2]解析b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線y＝－2x＋b過(guò)點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值．∴b的取值范圍是[－2,2]．10．(2016·山師大附中模擬)函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為．答案4解析∵函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A(1,1)．∴把A(1,1)代入直線方程得m＋n＝1(mn>0)．∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))·(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥4(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào))，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為4.11．(2016·太原模擬)已知兩點(diǎn)A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直線AB的方程；(2)已知實(shí)數(shù)m∈[－eq\f(\r(3),3)－1，eq\r(3)－1]，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．解(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，直線AB的方程為x＝－1，當(dāng)m≠－1時(shí)，直線AB的方程為y－2＝eq\f(1,m＋1)(x＋1)．即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.(2)①當(dāng)m＝－1時(shí)，α＝eq\f(π,2)；②當(dāng)m≠－1時(shí)，m＋1∈[－eq\f(\r(3),3)，0)∪(0，eq\r(3)]，∴k＝eq\f(1,m＋1)∈(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\f(\r(3),3)，＋∞)，∴α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]．綜合①②知，直線AB的傾斜角α∈[eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]．12．已知點(diǎn)P(2，－1)．(1)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)過(guò)點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－1)，顯然，過(guò)點(diǎn)P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時(shí)直線l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.綜上可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作圖可得過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過(guò)點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖所示．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直線方程的點(diǎn)斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直線2x－y－5＝0是過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，過(guò)點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過(guò)eq\r(5)的直線，因此不存在過(guò)點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線．*13.如圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝eq\f(1,2)x上時(shí)，求直線AB的方程．解由題意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x.設(shè)A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，由點(diǎn)C在直線y＝eq\f(1,2)x上，且A、P、B三點(diǎn)共線得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直線AB的方程為(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0?相交；,＝0?相切；,<0?相離.))2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解【知識(shí)拓展】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．(×)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(×)(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(×)(4)過(guò)圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(5)過(guò)圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)1．(教材改編)圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交但直線不過(guò)圓心C．相交過(guò)圓心 D．相離答案B解析由題意知圓心(1，－2)到直線2x＋y－5＝0的距離d＝eq\f(|2×1－2－5|,\r(22＋1))＝eq\r(5)<eq\r(6)且2×1＋(－2)－5≠0，所以直線與圓相交但不過(guò)圓心．2．(2016·全國(guó)甲卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a等于()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D．2答案A解析由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|1×a＋4－1|,\r(1＋a2))＝1，解之得a＝－eq\f(4,3).3．(2016·西安模擬)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案C解析由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為eq\r(2)，∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.4．(2016·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè))已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．6－2eq\r(2) B．5eq\r(2)－4C.eq\r(17)－1 D.eq\r(17)答案B解析圓C1關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C1′的圓心為C1′(2，－3)，半徑不變，圓C2的圓心為(3,4)，半徑r＝3，|PM|＋|PN|的最小值為圓C1′和圓C2的圓心距減去兩圓的半徑，所以|PM|＋|PN|的最小值為eq\r(3－22＋4＋32)－1－3＝5eq\r(2)－4.5．已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為_(kāi)_______．答案eq\f(9,4)解析由兩圓外切可得圓心(a，－2)，(－b，－2)之間的距離等于兩圓半徑之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，即ab的最大值是eq\f(9,4).題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1(1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定(2)(2016·江西吉安月考)圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能答案(1)B(2)C解析(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1.所以直線與圓相交．(2)直線2tx－y－2－2t＝0恒過(guò)點(diǎn)(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴點(diǎn)(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)．直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故選C.思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題．已知方程x2＋eq\f(x,tanθ)－eq\f(1,sinθ)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根a和b，那么過(guò)點(diǎn)A(a，a2)，B(b，b2)的直線與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是________．答案相切解析由題意可知過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程為(a＋b)x－y－ab＝0，圓心到直線AB的距離d＝eq\f(|－ab|,\r(a＋b2＋1))，而a＋b＝－eq\f(1,tanθ)，ab＝－eq\f(1,sinθ)，因此d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinθ))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,tanθ)))2＋1))，化簡(jiǎn)后得d＝1，故直線與圓相切．題型二圓與圓的位置關(guān)系例2(1)(2016·山東)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離(2)(2017·重慶調(diào)研)如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________________．答案(1)B(2)(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))解析(1)∵圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1為a，圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(|a|,\r(2))，由幾何知識(shí)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＋(eq\r(2))2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圓N的圓心坐標(biāo)N(1,1)，半徑r2＝1，∴|MN|＝eq\r(1－02＋1－22)＝eq\r(2)，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴兩圓相交，故選B.(2)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為2.依題意得0<eq\r(a2＋a2)<2＋2，∴0<|a|<2eq\r(2).∴a∈(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))．思維升華判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切；(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切；(3)求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m)，解得m＝25＋10eq\r(11).(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因?yàn)槎▓A的半徑eq\r(11)小于兩圓圓心間距離5，故只有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11).(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦長(zhǎng)為2eq\r(\r(11)2－\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))2)＝2eq\r(7).題型三直線與圓的綜合問(wèn)題命題點(diǎn)1求弦長(zhǎng)問(wèn)題例3(2016·全國(guó)丙卷)已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.答案4解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R＝2eq\r(3)，|AB|＝2eq\r(3)，所以|OM|＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋6＝0，,x2＋y2＝12))解得A(－3，eq\r(3))，B(0，2eq\r(3))，則AC的直線方程為y－eq\r(3)＝－eq\r(3)(x＋3)，BD的直線方程為y－2eq\r(3)＝－eq\r(3)x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.命題點(diǎn)2直線與圓相交求參數(shù)范圍例4(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8.由題設(shè)可得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程為y＝x＋1.故圓心C在l上，所以|MN|＝2.命題點(diǎn)3直線與圓相切的問(wèn)題例5已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程．(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)過(guò)切點(diǎn)A(4，－1)．解(1)設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0，則eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，∴b＝1±2eq\r(5)，∴切線方程為x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，則eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，∴m＝±5eq\r(2)，∴切線方程為2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，∴過(guò)切點(diǎn)A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過(guò)切點(diǎn)A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.思維升華直線與圓綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．(2)圓的切線問(wèn)題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問(wèn)題．(1)(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|等于()A．2eq\r(6)B．8C．4eq\r(6)D．10(2)若直線xcosθ＋ysinθ－1＝0與圓(x－1)2＋(y－sinθ)2＝eq\f(1,16)相切，且θ為銳角，則該直線的斜率是()A．－eq\f(\r(3),3)B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)答案(1)C(2)A解析(1)由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，故過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0，得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6)，所以|MN|＝|y1－y2|＝4eq\r(6)，選C.(2)依題意得，圓心到直線的距離等于半徑，即|cosθ＋sin2θ－1|＝eq\f(1,4)，|cosθ－cos2θ|＝eq\f(1,4)，所以cosθ－cos2θ＝eq\f(1,4)或cosθ－cos2θ＝－eq\f(1,4)(不符合題意，舍去)．由cosθ－cos2θ＝eq\f(1,4)，得cosθ＝eq\f(1,2)，又θ為銳角，所以sinθ＝eq\f(\r(3),2)，故該直線的斜率是－eq\f(cosθ,sinθ)＝－eq\f(\r(3),3)，故選A.7．高考中與圓交匯問(wèn)題的求解考點(diǎn)分析與圓有關(guān)的最值問(wèn)題及直線與圓相結(jié)合的題目是近年來(lái)高考高頻小考點(diǎn)．與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化；直線與圓的綜合問(wèn)題主要包括弦長(zhǎng)問(wèn)題，切線問(wèn)題及組成圖形面積問(wèn)題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì)．一、與圓有關(guān)的最值問(wèn)題典例1(1)(2015·湖南)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|的最大值為()A．6B．7C．8D．9(2)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，0)引直線l與曲線y＝eq\r(1－x2)相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)解析(1)∵A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓的直徑，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))＝(－4,0)，設(shè)B(x，y)，則x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(x－6，y)．故|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(－12x＋37)，∴當(dāng)x＝－1時(shí)有最大值eq\r(49)＝7，故選B.(2)∵S△AOB＝eq\f(1,2)|OA||OB|sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB≤eq\f(1,2).當(dāng)∠AOB＝eq\f(π,2)時(shí)，△AOB面積最大．此時(shí)O到AB的距離d＝eq\f(\r(2),2).設(shè)AB方程為y＝k(x－eq\r(2))(k<0)，即kx－y－eq\r(2)k＝0.由d＝eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)得k＝－eq\f(\r(3),3).(也可k＝－tan∠OPH＝－eq\f(\r(3),3))．答案(1)B(2)B二、直線與圓的綜合問(wèn)題典例2(1)(2015·重慶)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于()A．2B．4eq\r(2)C．6D．2eq\r(10)(2)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為()A.eq\f(4,5)πB.eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))πD.eq\f(5,4)π解析(1)由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.(2)∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)O在圓C上．設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，∴點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2x＋y－4＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，∴當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時(shí)，圓的直徑最小為|OD|.又|OD|＝eq\f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq\f(4,\r(5))，∴圓C的最小半徑為eq\f(2,\r(5))，∴圓C面積的最小值為π(eq\f(2,\r(5)))2＝eq\f(4,5)π.答案(1)C(2)A1．(2017·廣州調(diào)研)若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(4,0)到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條答案C解析如圖，分別以A，B為圓心，1,2為半徑作圓．依題意得，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內(nèi)公切線)．2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于()A．21B．19C．9D．－11答案C解析圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圓C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵兩圓外切，∴5＝1＋eq\r(25－m)，解得m＝9.3．(2016·南昌二模)若圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為()A.eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)答案B解析圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．化為(x－a)2＋y2＝9，圓心坐標(biāo)為(a,0)，半徑為3.圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化為x2＋(y＋b)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－b)，半徑為1，∵圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，∴eq\r(a2＋b2)＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤eq\f(1,2)(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值為2.4．(2016·泰安模擬)過(guò)點(diǎn)P(3,1)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0答案A解析如圖所示：由題意知：AB⊥PC，kPC＝eq\f(1,2)，∴kAB＝－2，∴直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.5．若直線l：y＝kx＋1(k<0)與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定答案A解析因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圓心坐標(biāo)為(－2,1)，半徑為eq\r(2)，因?yàn)橹本€l與圓C相切．所以eq\f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1，因?yàn)閗<0，所以k＝－1，所以直線l的方程為x＋y－1＝0.圓心D(2,0)到直線l的距離d＝eq\f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<eq\r(3)，所以直線l與圓D相交．6．已知A(－2,0)，B(0,2)，實(shí)數(shù)k是常數(shù)，M，N是圓x2＋y2＋kx＝0上兩個(gè)不同點(diǎn)，P是圓x2＋y2＋kx＝0上的動(dòng)點(diǎn)，如果M，N關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，那么△PAB面積的最大值是()A．3－eq\r(2) B．4C．3＋eq\r(2) D．6答案C解析依題意得圓x2＋y2＋kx＝0的圓心(－eq\f(k,2)，0)位于直線x－y－1＝0上，于是有－eq\f(k,2)－1＝0，即k＝－2，因此圓心坐標(biāo)是(1,0)，半徑是1.由題意可得|AB|＝2eq\r(2)，直線AB的方程是eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2)＝1，即x－y＋2＝0，圓心(1,0)到直線AB的距離等于eq\f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值是eq\f(3\r(2),2)＋1，∴△PAB面積的最大值為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(3\r(2)＋2,2)＝3＋eq\r(2)，故選C.7．(2016·全國(guó)乙卷)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則圓C的面積為_(kāi)_______．答案4π解析圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，C到直線y＝x＋2a的距離d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2)).又由|AB|＝2eq\r(3)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π.8．(2016·天津四校聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)(1，eq\r(2))的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析∵(